2 - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Teoria sterowania
Jakość działania systemu sterowania w stanach ustalonych –
parametry jakości statycznej
Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych 3 - Część 2
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Gdańsk
1. Równania uchybu jednowymiarowego układu regulacji automatycznej
Stabilność układu regulacji jest warunkiem podstawowym jego działania. Zapewniwszy
stabilność układu regulacji można przystąpić do takiego określenia jego parametrów,
które będą zapewniały pożądaną przez nas jakość jego działania mierzoną określonymi
kryteriami. Kryteria jakości działania układów regulacji można podzielić na dwie grupy:
 odnoszące się do zachowania się układu regulacji w stanach ustalonych,
 odnoszące się do zachowania się układu regulacji w stanach przejściowych.
Zasadniczym kryterium w pierwszej grupie jest kryterium uchybu ustalonego zwane
też kryterium dokładności statycznej lub kryterium dokładności w stanie
ustalonym. Kryterium to związane jest z uchybem regulacji. Jak pamiętamy uchyb
regulacji określa nam różnicę pomiędzy wartością zadaną wielkości regulowanej a jej
wartością aktualną. Oczywiście chcielibyśmy, żeby uchyb regulacji w stanie ustalonym
był równy zeru. Spełnienie tego warunku nie zawsze jest jednak możliwe. W związku z
tym powinniśmy potrafić ocenić jaki będzie ten uchyb w zależności od właściwości
układu regulacji. Ogólny schemat jednowymiarowego układu regulacji pokazany jest na
rys. 1.
Z(s)
a)
Y0P(s)
EP(s)

+
D(s)
YZ(s)

G(s)
_
+

Y(s)
YU(s)
YP(s)
H(s)
Rys. 1a. Typowe przedstawienie jednowymiarowego układu regulacji; H(s)  1
Z(s)
b)
Y0P(s) = Y0(s)
+

D(s)
YZ(s)

EP(s) = E(s)
G(s)
_
+

Y(s)
YU(s)
YP(s) = Y(s)
Rys. 1b. Typowe przedstawienie jednowymiarowego układu regulacji; H(s) = 1
Jeżeli w układzie regulacji wartość zadana i wielkość regulowana mają ten sam wymiar
oraz są na tym samym poziomie, (co do modułu) np. wartość napięcia zadawana
napięciem, pozycja zadawana pozycją, to sytuacji takiej odpowiada schemat
przedstawiony na rys. 1b. Uchyb regulacji wyraża się wówczas wzorem:
lub:
e P t   y 0 t   y t 
(1)
E P s   Y 0 s   Y s 
(2)
Jednakże czasem może być niemożliwym lub niedogodnym wprowadzać wartość
zadaną na tym samym poziomie lub nawet o tym samym wymiarze, co wielkość
regulowana, np. w układzie regulacji wysokonapięciowego źródła zasilania, w układzie
regulacji położenia z pomiarem elektrycznym. W takich przypadkach w ścieżce
sprzężenia zwrotnego włączony jest element pomiarowy o transmitancji H(s). Sytuacji
takiej odpowiada schemat przedstawiony na rys. 1a. Uchyb regulacji wyraża się
wówczas wzorem:
lub:
e P t   y 0P t   y P t 
(3)
E P s   Y 0P s   Y P s 
(4)
Jeżeli rozpatrywać dowolny układ regulacji w sposób ogólny, gdy jako wymuszenia
mogą występować zakłócenia oraz mogąca się zmieniać wartość zadana to pojawiający
się w układzie uchyb można zapisać jako sumę dwóch składowych (zasada
superpozycji):
E P s   E Y0 s   E Z s 
(5)
Składowa pierwsza jest rezultatem nieidealnego nadążania układu za wartością
zadaną, a druga rezultatem działania zakłóceń. Tą pierwszą składową nazywa się
uchybem nadążania, a drugą uchybem zakłóceniowym. Jeżeli zakłócenia i wartość
zadana nie są wielkościami skorelowanymi, co z reguły ma miejsce, to chcąc uzyskać
zerową wartość uchybu trzeba żądać oddzielnie, aby EZ s   0 oraz EY0 s   0 .
Popatrzmy jak wyrażają się konkretnie te dwie składowe uchybu dla każdego z
wyróżnionych wyżej przypadków.
Dla przypadku, kiedy H s   1 , dla obliczenia składowej uchybu nadążania schemat
rys. 1b upraszcza się do postaci przedstawionej na rys. 2a.
a)
Y0(s)
+

EP(s)
_
G(s)
Y(s)
Rys. 2a. Schemat do obliczenia uchybu nadążania dla przypadku H s   1
z
E P s 
Z s  0
 E Y0 s   Y 0 s   Y s   Y 0 s   Y 0 s 
Gs 

1  Gs 

 1  Gs   Gs  
Gs  
  Y 0 s 

= Y 0 s 1 
1  Gs  
 1  Gs  

1
= Y 0 s 
1  Gs 
Natomiast dla obliczenia składowej uchybu zakłóceniowego schemat z rys. 1b
upraszcza się do postaci przedstawionej na rys. 2b.
b)
Z(s)

D(s)
Y(s)

+
G(s)
EP(s)
-1
Rys. 2b. Schemat do obliczenia uchybu zakłóceniowego dla przypadku H s   1


1

 E Z s   Y s     Z s Ds 
1   Gs  

Ds 
=  Z s 
1  Gs 
E P s 
Y0 s  0
Łącząc dwa ostatnie wyniki możemy podać wzór na całościowy uchyb dla przypadku
H s   1 :
E P s   E Y0 s   E Z s   Y 0
1
Ds 
 Z s 
1  Gs 
1  Gs 
(6)
Dla przypadku, kiedy H s   1 , dla obliczenia składowej uchybu nadążania schemat
z rys. 1a upraszcza się do postaci przedstawionej na rys. 3a.
a)
Y0P(s)
+

EP(s)
G(s)
Y(s)
_
YP(s)
H(s)
Rys. 3a. Schemat do obliczenia uchybu nadążania dla przypadku H s   1
E P s 
Z s  0
 E Y0 s   Y 0P s   Y s H s   Y 0P s   Y 0P s 
Gs H s 

1  Gs H s 

 1  Gs H s   Gs H s  
G s H s  
  Y 0P s 
 
 Y 0P s 1 
1  Gs H s 
 1  Gs H s  




1

 Y 0P s 
 1  Gs H s  
Natomiast dla obliczenia składowej uchybu zakłóceniowego schemat z rys. 1b
upraszcza się do postaci przedstawionej na rys. 3b.
b)
Z(s)
D(s)

Y(s)

+
G(s)
EP(s)
-1
H(s)
Rys. 3b. Schemat do obliczenia uchybu zakłóceniowego dla przypadku H s   1


1

 E Z s   Y s H s   H s   Z s Ds 
1   Gs H s  

Ds H s 
=  Z s 
1  Gs H s 
E P s 
Y0 s  0
Łącząc dwa ostatnie wyniki możemy podać wzór na całościowy uchyb dla przypadku
H s   1 :
E P s   E Y0 s   E Z s   Y 0P s 
1
Ds H s 
 Z s 
1  Gs H s 
1  Gs H s 
(7)
Wzory na uchyb całościowy upraszczają się jeżeli rozpatrujemy układ regulacji z
pominięciem zakłóceń. Wówczas:
E P s   E Y0 s   Y 0
1
1  Gs 
(8)
1
1  Gs H s 
(9)
dla przypadku H s   1 , oraz
E 0P s   E Y0 s   Y 0 s 
dla przypadku H s   1 .
2. Obliczanie uchybu regulacji w stanie ustalonym - obliczanie uchybu
ustalonego
Uchyb ustalony układu automatycznej regulacji jest definiowany jako uchyb regulacji po
osiągnięciu przez układ stanu ustalonego, czyli:
uchyb _ ustalony  e u  lim e P t 
t 
(10)
Korzystając z twierdzenia o wartości granicznej, możemy napisać:
e u  lim e P t   lim s  E P s 
t 
s 0
(11)
Patrząc na wzory (6) - (9) można powiedzieć, że uchyb ustalony zależy od:
 sygnałów wymuszeń,
 transmitancji toru głównego układu regulacji, transmitancji toru sprzężenia
zwrotnego (jeżeli jest różna od 1), transmitancji toru zakłócenia (jeżeli
występuje).
Obliczanie uchybu ustalonego przeprowadza się zwykle dla pewnych standardowych
postaci wymuszeń:
a) wymuszenia położeniowego, o postaci:
 0 , dla t  0
r t   
R , dla t  0
(12)
Rys. 4. Przykład wymuszenia skokowego z R = 2
b) wymuszenia prędkościowego, o postaci:
 0 , dla t  0
r t   
Rt , dla t  0
Rys. 5. Przykład wymuszenia prędkościowego z R = 2
(13)
c) wymuszenia przyspieszeniowego, o postaci:
 0 , dla t  0

r t    Rt 2
, dla t  0

 2
(14)
Rys. 6. Przykład wymuszenia przyspieszeniowego z R = 2
Wartości uchybów ustalonych dla wymienionych standardowych wymuszeń noszą
swoje nazwy:
 uchyb ustalony przy wymuszeniu położeniowym nosi nazwę uchybu
położeniowego,
 uchyb ustalony przy wymuszeniu prędkościowym nosi nazwę uchybu
prędkościowego,
 uchyb ustalony przy wymuszeniu przyspieszeniowym nosi nazwę uchybu
przyspieszeniowego.
Wartości tych uchybów są podstawą pewnej klasyfikacji układów automatycznej
regulacji. Mówi się mianowicie w związku z wartościami uchybów ustalonych o układach
regulacji:
 statycznych oraz
 astatycznych, przy czym te dzieli się jeszcze na:
 astatyczne rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego.
W tabeli 1 podane są zasady podziału układów automatycznej regulacji na te kategorie
układów.
Tabela 1. Podział układów automatycznej regulacji ze względu na wartość uchybów
ustalonych
Typ układu
statyczny
Wymuszenie i uchyb ustalony
położeniowe
prędkościowe
przyśpieszeniowe
eu  const  0
eu  
eu  
astatyczny 1 rzędu
eu  0
eu  const  0
eu  
astatyczny 2 rzędu
eu  0
eu  0
eu  const  0
astatyczny 3 rzędu
eu  0
eu  0
eu  0
Przykład 1
Dany jest układ regulacji przedstawiony na rys. 7. Wyznaczyć uchyb ustalony dla
wymuszeń:
a) r t   A  1t 
b) r t   A  t  1t 
At 2
c) r t  
 1t 
2
R(s) 

E(s)
501  5 s 

2
s  1  10s 
Y(s)
Rys. 7. Układ regulacji do przykładu 1
Policzmy wyrażenie określające uchyb regulacji:
1001  5 s 
1001  5 s  



s  1  10 s 
s  1  10 s  

E s   Rs   Y s   Rs   Rs 
 Rs  1 


1001  5 s 
1001  5 s  
1
 1  s  1  10 s  
s  1  10 s 


1001  5 s  1001  5 s  


1

s  1  10 s  s  1  10 s  

= R s 



1001  5 s 
1


s  1  10 s 


 Rs 
= Rs 
(15)
1
s 1  10 s 
 Rs 

1001  5 s 
s  1  10 s   1001  5 s 
1
s  1  10 s 
10 s 2  s
10 s 2  501s  100
Policzmy uchyb ustalony dla wymuszenia a) korzystając z twierdzenia o wartości
granicznej. Transformata wymuszenia wynosi:
Rs  
Stąd:
A
s
(16)
eu  lim s  E s   lim s 
s 0
s 0
A
10 s 2  s

0
s 10 s 2  501s  100
(17)
Podobnie policzymy uchyb ustalony dla wymuszenia b). Transformata wymuszenia
wynosi:
Rs  
Stąd:
A
s2
(18)
A
10 s 2  s
s10 s  1
eu  lim s  E s   lim s  2 
 lim A

2
s 0
s 0
s

0
s 10 s  501s  100
s 10 s 2  501s  100
10 s  1
1
 lim A
 A
 0.01 A
2
s 0
100
10 s  501s  100


(19)
Transformata wymuszenia c) wynosi:
Rs  
Stąd:
A
s3
(20)
A
10 s 2  s
s10 s  1

 lim A 2

3
2
s 0
s 0
s 10 s  501s  100 s0 s 10 s 2  501s  100
10 s  1
10 s  1
 lim A
 lim A

2
3
s 0
s 10 s  501s  100 s0 100 s  501s 2  100 s
eu  lim s  E s   lim s 



(21)

Przykład pokazuje, że twierdzenie o wartości granicznej pozwala nam stwierdzić, czy
uchyb ustalony będzie równy zeru, czy będzie na jakiejś stałej wartości lub czy będzie
miał wartość nieskończoną. Dla tego ostatniego przypadku nie pozwala nam jednak
stwierdzić jak będzie on narastał do tej wartości. Istnieje metoda obliczeniowa, która
pozwala nam odpowiedzieć na to pytanie.
Wzory (6)-(9) pokazują, że poszczególne składowe uchybu regulacji można wyrazić
następującym wzorem:
E X s   X s GEX s 
(22)
gdzie: X s  - wymuszenie dające wkład do wielkości uchybu regulacji,
E X s  - wkład wymuszenia X s  do wielkości uchybu regulacji,
GEX s  - transmitancja uchybowa układu regulacji względem wymuszenia X s  .
Twierdzenie Borela o splocie funkcji pozwala nam napisać:
t
ex t    g ex    xt   d
0
gdzie: ex t   L 1 EX s 
(23)
gex t   L 1 GEX s 
xt   L 1 X s 
Jeżeli sygnał xt  posiada n pierwszych pochodnych dla wszystkich wartości  ,
wówczas xt    można rozwinąć w szereg Taylor’a w otoczeniu t :
xt     xt     xt  
2
2!
 xt  
3
3!
 xt   
(24)
Podstawiając (24) do (23) otrzymamy:


2
3
ex t    g ex     xt     xt    xt    xt    d
2!
3!


0
t
t
t
t
0
0
0
 xt  g ex  d  xt    g ex   d  xt 
2
t
2!
 g ex   d  xt 
0
3
3!
 g ex   d  
(25)
Uchyb ustalony obliczymy jako:
eux  lim ex t 
(26)
t 
Korzystając z (26) możemy napisać:

t
eux  lim  g ex    xt    d   g ex    xt    d
t 
0
0



0
0
0
 xt  g ex   d  xt    g ex   d  xt 
2
2!

 g ex   d  xt 
0
3
3!
 g ex   d  
(29)
Jeżeli zdefiniujemy uogólnione współczynniki uchybu ustalonego:

C0   g ex   d
0

C1      g ex  
0

C2    2  g ex   d
0

C3     3  g ex   d
0
.................................

n
Cn   1   n  g ex   d
0
wówczas uchyb ustalony możemy wyliczać z formuły:
(30)
eux  lim ex t   C0  xt   C1  xt  
t 
C2
 xt 
2!
C
C
 3  xt     n  x n  t   
3!
n!
(31)
Można pokazać (Kuo, 1962), że:
C0  lim GEX s 
s0
dGEX s 
s 0
ds
2
d GEX s 
C2  lim
s0
ds 2
d 3GEX s 
C3  lim
s0
ds 3
.................................
C1  lim
(32)
d nGEX s 
Cn  lim
s0
ds n
Przykład 2
Dla układu z przykładu 1 policzyć przebieg w czasie uchybu przyspieszeniowego.
W przykładzie 1 otrzymaliśmy:
E s   Rs 
10 s 2  s
10 s 2  501s  100
(33)
Zatem:
10 s 2  s
GER s  
10 s 2  501s  100
(34)
Wymuszenie ma dla t  0 miało postać:
At 2
2
(35)
r t   At
r t   A
r t   0
(36)
(37)
(38)
r t  
Zatem pochodne wymuszenia wynoszą:
Oczywiście również dalsze pochodne są równe zeru. Powinniśmy, zatem dalej policzyć
C0 ,C1 ,C2 . Uchyb ustalony określony będzie wzorem:
eu t   lim et   C0 r t   C1r t  
t 
C2
r t 
2!
(39)
Wartości C0 ,C1 ,C2 wynoszą:
10 s 2  s
0
s 0 10 s 2  501s  100

d 
10 s 2  s

C1 s   lim 
2
s 0 ds 10 s  501s  100 


10 s 2  s  10 s 2  501s  100   10 s 2  501s  100  10 s 2  s  
 lim
s 0
10 s 2  501s  100 2
C0 s   lim
20 s  110 s 2  501s  100   20 s  50110 s 2  s  
 lim
10 s
s 0
 lim
s 0
2
C 2 s   lim
d
s 0 ds 2
2
 501s  100
5000 s 2  2000 s  100
10 s
 501s  100
2

2
2


10 s  s

 
2
 10 s  501s  100 

2


 2000 s  100  10 s
2
 
2
 501s  100  10 s 2  501s  100
s 0
10 s
10000 s  2000 10 s 2  501s  100 
2
s 0


2
5000 s
 lim
 lim
2

 501s  100
4

  5000 s
2

2 2


2
 2000 s  100


(42)
 2 10 s 2  501s  100 20 s  501 5000 s 2  2000 s  100
10 s
2
 501s  100
2  10  2  501  10
2  10 1000  501 499


 0.1
8
5000
10
10 8
7
(41)
100
 0.01
100 2

d  5000 s 2  2000 s  100 

2 
2
s 0 ds 
 10 s  501s  100 
 lim
(40)

4

4
Uchyb przyspieszeniowy opisany jest zatem zależnością:
eu t   lim et   0.01 At 
t 
1
0.1 A
2!
(43)
Bibliografia
Kuo, B.C. (1962). Automatic Control Systems. Prentice Hall, Inc.
Mazurek, J., Vogt H., Żydanowicz W. (2002). Podstawy automatyki. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej.