Nieskończone szeregi liczbowe.

Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
MATEMATYKA - wykład
Katedra Matematyki
Nieskończone szeregi liczbowe.
Definicja 1. Niech a1 , a2 , a3 , . . . , an będzie ciągiem liczbowym. Wówczas
a1 + a 2 + a 3 + · · · =
∞
X
an
n=1
nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an . Sumy
nazywamy sumami częściowymi szeregu
S1
= a1
S2
= a1 + a2
..
.
Sn
= a1 + a2 + · · · + a n
∞
X
an . Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem, a sumę
n=1
def
Sn = a 1 + a 2 + · · · + a n
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu
∞
X
an . Ciąg (Sn ) będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych
n=1
z ciągu (an ).
Przykład 2. Weźmy następujący szereg
∞ X
1
n=1
1
2
n
−
1
. Wypiszmy wybrane sumy częściowe tego szeregu
n+1
S1
=
S2
= 1−
1 1 1
2
+ − =
2 2 3
3
= 1−
1 1 1
1
1
1
+ − +... + −
=1−
.
2 2 3
n n+1
n+1
..
.
Sn
Definicja 3. Szereg liczbowy
∞
X
an nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych (Sn ) jest ciągiem
n=1
zbieżnym (ma granicę skończoną) tzn. lim Sn = S. Liczbę S nazywamy sumą tego szeregu tzn.
n→+∞
∞
X
n=1
an = a 1 + a 2 + a 3 + · · · = S .
Jeżeli ciąg sum częściowych (Sn ) jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą +∞ lub −∞ albo nie ma żadnej) to
mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Przykład 4. Rozważmy szereg
∞ X
1
n=1
n
−
1
n+1
Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać
1 1 1
1
1
1
+ − +... + −
=1−
.
2 2 3
n n+1
n+1
∞ X
1
1
1
Ponieważ lim Sn = lim 1 −
= 1, więc
−
= 1, czyli szereg (1) jest zbieżny.
n→∞
n→∞
n+1
n n+1
n=1
Sn = 1 −
1
(1)
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
MATEMATYKA - wykład
Przykład 5. Rozważmy szereg
∞
X
Katedra Matematyki
1
(2)
n=1
Wtedy n-ta suma częściowa tego szeregu ma postać
Sn = 1 + 1 + . . . + 1 = n .
Ponieważ lim Sn = lim n = +∞, więc szereg (2) jest rozbieżny.
n→∞
n→∞
Twierdzenie 6 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH).
∞
X
Jeżeli szereg liczbowy
an jest zbieżny, to lim an = 0.
n=1
n→∞
Uwaga 7. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny. Jeżeli warunek konieczny jest
spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
Przykład 8. Rozważmy szereg
∞
X
n
.
2n
+1
n=1
(3)
n
1
= , więc warunek konieczny nie jest spełniony, zatem szereg (3) jest rozbieżny.
2n + 1
2
Przykład 9. Rozważmy szereg
∞
X
1
√ .
n
n=1
Wówczas lim
n→∞
(4)
1
Ponieważ lim √ = 0, więc warunek konieczny jest spełniony, ALE n-ta suma częściowa szeregu (4) ma postać
n→∞
n
√
1
1
1
1
1
1
1
Sn = 1 + √ + √ + · · · + √ > √ + √ + · · · + √ = n · √ = n .
n
n
n
n
n
2
3
Wówczas lim Sn = +∞, więc szereg (3) jest rozbieżny.
n→∞
Definicja 10. Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci
∞
X
(5)
a1 q n−1 .
n=1
Szereg geometryczny jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q.
Twierdzenie 11. Jeżeli
• a1 = 0 to szereg (5) jest zbieżny i ma sumę równą 0.
• a1 6= 0 i |q| > 1 to szereg (5) jest rozbieżny.
• a1 6= 0 i |q| < 1 to szereg (5) jest zbieżny i Sn = a1 + a1 q + a1 q 2 · · · + a1 q n−1 = a1
lim Sn = lim a1
n→∞
n→∞
1 − q n gdy |q|<1 a1
=====
.
1−q
1−q
1 − qn
. Wówczas
1−q
Definicja 12. Szereg harmoniczny to szereg postaci
∞
X
1
.
n
n=1
(6)
Definicja 13. Szereg harmoniczny rzędu p to szereg postaci
∞
X
1
.
np
n=1
Twierdzenie 14. Szereg harmoniczny rzędu p > 1 jest zbieżny.
Twierdzenie 15. Szereg harmoniczny rzędu p 6 1 jest rozbieżny.
2
(7)
Budownictwo – studia niestacjonarne
sem I, 2008/2009
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - wykład
Niektóre kryteria zbieżności szeregów liczbowych
∞
X
an+1 = g. Wtedy szereg liczbowy
Twierdzenie 16 (kryterium d’Alemberta). Niech lim an
n→∞
an n=1
1. jest zbieżny, jeżeli g < 1.
2. jest rozbieżny, jeżeli g > 1.
W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji
nie wynika zbieżność ani rozbieżność szeregu.
Twierdzenie 17 (kryterium Cauchye’go). Niech lim
n→∞
p
n
|an | = g. Wtedy szereg liczbowy
1. jest zbieżny, jeżeli g < 1.
∞
X
an
n=1
2. jest rozbieżny, jeżeli g > 1.
Jeżeli g=1, to kryterium nie rozstrzyga zbieżności lub rozbieżności.
Twierdzenie 18 (kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
szereg
∞
X
n=1
∞
X
an ,
n=1
∞
X
bn i
n=1
bn jest zbieżny oraz od pewnego miejsca n0 dla każdego n ∈ N, takiego że n > n0 spełniona jest nierówność
0 6 an 6 bn , to szereg
∞
X
an również jest zbieżny.
n=1
Twierdzenie 19 (kryterium porównawcze rozbieżności szeregów). Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe
i szereg
∞
X
n=1
∞
X
n=1
an ,
∞
X
bn
n=1
an jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca n0 dla każdego n ∈ N, takiego że n > n0 spełniona jest
nierówność 0 6 an 6 bn , to szereg
∞
X
bn również jest rozbieżny.
n=1
Definicja 20. Szereg liczbowy postaci
∞
X
(−1)n an ,
(8)
n=1
gdzie dla każdego n ∈ N an > 0 nazywamy naprzemiennym.
∞
X
(−1)n+1
1
1
1
= 1 − + − + · · · . jest przykładem szeregu naprzemiennego.
n
2
3
4
n=1
Będziemy nazywać go szeregiem anharmonicznym.
Przykład 21. Szereg postaci
Twierdzenie 22 (kryterium Leibniza). Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny
warunki: 1. ciąg an jest nierosnący, 2. lim an = 0, to szereg jest zbieżny.
∞
X
(−1)n an , taki że spełnione są
n=1
n→∞
Uwaga 23. Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmonicznym
zbieżny ponieważ ciąg an =
∞
X
(−1)n+1
1
1
1
= 1 − + − + · · · . jest
n
2
3
4
n=1
1
jest ciągiem malejącym dążącym do zera.
n
Definicja 24. Szereg liczbowy
∞
X
an nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg
n=1
∞
X
n=1
|an | jest zbieżny
(szereg bezwzględnych wartości).
Szereg liczbowy, który jest zbieżny a nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym.
Twierdzenie 25. Jeżeli dany szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
3