SZEREGI LICZBOWE II. DEF 1. Niech a1,a2,a3, ..., an będzie

SZEREGI LICZBOWE II.
DEF 1. Niech a1 , a2 , a3 , ..., an będzie ciągiem liczbowym wówczas ciąg sum :
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
Sn = a1 + a2 + ... + an
...
nazywamy SZEREGIEM liczbowym o wyrazach an i oznaczamy symbolem:
∞
X
an = a1 + a2 + ... + an + ...
n=1
P∞
Sumy S1 , S2 , ..., Sn , ... będziemy nazywać sumami częściowymi szeregu n=1 an .
Ciąg Sn będziemy nazywać ciągiem sum częściowych powstałych na tle ciągu an .
P∞
DEF 2. Szereg liczbowy n=1 an nazywamy zbieżnym, jeżeli jego ciąg sum częściowych Sn jest ciągiem zbieżnym (ma granicę skończoną) tzn. limn→∞ an = S.
Liczbę S będziemy nazywać sumą tego szeregu.
DEF 3. Jeżeli ciąg sum częściowych jest rozbieżny (tzn. ma granicę niewłaściwą + lub - albo nie ma żadnej) to mówimy, że szereg jest rozbieżny.
Twierdzenie 1 (Warunek
P∞ konieczny zbieżności szeregów liczbowych)
Jeżeli szereg liczbowy n=1 an jest zbieżny, to:
lim an = 0.
n→∞
UWAGA 3. Jeżeli warunek konieczny nie jest spełniony to szereg jest rozbieżny.
Jeżeli warunek konieczny jest spełniony to nie wiemy czy szereg jest zbieżny czy
rozbieżny.
P∞
DEF 4.Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg postaci n=1 a1 q n−1 powstały na tle ciągu geometrycznego o pierwszy wyrazie a1 i ilorazie q.
Jeżeli
• a1 = 0 to szereg jest zbieżny i ma sumę równą 0
• a1 6= 0 i |q| ­ 1 to szereg jest rozbieżny
• |q| < 1 to szereg jest zbieżny do S =
a1
1−q
lim Sn = lim a1 + a1 q + ... + a1 q n−1 = lim
n→∞
n→∞
n→∞
DEF 5. Szereg harmoniczny rzędu r to szereg postaci:
∞
X
1
nr
n=1
1
a1
1 − qn
1−q
Twierdzenie 2.
• Szereg harmoniczny rzędu r > 1 jest zbieżny.
• Szereg harmoniczny rzędu r ¬ 1 jest rozbieżny.
Przykład 5. Zbadaj zbieżność szeregów:
P∞ 1
1.
n=1 n harmoniczny rzędu 1-ego, więc jest rozbieżny
P∞ 1
1
√
2.
n=1 n harmoniczny rzędu 2 -ga, więc jest rozbieżny
3.
P∞
4.
P∞
1
n=1 n10
n=1
√1
n9
harmoniczny rzędu 10-ego, więc jest zbieżny
harmoniczny rzędu większego niż 1, więc jest zbieżny
Twierdzenie 3. (kryterium d’Alemberta)
P∞
Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich n=1 an i jeżeli
lim
n→∞
an+1
= g,
an
wtedy:
• jeżeli g < 1, to szereg liczbowy jest zbieżny,
• jeżeli g > 1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,
W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność
szeregu.
Twierdzenie 4. (kryterium Cauchye’go)
P∞
Jeżeli mamy dany szereg liczbowy o wyrazach dodatnich n=1 an i jeżeli
√
lim n an = g,
n→∞
wtedy:
• jeżeli g < 1, to szereg liczbowy jest zbieżny,
• jeżeli g > 1, to szereg liczbowy jest rozbieżny,
W przypadku, kiedy g = 1, to zbieżność szeregu należy badać za pomocą innego kryterium, ponieważ z tej informacji nie wynika zbieżność ani rozbieżność
szeregu.
Twierdzenie 5. (kryterium porównawcze
szeregów)
P∞
P∞
Jeżeli mamy dwa szeregi liczbowe n=1 an , n=1 bn i szereg:
P∞
•
n=1 bn jest zbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego
spełniona jest nierówność
0 < an ¬ b n ,
P∞
to szereg n=1 an jest zbieżny.
2
•
P∞
n=1 an jest rozbieżny oraz od pewnego miejsca dla każdego n naturalnego spełniona jest nierówność:
0 < an ¬ bn ,
to szereg
P∞
n=1 bn
jest rozbieżny.
DEF 6. Szereg liczbowy postaci:
∞
X
(−1)n+1 an ,
n=1
gdzie dla każdego n naturalnego an ­ 0 nazywamy naprzemiennym.
Twierdzenie 6.(kryterium Leibniza) P
∞
Jeżeli mamy dany szereg naprzemienny n=1 (−1)n+1 an taki, że spełnione są
warunki:
• ciąg an jest nierosnący
• limn→∞ an = 0
to szereg jest zbieżny.
Zad1. Wykazać, że następujące szeregi są zbieżne oraz wyznaczyć ich sumy:
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
1 n
5
•
P∞
2008
1
n=1 n(n+1)
1
n=1 n(n+3)
1
n=1 (4n−1)(4n+1)
n=1
n=1
1 n
4
Zad2. Zbadać zbieżność szeregów:
3n
n=1 n!
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
n2
n=1 4n
n=1
n2 +1
n2
(n!)2
n=1 ((2n)!)2
n!
n=1 nn
4n
n=1 n4
n=1
(n!)2 3n
(2n)!
n
n=1 (n+3)2
3
2n2 +1
n=1 n5 +4n+7
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
2
•
P∞
2004n2
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
•
P∞
1
n=1 n+11
1
n=1 n3 +1
n=1
n=1
1 n
7
7n
n=1 n4
n6
n=1 6n
n=1
n100 99n
100n
1
n=1 2n2
22n
n=1 3n
n+1 1
n=1 (−1)
2n
1 √
n√
n=1 (−1)
n+1− n
n+1 1
1
n=1 (−1)
sin n
n=1
(−1)n+1
n2
(−1)n
n=1 n+3
4