Szeregi_liczbowe

Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2015/16
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Szeregi liczbowe
∞
Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie postaci ∑ an i definiujemy
n=0
∞
N
jako: ∑ an = lim ∑ an
n=0
N→∞ n=0
Intuicyjnie należy przez szereg rozumieć sumę wszystkich wyrazów
dowolnego ciągu liczbowego.
Jeśli powyższa granica jest skończona, to mówimy, że szereg jest zbieżny,
a jeśli granica jest nieskończona lub w ogóle nie istnieje, to mówimy, że
szereg jest rozbieżny.
Przykłady:
∞
1
Szereg ∑ n jest zbieżny, ponieważ jest to suma nieskończonego ciągu
3
n=0
geometryczny o ilorazie q takim, że ∣q∣ < 1 - granica z definicji zatem
istnieje i jest skończona.
∞
Szereg ∑ 3n jest rozbieżny, ponieważ jest to suma nieskończonego ciągu
n=0
geometryczny o ilorazie q takim, że ∣q∣ > 1 - granica z definicji zatem co
prawda istnieje, ale jest nieskończona.
∞
Szereg ∑ (−1)n jest rozbieżny, ponieważ granica z definicji nie istnieje n=0
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Kryteria zbieżności
√
√
1 n
Przydatne granice: lim (1 + ) = e lim n a = 1 lim n n = 1
n→∞
n→∞
n→∞
n
W przypadku szeregów liczbowych najczęściej szukamy odpowiedzi na
pytanie czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Do jej znalezienia możemy
użyć kilku kryteriów zbieżności.
Uwaga: od tej pory zakładamy, że ciąg an ma wyrazy nieujemne!
Warunek konieczny zbieżności
∞
Jeśli ∑ an jest zbieżny, to lim an = 0. Inaczej mówiąc: jeśli lim an
n=0
n→∞
∞
n→∞
nie istnieje lub istnieje, ale jest różna od zera, to szereg ∑ an jest
n=0
rozbieżny.
Kryterium Cauchy’ego.
∞
√
Niech lim n an = g . Jeśli g > 1 to szereg ∑ an jest rozbieżny, jeśli
n→∞
n=0
g < 1 szereg jest zbieżny, a jeśli g = 1, to kryterium nie daje
rozstrzygnięcia.
Kryterium d’Alemberta
∞
an+1
Niech lim
= g . Jeśli g > 1 to szereg ∑ an jest rozbieżny, jeśli
n→∞ an
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki
n=0 - Szeregi liczbowe
Kryteria zbieżności
Kryterium porównawcze
Niech dla ciągów (an ) i (bn ) od pewnego miejsca zachodzi
nierówność an ≤ bn . Wówczas:
∞
∞
- jeśli szereg ∑ bn jest zbieżny, to ∑ an też
n=0
∞
n=0
∞
- jeśli szereg ∑ an jest rozbieżny, to ∑ bn też.
n=0
n=0
Inaczej mówiąc: ze zbieżności sumy większego ciągu wynika
zbieżność sumy mniejszego ciągu, a z rozbieżności sumy mniejszego
ciągu wynika rozbieżność sumy większego ciągu.
W przypadku używania kryterium porównawczego warto wiedzieć, że:
∞
1
- szereg ∑ α jest zbieżny dla α > 1 oraz rozbieżny dla α ≤ 1
n=0 n
∞
- szereg ∑ q n jest zbieżny dla ∣q∣ < 1 i rozbieżny dla ∣q∣ ≥ 1
n=0
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Przykłady zastosowań
∞
Szereg ∑ (−1)n jest rozbieżny, ponieważ nie spełnia warunku
n=0
koniecznego zbieżności.
∞
2n + 1 n
) jest rozbieżny na mocy kryterium Cauchy’ego,
Szereg ∑ (
n=0 n + 3
ponieważ:
√
2 + n1
2n + 1
2n + 1 n
n
lim
) = lim
= lim
(
=2>1
n→∞
n→∞ n + 3
n→∞ 1 + 3
n+3
n
∞
2n
jest zbieżny na mocy kryterium d’Alemberta, ponieważ
n=0 n!
Szereg ∑
mamy:
an+1
= lim
lim
n→∞
n→∞ an
2n+1
(n+1)!
2n
n!
2n ⋅ 2
n!
2
⋅
= lim
=0<1
n→∞ n! ⋅ (n + 1) 2n
n→∞ n + 1
= lim
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Przykłady zastosowań
∞
n+1
jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego.
2+1
n
n=0
Szereg ∑
Warto zwrócić uwagę, że kryterium d’Alemberta opłaca się stosować gdy
w ciągu pojawiają się silnie, a kryterium Cauchy’ego gdy w ciągu
pojawiają się n-te potęgi (i nie ma silni).
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe
Ćwiczenia
Rozstrzygnij czy następujące szeregi są zbieżne:
.
2
∞
∞
∞
n
n!
2+n n
b) ∑ n c) ∑ (
a) ∑ n
)
n=0 3
n=0 2
n=0 1 + n
∞
√
n+ n+1
d) ∑ 3
n=0 n + n + 2
∞
n!
e) ∑ n
n=0 n
∞
◇◇
√
n
f) ∑
n=0 n + 1
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki - Szeregi liczbowe