+ +oo - mimuw

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZVSTWA MATEMATYCZNEGO
Seria II: WIADO::VIOŚCI MATEMATYCZNE XI (1969)
z.
K.
CHARZYŃSKI
(Warszawa)
O pewnych
ciągach nieskończonych
(na marginesie zadania R.
Krasnodębskiego)
f określoną co najmniej w pewnym
w nim (może być również w praworosnąca, w lewostronnym malejąca i odwrotnie),
Iimf(x) = O; ciąg liczb rzeczywistych {ak} zbieżny do
Rozważmy funkcję rzeczywistą
zera oraz
stronnym otoczeniu
sąsiedztwie
mającą granicę
monotoniczną
X-0
pewnej liczby a; funkcję
a. '1(u) -+ +oo,
rzeczywistą ,1:
R
~
R,
spełniającą
warunki
1u1-oo
b. dla dowolnego x istnieje granica
.
'1(u)
hm - 8
\u\-oo A(XU }
Załóżmy
poza tym,
że
V'(x),
istnieją
1'
\ul-o
oraz
lim 1f' (X) =
x-I/a
=
zależności
U
od tego czy a #o, czy
że wówczas ciąg
>0.
g# O
lim 1f' (X)
IXl-oo
bądź
1f'
s
granice
lim Il ( -)f(u)
( *)
w
=
też
=
1f'
a =O.
Wykażemy,
~-, f( a~)'
n
[A(n)l
<1n
=
,,,.;....,J
k=l
określony' dla dostatecznie wielkich n, ma granicę <J = g' 1P·
Weżmy dowolne s >O. Wobec założenia istnieje o> O takie,
dla x spełniających nierówność:
(bądź lxl
mamy
lg1P(x)- Y1PI
< t s.
>
b)
że
Z. K.
2
Niech
'YJ
>O oznacza
I
Charzyński
dla której
liczbę,
11 < c5
1
a±n
- - -
1
a
zachodzą nierówności:
, 1
-
(bądz
'fj
>
c5 ),
przy czym liczby a-n i a+ 'YJ mają ten sam znak (gdy a =:/=O).
założenia jednak ak ~a. Zatem istnieje liczba k0 = k0 ('f/) taka,
wszystkich k > k0 ( 'YJ)
Według
że
dla
Stąd
a-17
ak
a+17
n
n8
n8
-<-<--
-8
dla
n=l,2, ...
Skorzystamy teraz z założenia o monotoniczności funkcji f. Dla ustalenia uwagi przypuścimy, że f jest rosnąca (niemalejąca). 'Vobec tego
(a+n)
(a-n)
n s ~ f -;;,sf -;;,s- ~ f (~)
Sumując
od k 0 do [l.(n)] otrzymamy (dla dostatecznie
l\Iożemy oczywiście
er„
=
myśl założenia
2,'t(:,} = 2,'t(:~) + 2 !(::).
k=I
ko
[?.(n)]
k=l
k=ko+I
dla ustalonego k mamy
limf
n~oo
a,,.)
(--n ~- =
O.
Wobec tego
istnieje
więc
K
1
dużych
na pisać
[J.(n)]
\V
dla
takie,
że
dla wszystkich
n> h\
n)
O
3
ciągach nieskończonych
Z drugiej strony
a±17) = A(n)f (a±17)
-;;;8 - kof (a±17)
-;;;s ,
(-;;;8
a±17)
dla
n-+
k f (-;;;8 -+0
(A(n)-k0)f
CXJ'
0
a±17)
A(n)
( n
(a±17) ( 1 )
A.(n)f (-;;;8 = ). (__!!___-) A a± 1J f -;;;8 -+ 1P a± 1J g'
8
)
a±17
gdy n -+ oo. Istnieje
więc
N 2 takie,
że
dla wszystkich n
>
N2
stąd
a+ 'i}) <
n
1
(-1-) g <-s+g1P--s+g1P<
1
1
-s+1P
4
a+ 17
2
2
(A.(n)-k0 -l)f (- -
(a-
1
( -1-) < (A.(n)-ko)f
.
'YJ) •
< --s+g1P
--
a-17
4
Przyjmując
N= max(Nu N 2 ) dla
n
n> N
mamy
1
--B
2
<
jednocześnie
l~-; j (ak)
1
<-s.
k=I
n8
2
Tym samym dla dowolnej liczby s >O znaleźliśmy taką liczbę N, że
dla wszystkich n > N zachodzi nierówność Y'IJJ- s < <Jn < Y1P + e. Oznacza to, że rzeczywiście <Jn -+- Y1P, gdy n -+ CXJ, co należało okazać.
R. Krasnodębski podał następujące zadanie (Wiadom. Mat. 10, str.
105, zadanie 151):
Znaleźć granicę ciągu liczb :
Pn
=
n
cos
k=I
Pokażemy, że Pn -+
<Jn
1. Istotnie,
=
ln Pn
=
vk-vk-1
·-
n2
--
n
cp.
oznaczając
~ ln (cos -vk"-vk-1
)
··<f
~
k=l
-i-·····
1
Z. K.
4
Charzyński
oraz
f(x)
= lncosx,
stwierdzamy, że
dzenie. Mamy
ak ~O,
gdy k
1P(x) =
lim - - = lim -2 -2
1u1-400 .A. ( xu)
1u1-400 x u
=
i
możemy stosować powyższe
u2
.
.?.(u)
lim 1P(x) = lim -
1P =
g
~oo
iul-oo
(1) f
lim.?. '!.t-40
u
1
2
1x1-oo X ,
u2
U-40
1
= -2,
x
=o,
1 ln cos
(u) = lim -
twier-
u
1
= - - ,
2
= e = 1.
wreszcie, że w przypadku, gdy a =I= O dla wykazania
zbieżności ciągu {an} wystarcza założyć istnienie jednostronnej granicy(*);
lewostronnej, gdy a< O i prawostronnej, gdy a> O. Dowód pozostaje
przy tym niemal bez zmian. Podobnie, dla rozważenia przypadku, gdy ak
skąd a= Y1P =O; tym samym Pn~ ea
0
Zauważmy
rośnie nieograniczenie, przy czym a[,,.~)J ~o, gdy n~
n
założenie b, zaś w miejsce istnienia granic
lim 1JJ( x)
istnienie granicy
..
1im
l,
n-oo k~J.(n)
można pominąć
lim 1JJ( x)
bądź
IXl-400
X-"'lfa
założyć
ex>
1
Il (n )
--s-
=
1jJ,
ak
aby analogicznie stwierdzić, że granicą ciągu {an} jest liczba a= g·1P·
Powyższe uwagi pozwalają uzyskać kilka interesujących, być może,
przejść granicznych, wśród których, jako przypadek szczególny, znajdziemy znów odpowiedź na pytanie R. Krasnodębskiego. Mamy bowiem
Jl-
n2
-Jcos_!!_cp ~ exp(-~);
/.
.k=I
n n-oo
4
J}
n
k=l
(
kS-1)
1 + --;T ;:
i tym podobnie.
00
(1)
exp S" ,
n2
J}cos
k=l
ak
n
2),
~ ex.p(-~a
2
l·-1 cos
n
gdy
8
gdy
n-'>-oo
=I= -1;
k=I
'm
kcp
-=-
nVn
~e
ak-+a;
k-.oo
-~..!_.'1'2
2
6
n-+oo
m =l,2, ... ,