Opis układu regulacji

Układy ze sprzężeniem zwrotnym: regulacja a korekcja
• regulacja
x*
e
+
• korekcja
u
GR
x
G0
• korekcja w sprzężeniu zwrotnym
+
-
-
u
Zastosowanie korekcji
-
e
GR
x*
x*
+
GR ( s ) = K p (1 +
x
e
+
Gk
O
1 + T2 s
1 + T1s
Gk
• korekcja równoległa
x
x
*
e
+
-
x
O
-
Gk ( s ) = k
u
e
+
1
+ Td s )
Ti s
• korekcja szeregowa
*
Gk
x
G0
x
G0
Gk
u
O
x
Amborski/307
Regulacja – sterowanie w układzie zamkniętym
Bloki w Simulinku
Feedback Control
y*
regulator u obiekt
+
-
ywy
Two-degree-of-freedom
PID Controller
(PID Controller 2DOF)
1
Transmitancje układu regulacji ciągłej (bez zakłóceń)
+
y
e
u
GR
*
Y ( s) = G0 ( s )U ( s )

U ( s ) = GR ( s) E ( s )

*
 E ( s) = Y ( s) − Y ( s)
G0
y
-
GR Go
Y
= Gz =
*
1 + GRGo
Y
Y ( s) =
GR ( s )Go ( s ) *
Y ( s)
1 + GR ( s )Go ( s )
E
1
= Ge =
*
1 + GR GO
Y
E ( s) =
1
Y * ( s)
1 + GR ( s )GO ( s )
Go ( s ) =
Lo ( s )
M o ( s)
Gz =
Lo ( s ) LR ( s )
M o ( s ) M R ( s ) + Lo ( s ) LR ( s )
GR ( s ) =
LR ( s )
M R ( s)
Ge =
M o ( s) M R (s)
M o ( s ) M R ( s) + Lo ( s ) LR ( s )
Transmitancje układu regulacji ciągłej (z zakłóceniami)
z
*
y +
e
GR
u
y1
G0
-
1

 E  1 + G R G0
Y  =  G G
   R 0
1 + G R G0
 E  Ge
Y  = G
   z
− G0 
1 + G R G0  Y * 
⋅
G0   Z 
 
1 + G R G0 
Gez  Y * 
⋅
G yz   Z 
G z = 1 − Ge
G yz = −Gez
y
Y ( s ) = G0 ( s)Y1 ( s )
Y ( s ) = Z ( s ) + U ( s )
1

U ( s) = GR ( s) E ( s)
 E ( s) = Y * ( s) − Y ( s )
• t.układu zamkniętego
Y (s)
Gz (s) = *
Y (s)
• t.uchybowa
Ge ( s ) =
E ( s)
Y * ( s)
• t.uchybowo-zakłóceniowa
E ( s)
Gez ( s ) =
Z (s)
• t.wyjściowo-zakłóceniowa
Y ( s)
G yz ( s ) =
Z (s)
2
Układ regulacji rzeczywiste i teoretyczne
z
y* +
e
Twew*
y1
u
GR
y
G0
–
GR
+
-
G11
qk
G12
Tzew
+
Twew
+
Tzew
G12
Tzew
Twew*
Twew
GR
+
–
qk
GR
Twew*
Twew*
y* +–
GR
qk
G11
Tzew
G12/G11
qk + z
u
+
z
y*
Gp2
yp* +
ep
-
y1
Gw u
Gr
yp
y
G0
y* +–
GR
+
u
+
+
+
G11
Twew
Twew
y
z
G11
y
Gp1
Układ regulacji rzeczywiste i teoretyczne
z
y*
yp* +
Gp2
ep
Gr
-
y +
e
GR
y
G0
Gp1
kwy
kwe
*
Gw
yp
y1
u
Gp1 – przetwornik pomiarowy
Gp2 – przetworniki w. zadanej
Gw – elementy wykonawcze
z – zakłócenia na obiekcie
zp – zakłócenia przetwornika p.
z
u
y1
G0
y
-
Układ teoretyczny z zakłóceniami
y* +
e
GR
u
G0
y
-
Układ teoretyczny bez zakłóceń
3
Matlab: SISO Design (LTI Object) – proponowane struktury
F – filtr wejściowy
C – compensator (regulator)
G – obiekt
r – w.zadana
y – zmienna procesowa
Regulator ciągły: podstawowe struktury PID
PID-IND
PID-ISA
(IND – INDependent algorithm)
(ISA – Ideal Standard Algorithm)
Kp
e
1/sTi
1
u
sTd
GR = K p +
1
+ Td s
Ti s
t
u (t ) = K p e(t ) +
de(t )
1
+U0
e(τ )dτ + Td
∫
Ti 0
dt
Simulink v.2010: PID Parallel
G par
Ns
1
= P+I +D
s
s+N
e
Kp
1/sTi
u
sTd
GR = K p (1 +
1
+ Td s )
Ti s
t

de(t ) 
1
u (t ) = K p e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td
 + U0
Ti 0
dt 

PID ideal
Ns 
1

G par = P1 + I + D

s
s+N 

4
Własności układu zamkniętego: 1) stabilność
1
E
Ge = * =
e GR u G0
1 + GR GO
Y
+
y
*
Gz =
Lo ( s)
M o (s)
Go (s) =
GR ( s ) =
Go =
y
-
Ge =
LR ( s )
M R (s)
K
(Ts + 1) 2
GR = K p +
Ge =
1
Ti s
Y
GR Go
=
*
1 + GR Go
Y
M o ( s) M R ( s)
M o ( s) M R ( s) + Lo ( s ) LR ( s )
(Ts + 1) 2 Ti s
(Ts + 1) 2 Ti s + K ( K pTi s + 1)
TiT 2 s 3 + 2TiTs 2 + Ti ( KK p + 1) s + KK pTi s + K = 0
Metody analizy:
a) Rozwiązanie r.charakterystycznego
b) Kryteria Routha, Hurwitza
Własności układu zamkniętego: 2) uchyb statyczny (stan ustalony)
 E ( s)  Ge ( s ) Gez ( s )  Y * ( s )

Y ( s )  = G ( s ) G ( s ) ⋅ 
yz

  z
  Z (s) 
E ( s ) = Ge ( s )Y * ( s) + Gez ( s ) Z ( s )
Y ( s) = G z ( s )Y * ( s) + G yz ( s) Z ( s)
wartości początkowe
e0 = lim e(t ) = lim sE ( s )
t →0
s →∞
y0 = lim y (t ) = lim sY ( s )
t →0
uchyb statyczny
s →∞
wartości końcowe
ek = lim e(t ) = lim sE ( s )
t →∞
s →0
y k = lim y (t ) = lim sY ( s )
t →∞
s →0
es = lim sE ( s)
s →0
es = lim s (GeY * + Gez Z )
s →0
5
Regulator ciągły P
y
*
e
+
u
Kp
Gz =
Go ( s ) =
y
G0
Lo ( s )
M o ( s)
GR Go
Y
=
*
1 + GRGo
Y
Gz ( s ) =
GR ( s ) = K p
Ge =
Lo ( s )
M o ( s ) + K p Lo ( s )
1
E
=
Y * 1 + GR GO
Ge ( s ) =
M o ( s)
M o ( s ) + K p Lo ( s )
e(t ) = lim sE ( s ) = lim sGe ( s )Y * ( s)
Uchyb regulacji w stanie ustalonym: es = tlim
→∞
s →0
s →0
*
*
*
- dla stałej wartości zadanej: y (t ) = y0 → Y ( s ) =
- oraz obiektu inercyjnego:
k
jest
Ts + 1
Go ( s) =
M o (s)
y0*
jest es = lim
s →0 M ( s ) + K L ( s )
o
p o
s
Ts + 1
1
=
≠0
K pk 1+ K pk
es = lim
s →0 Ts + 1 +
Uchyb regulacji w stanie ustalonym es =0 tylko jeśli M(s=0)=0
Regulator ciągły PI
1/Tis
y
*
+
e
Kp
+
y
u G
0
-
L ( s)
Go ( s ) = o
M o ( s)
K pTi s + 1
1
GR = K p +
=
Ti s
Ti s
Ge =
1
E
=
*
1 + GR GO
Y
Ge =
M o ( s )Ti s
M o ( s )Ti s + Lo ( s) LR ( s )
e(t ) = lim sE ( s ) = lim sGe ( s )Y * ( s)
Uchyb regulacji w stanie ustalonym: es = tlim
→∞
s →0
s →0
- dla:
y* (t ) = y0* → Y * ( s ) =
- oraz: Go ( s) =
y0*
s
jest
es = lim
s →0
M o ( s )Ti s
M o ( s )Ti s + LR ( s) Lo ( s)
(Ts + 1)Ti s
k
=0
jest es = lim
s →0 (Ts + 1)T s + (K T s + 1)k
Ts + 1
i
p i
Uchyb regulacji w stanie ustalonym es =0
- tym samym
(jeśli tylko stopiń licznika < stopnia mianownika)
yk = y0*
6
Własności układu zamkniętego
Metody analizy (cz.1)
1) Stabilność:
•
zapewnić stabilność (dobór nastaw)
a) zastosowanie gotowych wzorów (metody Zieglera-Nicholsa i inne)
b) rozwiązanie r.charakterystycznego układu zamkniętego
c) kryteria Routha, Hurwitza dla r.ch. układu zamkniętego
....
•
zapas stabilności (np. na charakterystykach częstotliwościowych)
2) Jakość:
•
błąd statyczny
a) es≠0 dla P, es=0 dla PI (obliczanie wartości końcowej es)
•
błędy dynamiczne (błąd maksymalny, szybkość regulacji, ...)
•
wrażliwość na zmianę nastaw
Matlab: Simulink – bloki PID
Two-degree-of-freedom
PID Controller
(PID Controller 2DOF)
PID Controller
Funkcja PID Tuner
Charakterystyki (step, bode) dla:
• Reference tracing
• Controller effort
• Input disturbance Rejection
y
CG
=
r 1 + CG
u
C
=
r 1 + CG
y
G
=
d1 1 + CG
y
• Output disturbance Rejection d 2
=
1
1 + CG
• Open-loop
CG
• Plant
G
Feedforward compernsator - PD,
Feedback compensator - PID
Własności:
- płynne śledzenie wartości zadanej
- dobre tłumienie zakłóceń
7