szkic wykładów z mechaniki

Rozdział 2
Kinematyka
Definicja 3 Kinematyka jest to dział mechaniki opisujacy
˛ ruch punktu
lub bryły, bez uwzgledniania
masy i przyczyn wywołujacych
zmiane˛ ruchu.
˛
˛
Kinematyczne równania ruchu punktu materialnego:
x = f1 (t) , y = f2 (t) , z = f3 (t) - równania parametryczne toru punktu
lub
r = r (t) .
2.1
Predkość
˛
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t2 − t1 , w którym
[
punkt przebył droge˛ ∆s = P
1 P2 . Dla dwóch kolejnych położeń mamy
r2 = r1 + ∆r,
Jeśli ∆t → 0, to
∆r = r2 − r1 .
dr −
∆r
→
=
= ṙ
∆t→0 ∆t
dt
v = lim
Predkość
punktu jest wektorem określonym przez pierwsza˛ pochodna˛
˛
wektora położenia wzgledem
czasu.
˛
35
Składowe
v = ẋi + ẏj + ż k,
v jest wektorem stycznym do toru.
Niech s (t) przedstawia droge˛ punktu P w przedziale ∆t, to
→
−
dr ds
dr
=
= ṡτ o ,
dt
ds dt
v=
→
−
gdzie τ o -wektor jednostkowy styczny do toru w danym punkcie.
Można stad
to pochodna
˛ wywnioskować, że moduł wektora predkości,
˛
drogi po czasie.
2.2
Przyspieszenie
Rozpatrzmy z kolei, jak zmienia sie˛ wektor predkości
w czasie ∆t.
˛
Dla dwóch kolejnych położeń mamy
v2 = v1 + ∆v.
Jeśli ∆t → 0, to
dv −
∆v
→ −
→
=
= v̇ = r̈ .
∆t→0 ∆t
dt
a = lim
Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsza˛ pochodna˛ wektora predkości
lub druga˛ pochodna˛ wektora położenia wzgledem
czasu.
˛
˛
Składowe
a = ẍi + ÿ j + z̈ k.
Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu predkości.
˛
Równanie hodografu
v = v (t) ,
vx = vx (t) , vy = vy (t) , vz = vz (t) .
36
Przykład 4 Dane sa˛ równania ruchu punktu
x = b1 cos (ωt) , y = b2 sin (ωt) , z = 0.
Znaleźć równanie toru, równanie hodografu predkości
oraz wartość pred˛
˛
kości i przyspieszenia w chwili t = t1 .
2.3
Ruch punktu we współrzednych
biegunowych
˛
Równania ruchu we współrzednych
biegunowych
˛
r = f1 (t) ,
ϕ = f2 (t) .
Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowolna˛ oś jest
równy sumie rzutów składowych danego wektora na ta˛ oś, rzutujemy
vx , vy na kierunek r i przyrostu ϕ (w danej chwili). Inaczej- rzutujemy
v na r i ϕ.
vr = vx cos ϕ+vy sin ϕ,
vϕ = −vx sin ϕ+vy cos ϕ.
Uwzgledniaj
ac
˛
˛ zwiazki
˛
x = r cos ϕ,
y = t sin ϕ,
mamy
vx = ẋ = ṙ cos ϕ − rϕ̇ sin ϕ,
vy = ẏ = ṙ sin ϕ + rϕ̇ cos ϕ.
Stad
˛
vr =
dr
= ṙ,
dt
vϕ = r
dϕ
= rϕ̇.
dt
Predkość
promieniowa (radialna) jest pierwsza˛ pochodna˛ promienia
˛
wodzacego
wzgledem
czasu. Predkość
obwodowa (transwer˛
˛
˛
37
salna) jest iloczynem promienia wodzacego
przez pierwsza˛ pochodna˛
˛
kata
czasu.
˛ biegunowego wzgledem
˛
Podobnie z przyspieszeniem
ar = ax cos ϕ + ay sin ϕ,
aϕ = −ax sin ϕ + ay sin ϕ
ax = v̇x = r̈ cos ϕ − 2ṙϕ̇ sin ϕ − rϕ̈ sin ϕ − rϕ̇2 cos ϕ,
ay = v̇y = r̈ sin ϕ + 2ṙϕ̇ cos ϕ + rϕ̈ cos ϕ − rϕ̇2 sin ϕ.
Stad
˛
vϕ2
, (radialne)
r
1d
(rvϕ ) , (transwersalne).
= 2ṙϕ̇ + rϕ̈ =
r dt
ar = r̈ − rϕ̇2 = v̇r −
aϕ
Przykład 5 Zbadać ruch określony równaniami r = At, ϕ = Bt.
2.4
Przyspieszenie styczne i normalne
Naturalny (normalny) układ współrzednych
˛
jest
1. Predkość
v = vτ τ o + vn no + vb bo . Ponieważ wektor predkości
˛
˛
styczny do toru to vn = vb = 0.
2. Przyspieszenie a = aτ τ o + an no + ab bo . Ponieważ w układzie
lokalnym możliwy jest rozkład przyspieszenia na styczne i normalne to ab = 0.
Wektor predkości
jest funkcja˛ czasu (zmienny co do kierunku i wartości),
˛
to
v = v (t) ,
v = vτ o , τ o - wektor jednostkowy w kierunku v w danej chwili.
v = v (t) , τ o = τ o (t) .
38
Stad
˛
a=
Przyspieszenie
dv
dt
dτ
dv o
τ +v .
dt
dt
= aτ nazywamy przyspieszeniem stycznym.
Znajdziemy pochodna˛ wektora jednostkowego po czasie. Skorzystamy z iloczynu skalarnego
τ o ◦ τ o = 1.
Stad
˛
d o
dτ o
dτ o
dτ o
(τ ◦ τ o ) =
◦ τ o + τ o◦
= 2τ o ◦
= 0.
dt
dt
dt
dt
Mamy zatem, że wektor
jdziemy rozkład
dτ o
dt
jest prostopadły do τ o czyli do v. Zna-
dτ o
dt .
¯ o¯
¯ ∆τ ¯
∆ϕ
∆ϕ
¯
¯
˛
¯ 2 ¯ = 1 sin 2 ≈ 2 dla małych katów,
¯ o¯
¯ o¯
¯ dτ ¯
¯
¯
¯
¯ = lim ¯ ∆τ ¯ = lim ∆ϕ = dϕ .
¯ dt ¯
¯
∆t→0 ∆t ¯
∆t→0 ∆t
dt
Oznaczajac
˛ wektor normalnej do v przez no mamy
dτ o
dϕ o
=
n ,
dt
dt
a stad
˛
dv o
dϕ
dv
=
τ + v no .
dt
dt
dt
dϕ
= aτ ,
= an ,
v
a = aτ τ o + an no .
dt
a =
dv
dt
Ile teraz wynosi moduł przyspieszenia an ?
an = v
dϕ
dϕ ds
dϕ
=v
= v2 ,
dt
ds dt
ds
39
ds- różniczka ruchu. Wiemy, że ds = ρdϕ, (ρ− promień krzywizny).
Stad
˛
v2
dϕ
= ,
ρdϕ
ρ
3
¡
¢
1 + y 02 2
gdy y = y(x),
|y 00 |
¡ 2
¢3
ẋ + ẏ 2 2
gdy x = x(t), y = y(t).
|ẋÿ − ẍẏ|
an = v2
ρ =
ρ =
Przykład 6 Ruch punktu określono równaniami x = 40t, y = 5t2 .
Obliczyć aτ , an oraz ρ dla t = 3s.
2.5
Ruch postepowy
bryły
˛
Jeżeli bryła porusza sie˛ tak, że jej chwilowe położenia sa˛ równoległe
do położenia poczatkowego,
to mówimy, że bryła porusza sie˛
˛
ruchem postepowym.
˛
Trzy stopnie swobody
A− biegun
ri = rA + ρi ,
(bryła sztywna: ρi = const.)
xi = xA + C1 , yi = yA + C2 , zi = zA + C3 .
W ruchu postepowym
tory wszystkich punktów sa˛ równoległe.
˛
Predkość
w ruchu postepowym
˛
˛
ri = rA + ρi , ρi = 0.
ri = rA .
Predkości
wszystkich punktów bryły poruszajacej
sie˛ ruchem
˛
˛
postepowym
sa˛ w danej chwili wektorami równoległymi.
˛
40
Przyspieszenie
vi = vA ,
ai = aA .
Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postepowym
˛
sa˛ w danej chwili wektorami równoległymi.
2.6
Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi
Jeżeli dwa punkty bryły sa˛ stałe, to bryła porusza sie˛ ruchem
obrotowym.
Te dwa punkty wyznaczaja˛ oś obrotu.
Jeden stopień swobody
ϕ = ϕ(t)
Obieramy dwie płaszczyzny w bryle przecinajace
˛ sie˛ wzdłuż osi obrotu l,
S- jest stała, R- ruchoma zwiazana
sztywno z bryła.
˛
˛ Chwilowe położenia
płaszczyzny R, czyli położenia bryły sa˛ opisane katem
obrotu ϕ.
˛
Pierwsza pochodna ϕ jest predkości
a˛ katow
˛
˛ a˛ ω.
Druga pochodna ϕ jest przyspieszeniem katowym
ε.
˛
ϕ̇ = ω,
ϕ̈ = ε.
Predkość
dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym
˛
Zwiazek
miedzy
predkości
a˛ liniowa˛ punktu bryły a predkości
a˛ ka˛
˛
˛
˛
˛
towa˛ bryły
vi = ω × ri ,
vi = ωhi ,
41
vi = ωri sin α.
Dowód. Obieramy układ z, y, z i x0 , y 0 , z 0 w ten sposób, że pokrywaja˛ sie˛ osie z i z 0 . Gdy bryła obraca sie˛ zmieniaja˛ sie˛ kierunki wektorów
i0 , j 0 a k0 jest stały.
→
−
k̇ 0 = 0. Wektory jednostkowe w układzie primowanym spełniaja˛ zwiazki
˛
i0 ◦ i0 = 1,
j 0 ◦ j 0 = 1,
i0 ◦ j 0 = 0,
i0 ◦ k0 = 0,
j 0 ◦ k0 = 0.
Różniczkujac
˛ te równania otrzymujemy
−0
→
i̇ ◦ i0 = 0,
→
−
→0
−
i̇ ◦ j 0 + j̇ 0 ◦ i0 = 0,
→0
−
i̇ ◦ k 0 = 0,
−0
→
j̇ ◦ j 0 = 0,
(2.1)
−0
→
j̇ ◦ k 0 = 0.
→
−
Wynika stad,
˛ że jeśli i̇0 nie jest równy zeru, to musi być prostopadły
→
−
do i0 i k 0 , czyli równoległy do j 0 , podobnie j̇ 0 jest równoległy do i0 .
Możemy wiec
˛ napisać
−0
→
i̇ = λ1 j 0
i
−0
→
j̇ = λ2 i0 ,
→ →
−
−
gdzie λ1 i λ2 sa˛ modułami wektorów i̇0 i j̇ 0 . Wstawiajac
˛ otrzymany
zwiazek
do 2.1 mamy
˛
³
´
³
´
= 0,
λ1 j 0 ◦ j 0 + λ2 i0 ◦ i0
λ1 = −λ2 .
Wprowadźmy teraz nowy wektor zwany predkości
a˛ katow
˛
˛ a˛ ω = λ1 k0 .
Leży on na osi obrotu bryły i jej moduł wynosi
¯ ¯ ¯ ¯
→¯
→¯ ¯−
¯−
|ω| = ¯¯ j̇ 0 ¯¯ = ¯¯ i̇0 ¯¯ = |λ1 | = |λ2 | .
42
Można teraz przy pomocy ω przedstawić wszystkie pochodne wektorów
jednostkowych układu ruchomego
¶
ω
0
× i = ω × i0 ,
λ1
µ
¶
³
´
−0
→
ω
0
0
0
0
j̇ = λ2 i = −λ1 j × k = −λ1 j ×
= −j 0 × ω = ω × j 0 .
λ1
³
´
−0
→
0
0
0
i̇ = λ1 j = λ1 k × i = λ1
µ
→
−
Ponieważ k̇0 = 0, to ogólnie mamy
−
→
ė = ω × e
Przejdźmy teraz do wyznaczenia vi dowolnego punktu P o współrzed˛
nych x0 , y 0 , z 0 .
ri = rA + ρi ,
rA = 0 =⇒ ri = ρi ,
ρi = x0 i0 + y 0 j 0 + z 0 k0
Stad
˛
→
−
→
−
→
−
→
−
vi = ρ̇i = x0 i̇0 + y0 j̇ 0 + z 0 k̇0 ,
vi
¡
¢
x0 , y 0 , z 0 = const. -ponieważ bryła jest sztywna,
´
³
= x0 ω × i0 + y 0 ω × j 0 + z 0 ω × k 0 = ω × x0 × i0 + y 0 × j 0 + z 0 × k 0 ,
vi = ω × ρi .
Predkość
liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obro˛
towym jest równa iloczynowi wektorowemu wektora predkości
˛
katowej
przez wektor położenia punktu (poczatek
układu na
˛
˛
osi obrotu).
Przyjmijmy układ współrzednych
(oś obrotu przechodzi przez poczatek
˛
˛
układu)
43
vi = vix i + viy j + viz k,
ω i = ω ix i + ωiy j + ω iz k,
ri = rix i + riy j + riz k.
¯
¯
¯
¯
¯ i
j
k ¯
¯
¯
¯
¯
vi = ¯ ωx ω y ωz ¯ .
¯
¯
¯
¯
¯ xi yi zi ¯
Stad
˛ vix = ω y zi − ω z yi , viy = ω z xi − ω x zi , viz = ω x yi − ω y xi .
Ponieważ wszystkie punkty leżace
równa˛
˛ na osi obrotu maja˛ predkość
˛
zeru, stad
˛ otrzymujemy równanie osi obrotu
y
z
x
=
=
.
ωx
ωy
ωz
Jeżeli teraz oś obrotu nie przechodzi przez poczatek
układu, to
˛
ri = rA + ρi ,
vi = ω × ρi ,
ρi = ri − rA ,
vi = ω × (ri − rA ) .
¯
¯
¯
i
j
k
¯
¯
vi = ¯
ωx
ωy
ωz
¯
¯
¯ xi − xA yi − yA zi − zA
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
vix = ω y (zi − zA ) − ω z (yi − yA ) ,
viy = ω z (xi − xA ) − ωx (zi − zA ) ,
viz = ω x (yi − yA ) − ω y (xi − xA ) .
44
Równanie osi obrotu w tym przypadku ma postać
x − xA
y − yA
z − zA
=
=
.
ωx
ωy
ωz
2.7
Przyspieszenie punktów bryły w ruchu obrotowym
Korzystamy z definicji
→
−
ai = v̇ i .
Zakładamy, że oś obrotu przechodzi przez poczatek
układu współrzed˛
˛
nych
d
→
−
→
−
(ω × ri ) = ω̇ × ri + ω × ṙ i ,
dt
= ε × ri + ω × (ω × ri ) .
ai =
ai
Ponieważ
³
´
³
´
a × b × c = (a ◦ c) b − a ◦ b c,
to
ai = ε × ri + ω (ω ◦ ri ) − ω 2 ri .
| {z }
=0, ω⊥ri
Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym
jest suma˛ geometryczna˛ przyspieszeń: obrotowego aoi i doosiowego adi .
aoi = εri sin (ε, ri ) = εhi ,
adi = ωvi sin (ω, vi ) = ω2 hi .
45
Składowe przyspieszenia
aix = εy zi − εz yi + ωx (ω x xi + ω y yi + ω z zi ) − ω 2 xi ,
aiy = εz xi − εx zi + ω y (ωx xi + ωy yi + ω z zi ) − ω 2 yi ,
aiz = εx yi − εy xi + ω z (ω x xi + ω y yi + ωz zi ) − ω2 zi .
2.8
Ruch płaski bryły
Definicja ruchu
Ruch płaski możemy traktować jako chwilowy ruch obrotowy wokół
chwilowego środka obrotu lub jako złożenie ruchu postepowego
bieguna
˛
i obrotowego wzgledem
bieguna.
˛
Równania ruchu płaskiego
xA = xA (t) , yA = yA (t) , zA = zA (t) ,
ri = rA + ρi .
⎧
⎪
⎪
x = xA + ξ i cos ϕ − η i sin ϕ
⎪
⎨ i
2.8.1
yi = yA + ξ i sin ϕ + η i cos ϕ
⎪
⎪
⎪
⎩ ϕ = ϕ (t)
Predkość
w ruchu płaskim
˛
→
−
→
−
−
→
ṙ i = ṙ A + ρ̇ i ,
→
−
→
−
ṙ i = vi ,
ṙ A = vA .
→
−
Wektor ρi opisuje ruch punktu wzgledem
bieguna stad
ρ̇ i (z
˛
˛ predkość
˛
ruchu obrotowego) wynosi
−
→
ρ̇ i = ω × ρi .
46
Stad
˛
vi = vA + vP/A = vA + ω × ρi .
Predkość
dowolnego punktu w ruchu płaskim jest suma˛ geometryczna˛
˛
predkości
ruchu postepowego
i predkości
ruchu obrotowego dookoła
˛
˛
˛
bieguna.
Zrzutujemy vP = vi na kierunek AP .
(vP )AP
vP/A
¡
¢
= (vA )AP + vP/A AP ,
¡
¢
⊥ AP ⇒ vP/A AP = 0.
Zatem
(vP )AP = (vA )AP .
Rzuty predkości
dwóch punktów na kierunek łacz
˛
˛ acy
˛ te punkty sa˛ sobie
równe.
ale
¯
¯
¯
i
j
k
¯
¯
vi = vA + ¯
ωx
ωy
ωz
¯
¯
¯ xi − xA yi − yA zi − zA
ω x = ω y = 0,
¯
¯
¯
¯
¯
¯ (ogólnie),
¯
¯
¯
ω z = ω (ruch płaski).
Stad
˛
vix = ẋA − (yi − yA ) ω,
viy = ẏA − (xi − xA ) ω.
Podobnie określamy predkości
w układzie ruchomym ξ, η.
˛
o
Uwzgledniaj
ac,
˛
˛ że ω ξ = ω η = 0, ως = ω oraz ς i = ξ i ξ + η i η o otrzymu-
47
jemy
¯
¯
¯ o
o
o ¯
¯ ξ η ς ¯
¯
¯
¯
¯
vi = vA + ¯ 0 ω y ω ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ξ i ηi 0 ¯
viξ = vAξ − η i ω,
viη = vAη + ξ i ω.
2.9
Przyspieszenie w ruchu płaskim
Korzystamy z definicji
→
−
→
−
→
−
−
→
v̇ i = v̇ A + ω̇ × ρi + ω × ρ̇ i ,
→
ai = aA + ε × ρi + ω × (ω × −
ρ i) ,
→
ρ i,
ai = aA + ε × ρi − ω 2 −
→
bo ω ⊥ −
ρi
ai = aA + aoi + adi .
Przyspieszenie w ruchu płaskim jest suma˛ geometryczna˛ przyspieszenia
ruchu postepowego,
przyspieszenia obrotowego i przyspieszenia doosiowego.
˛
Składowe przyspieszenia w układzie stałym
Stad
˛
¯
¯
¯
¯
¯
i
j
k ¯
¯
¯
¯
¯
2
ai = aA + ¯
0
0
ε ¯ − ω (ri − rA ) .
¯
¯
¯
¯
¯ xi − xA yi − yA 0 ¯
aix = ẍA − ε (yi − yA ) − ω2 (xi − xA ) ,
aiy = ÿA + ε (xi − xA ) − ω2 (yi − yA ) .
48
Składowe w układzie ruchomym
¯
¯
¯ o o o ¯
¯ ξ η ς ¯
¯
¯
¯
¯
→
ρ i,
ai = aA + ¯ 0 0 ε ¯ − ω 2 −
¯
¯
¯
¯
¯ ξ i ηi 0 ¯
a stad
˛
aiξ = aAξ − εη − ω2 ξ 2i ,
aiη = aAη − εξ − ω 2 η2i .
2.10
Środek przyspieszeń
Przyspieszenie dowolnego punktu B
aB = aA + aB/A ,
aB/A = ε × ρB − ω 2 ρB .
Wartości
aτB/A = ερAB ,
anB/A = ω 2 ρAB ,
stad
˛
aB/A
r³
´2 ³
´2
p
τ
n
aB/A + aB/A = ρAB ε2 + ω 4 ,
=
tan β =
aτB/A
anB/A
=
ε
ω2
nie zależy od położenia punktu.
Można wykazać, że istnieje taki punkt S figury płaskiej, którego przyspieszenie w danej chwili jest równe zeru.
Ponieważ przyspieszenie każdego punktu wzgledem
bieguna jest nachy˛
lone zawsze pod tym samym katem
do prostej łacz
ten punkt z
˛
˛ acej
˛
biegunem, wiec
˛ wybierajac
˛ odpowiednia˛ prosta˛ nachylona˛ pod tym
49
katem
do przyspieszenia bieguna można znaleźć punkt S, którego całkowite
˛
przyspieszenie jest równe 0.
aS = aA + aS/A = 0,
p
aS/A = ρAS ε2 + ω4 ,
stad
˛ odległość tego punktu od bieguna, przy założeniu, że jego przyspieszenie ma być równe zeru
p
aA
, bo aS = aA − ρAS ε2 + ω4 .
ρAS = √
ε2 + ω4
Taka konstrukcja jest możliwa, ponieważ za biegun można przyjać
˛ dowolny
punkt ciała, a środek przyspieszeń musi leżeć na prostej nachylonej pod
katem
β do przyspieszenia danego punktu. Z kolei kat
˛
˛ β nie zależy od
położenia punktu.
Na tej drodze można w prosty sposób znajdować przyspieszenia
dowolnego punktu figury, bo zakładajac,
˛ że biegun znajduje sie˛ w środku
przyspieszeń, mamy aA = aS = 0, a stad
˛
aB = aB/A ,
aB = aB/A = ρSB
p
ε2 + ω 4 .
Środek przyspieszeń wyznacza sie˛ przy znajomości przyspieszeń dwóch
dowolnych punktów figury.
2.11
Ruch kulisty bryły
Położenie dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym:
Układ 0, x, y, z- stały, A, ξ, η, ζ- ruchomy, zwiazany
z bryła.
˛
˛
Określenie położenia bryły sprowadza sie˛ dookreślenia położenia układu
50
ruchomego
ri = rA + ρi .
ri = xi i + yi j + zi k,
o
o
ρi = ξ i ξ + η i η o + ζ i ζ ,
rA = xA i + yA j + zA k.
Ruch kulisty rozpatrujemy jako chwilowy ruch obrotowy dookoła chwilowej
osi obrotu.
Chwilowa predkość
katowa
˛
˛
ω=
dϕ
.
dt
Wektor ω leży na chwilowej osi obrotu. W ruchu kulistym sa˛ 3 stopnie
swobody- 3 równania ruchu
ϕ = ϕ (t) ,
ψ = ψ (t) ,
υ = υ (t) .
Ponieważ rA jest wektorem stałym, nic nie stoi na przeszkodzie, by
poczatki
˛ obu układów były wspólne.
ϕ- kat
˛ obrotu własnego,
ψ- kat
˛ precesji,
υ- kat
˛ nutacji.
Predkość
katowa
w układzie Eulera
˛
˛
ω = ϕ̇k1 + ψ̇ k2 + υ̇ k3
ω = ω1 + ω2 + ω3 ,
ω 1 - predkość
katowa
obrotu własnego,
˛
˛
katowa
precesji,
ω 2 - predkość
˛
˛
51
ω 3 - predkość
katowa
nutacji.
˛
˛
Wyznaczymy teraz składowe prostokatne
ω w układzie x, y, z (ω2
˛
na podstawie ostatniego rysunku).
ω 2 = [0, 0, ω 2 ] ,
ω 3 = [ω 3 cos ψ, ω 3 sin ψ, 0] .
Na podstawie poniższego rysunku wyznaczymy ω1 .
ω 1 = [ω 1 sin υ sin ψ, −ω 1 sin υ cos ψ, ω 1 cos υ] .
Ponieważ ω 1 = ϕ̇, ω 2 = ψ̇, ω 3 = υ̇, mamy
ωx = ω1 sin υ sin ψ + ω3 cos ψ = ϕ̇ sin υ sin ψ + υ̇ cos ψ,
ωy = −ω 1 sin υ cos ψ + ω 3 sin ψ = −ϕ̇ sin υ cos ψ + υ̇ sin ψ,
ωz = ω1 cos υ + ω 2 = ϕ̇ cos υ + ψ̇,
natomiast w układzie ruchomym
ω ξ = ψ̇ sin υ sin ϕ + υ̇ cos ϕ,
ω η = ψ̇ sin υ cos ϕ − υ̇ sin ϕ,
ωζ
= ϕ̇ + ψ̇ cos υ.
Rozpatrzmy teraz szczególny przypadek ruchu kulistego, w którym υ =
const = υ 0 , ω1 = ϕ̇ = const, ω 2 = ψ̇ = const. Ponieważ υ̇ = 0, wiec
˛
chwilowa predkość
katowa
bedzie
wynosiła
˛
˛
˛
ω = ω1 + ω2.
52
Z rysunku widać, że
ω=
q
ω 21 + ω 22 + 2ω 1 ω 2 cos υ 0
oraz, że ω ma stała˛ wartość i jest nachylona pod stałymi katami
do osi
˛
z i ξ. Aksoide˛ nieruchoma˛ jest stożek o osi z, a ruchoma˛ stożek o osi ξ.
Ten przypadek nazywa sie˛ precesja˛ regularna.˛ Jeżeli kat
˛ miedzy
˛
predkości
a˛ katow
a˛ katow
a˛ precesji jest
˛
˛ a˛ obrotu własnego a predkości
˛
˛
ostry, to mamy precesje˛ prosta,˛ a gdy rozwarty- precesje˛ odwrotna.˛
Łatwo zauważyć, że w tym przypadku zwiazana
z ciałem oś ξ "wiruje"jednostajnie
˛
a˛ ω 2 - predkości
a˛ precesji.
wokół osi z ze stała˛ predkości
˛
˛
2.12
Predkość
w ruchu kulistym
˛
Sprowadzajac
układu ruchomego do poczatku
układu stałego
˛ poczatek
˛
˛
mamy
ri = ρi .
W chwilowym ruchu obrotowym
vi = ω × ri = ω × ρi .
Składowe predkości
w układzie stałym
˛
vix = ω y zi − ω z yi ,
viy = ω z xi − ω x zi ,
viz = ω x yi − ωy xi .
Ponieważ wszystkie punkty bryły posiadaja˛ predkość
równa˛ 0 na chwilowej
˛
osi obrotu, stad
˛ równaie chwilowej osi obrotu w układzie stałym
y
z
x
=
=
ωx
ωy
ωz
53
lub
y
x
z
x
=
=
ωy
= f1 (t) ,
ωx
ωz
= f2 (t) .
ωx
Jeżeli z tych równań wyrugujemy czas otrzymamy równanie aksoidy
stałej
F
³y z ´
,
= 0.
x x
Składowe predkości
w układzie ruchomym
˛
viξ = ωη ζ i − ω ζ η i ,
viη = ωz ξ i − ωξ ζ i ,
viζ = ωξ η i − ω η ξ i .
Równanie osi chwilowej
η
ζ
ξ
=
=
ωξ
ωη
ωζ
lub
η
ξ
ζ
ξ
=
=
ωη
= g1 (t) ,
ωξ
ωζ
= g2 (t) .
ωξ
Równanie aksoidy ruchomej
G
µ
η ζ
,
ξ ξ
¶
54
= 0.
2.13
Przyspieszenie w ruchu kulistym
Przyspieszenie liniowe punktu bryły
ai =
−
→
→
−
→
−
v̇ i = ω̇ × ri + ω × ṙ i ,
ai = ε × ri + ω × (ω × ri ) ,
ai = ε × ri + ω (ω ◦ ri ) − ω 2 ri .
Składowe przyspieszenia w układzie stałym
aix = εy zi − εz yi + ω x (ωx xi + ωy yi + ωz zi ) − ω 2 xi ,
aiy = εz xi − εx zi + ωy (ω x xi + ω y yi + ω z zi ) − ω 2 yi ,
aiz = εx yi − εy xi + ωz (ω x xi + ω y yi + ω z zi ) − ω 2 zi .
W układzie ruchomym
aiξ = εη ζ i − εζ η i + ω ξ (ω ξ ξ i + ωη η i + ωζ ζ i ) − ω 2 ξ i ,
aiη = εζ ξ i − εξ ζ i + ωη (ω ξ ξ i + ω η η i + ω ζ ζ i ) − ω 2 η i ,
aiζ
2.13.1
= εξ η i − εη ξ i + ω ζ (ω ξ ξ i + ωη η i + ωζ ζ i ) − ω 2 ζ i .
Przyspieszenie katowe
w przypadku precesji reg˛
ularnej
Ponieważ |ω| = const., a pochodna wektora jest styczna do jego hodografu,
ponadto wektorem położenia punktu D jest ω, stad
katowa
˛ (predkość
˛
˛
ω to ω 2 )
dω
= ω 2 × ω.
dt
Ponieważ ω = ω 1 + ω 2 , to
ε=
dω
= ω 2 × (ω1 + ω 2 ) = ω 2 × ω 1 .
dt
55
2.14
Ruch ogólny bryły
Ruch ogólny: ruch postepowy
+ kulisty, 6 stopni swobody.
˛
Równania ruchu
xA = xA (t) ,
ϕ = ϕ (t) ,
2.14.1
yA = yA (t) ,
ψ = ψ (t) ,
zA = zA (t) ,
υ = υ (t) .
Predkość
w ruchu ogólnym
˛
ri = rA + ρi ,
→
−
→
−
vi = ṙ A + ρ̇ i ,
vi = vA + ω × ρi .
2.14.2
Przyspieszenie w ruchu ogólnym
→
−
→
−
→
−
−
→
a i = v̇ A + ω̇ × ρi + ω × ρ̇ i ,
→
ρ i) ,
ai = aA + ε × ρi + ω × (ω × −
ai =
2.15
aA
|{z}
+
ε × ρi
| {z }
przysp. ruchu
przyspieszenie
postepowego
˛
obrotowe
→
→
ρ i.
+ ω (ω ◦ −
ρ i ) − ω2 −
|
{z
}
przyspieszenie
doosiowe
Ruch wzgledny
˛
Układ x, y- nieruchomy, ξ, η- ruchomy.
Znajdziemy najpierw pochodna˛ bezwzgledn
˛ a˛ wektora ρ wzgledem
˛
56
czasu. W ruchomym układzie
o
o
ρ = ξ ξ + ηη o + ζ ζ ,
dρ
dt
o
dξ
dt
o
o
dξ o dη o dζ o
dη o
dζ
dξ
=
ξ + η + ζ +ξ
+η
+ζ
,
dt
dt
dt
dt
dt
dt
o
o
o
dη o
dζ
= ω×ξ ,
= ω × ηo,
=ω×ζ .
dt
dt
Stad
˛
dρ
dt
dρ
dt
=
=
´
³ o
o
dξ o dη o dζ o
ξ + η + ζ + ω × ξ ξ + ηη o + ζ ζ ,
dt
dt
dt
δρ
+ ω × ρ.
δt
|{z}
poch.
wzgledna
˛
Pochodna bezwzgledna
wektora wzgledem
czasu jest równa sumie pochod˛
˛
nej wzglednej
i iloczynu wektorowego predkości
katowej
przez dany wek˛
˛
˛
tor.
2.16
Predkość
w ruchu wzglednym
˛
˛
ri = rA + ρi ,
−
→
→
−
→
−
ṙ i = ṙ A + ρ̇ i ,
δρ
→
−
→
−
+ ω × ρi ,
ṙ i = ṙ A +
δt
vb = vu + vw ,
gdzie
−
→
ṙ i ,
→
−
= ṙ A + ω × ρi ,
δρ
.
=
δt
vb =
vu
vw
57
W ruchu wzglednym
predkość
bezwzgledna
jest suma˛ geometryczna˛
˛
˛
˛
predkości
wzglednej
i predkości
unoszenia.
˛
˛
˛
2.17
Przyspieszenie w ruchu wzglednym
˛
Predkość
˛
vb = vA + ω × ρi + vw ,
−
→
→
−
→
−
v̇ b = v̇ A + ε × ρi + ω × ρ̇ i + vw ,
δρ
→
−
+ ω × ρ = vw + ω × ρi ,
ρ̇ =
δt µ ¶ i
δ δρ
δvw
→
−
+ ω × vw =
+ ω × vw .
v̇ w =
δt δt
δt
Stad
˛
δvw
−
→
−
→
+ 2ω × vw ,
v̇ b = v̇ A + ε × ρi + ω × (ω × ρi ) +
δt
→
−
ab = v̇ b ,
→
−
aw = v̇ A + ε × ρi + ω × (ω × ρi ) ,
ac = 2ω × vw .
W ruchu wzglednym
przyspieszenie bezwzgledne
jest suma˛ geometryczna˛
˛
˛
przyspieszenia wzglednego,
przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia
˛
Coriolisa.
58