000530 Granica funkcji w prz.metrycznych

530 Granica funkcji
w przestrzeniach metrycznych
Definicja Cauchy’ego granicy funkcji
Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech
f : Ω → Y . Mówimy, Ŝe element b ∈ Y jest granicą funkcji f w punkcie
a ∈ Ω d (a więc w punkcie skupienia zbioru Ω ), gdy
∀ ε > 0 ∃δ > 0 ∀ x ∈ Ω \ {a} d X ( x, a ) < δ ⇒ d Y ( f ( x ), b) < ε .
Inaczej: x ∈ K X ( a, δ ) ∩ Ω \ {a} ⇒ f ( x ) ∈ K Y (b, ε )
Inaczej: f ( K X (a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂ KY (b, ε ) .
Piszemy lim f ( x ) = b .
x →a
X
f
Y
ε
δ
b
a
Ω
Uwaga
Funkcja f nie musi być określona w punkcie a .
Definicja Heinego granicy funkcji
Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech
f : Ω → Y . Mówimy, Ŝe element b ∈ Y jest granicą funkcji f w punkcie
a ∈ Ω d (a więc w punkcie skupienia zbioru Ω ), gdy dla dowolnego ciągu ( xn )
elementów zbioru Ω \ {a}
x n → a ⇒ f ( xn ) → b .
Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych
1/4
X
f
Y
•x
a ••n
Ω
b
• f (x )
•• n
Twierdzenie
W przestrzeniach metrycznych definicje Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji
są równowaŜne.
Dowód
(C ) ⇒ ( H ) Niech xn ∈ Ω \ {a} i niech xn → a . PokaŜemy, Ŝe f ( xn ) → b . Niech
ε > 0 . Na mocy warunku Cauchy’ego istnieje δ > 0 taka, Ŝe
f ( K X (a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂ KY (b, ε ) .
PoniewaŜ xn → a , prawie wszystkie elementy ciągu ( xn ) znajdują się w kuli
K X ( a,δ ) . Stąd prawie wszystkie elementy ciągu ( f ( xn )) znajdują się w kuli
KY (b, ε ) , a więc f ( xn ) → b .
( H ) ⇒ (C ) NWPR Przypuśćmy, Ŝe
∃ε > 0 ∀ δ > 0 f ( K X ( a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂/ KY (b, ε )
Dla δ 1 = 1 istnieje element x1 ∈ K X ( a,1) ∩ Ω \ {a} taki, Ŝe f ( x1 ) ∉ KY (b, ε ) .
Dla δ 2 = 12 d X ( x1 , a ) < 12 istnieje element x2 ∈ K X ( a,δ 2 ) ∩ Ω \ {a} (a więc
x2 ≠ x1 ) taki, Ŝe f ( x2 ) ∉ KY (b, ε ) .
Analogicznie, dla δ n = 12 d X ( xn −1 , a ) < ( 12 ) n −1 istnieje element
xn ∈ K X ( a , δ n ) ∩ Ω \ {a} (a więc xn ≠ xn −1 , …, xn ≠ x1 ) taki, Ŝe
f ( xn ) ∉ KY (b, ε ) .
W ten sposób otrzymujemy ciąg ( xn ) taki, Ŝe
x n ∈ Ω \ {a} ,
d X ( xn , a ) < δ n < ( 12 )n −1 → 0 (tzn. xn → a ),
d Y ( f ( xn ), b) ≥ ε (tzn. f ( xn ) →
/ b ).
Sprzeczność.
Twierdzenie o jednoznaczności granicy
Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech
f : Ω → Y . JeŜeli funkcja f ma granicę w punkcie a ∈ Ω d , to jest ona tylko
jedna.
Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych
2/4
Dowód
ZałóŜmy, Ŝe b, c ∈ Y są granicami funkcji f w punkcie a ∈ Ω d i niech ( xn )
będzie ciągiem elementów zbioru Ω \ {a} takim, Ŝe xn → a . Na mocy definicji
Heinego f ( xn ) → b i f ( xn ) → c . Na mocy twierdzenia o jednoznaczności
granicy ciągu b = c .
Granice iterowane
Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . Granicami
iterowanymi funkcji f w punkcie (a, b) nazywamy liczby
lim (lim f ( x, y )) i lim (lim f ( x, y )) .
x →a
y →b
y →b
x→a
Uwaga
Z istnienia granicy w zwykłym sensie (inaczej: podwójnej) nie wynika istnienie
granic iterowanych. I na odwrót, z istnienia granic iterowanych nie wynika
istnienie granicy podwójnej. Co więcej, granice iterowane nie muszą być
sobie równe.
Przykład
Funkcja f ( x, y ) =
xy
, ( x, y ) ≠ (0,0) ma obydwie granice iterowane w punkcie
x + y2
2
(0,0) równe 0. Natomiast nie ma granicy podwójnej, bo lim n→∞
1 1
n n
1
n2
+
1
n2
=
1
.
2
Twierdzenie o granicach iterowanych
Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . JeŜeli istnieje
granica podwójna funkcji f w punkcie (a, b) i jedna z granic iterowanych, to
granica podwójna funkcji jest równa tej granicy iterowanej.
Dowód wynika bezpośrednio z definicji Heinego granicy.
Uwaga
Twierdzenie nie gwarantuje istnienia drugiej granicy iterowanej!
Przykład
1
Funkcja f ( x, y ) = x sin , y ≠ 0 ma granicę podwójną w punkcie (0,0) równą 0, bo
y
1
0 ≤ lim | xn sin
|≤ lim | xn |= 0 dla wszystkich ciągów xn → 0, y n → 0 .
yn
Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych
3/4
1
Granica iterowana lim y →0 (lim x →0 x sin ) = lim y →0 0 = 0 , ale granica iterowana
y
1
lim x→0 (lim y →0 x sin ) nie istnieje.
y
Wniosek
Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . JeŜeli funkcja f
posiada w punkcie (a, b) obydwie granice iterowane i są one róŜne, to
granica podwójna funkcji w punkcie (a, b) nie istnieje.
Przykład
x− y
, x + y ≠ 0.
x+ y
x− y
x− y
Mamy lim x →0 (lim y →0
) = 1 oraz lim y →0 (lim x →0
) = −1 . Zatem granica
x+ y
x+ y
x− y
nie istnieje.
podwójna lim x→0, y →0
x+ y
f ( x, y ) =
Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych
4/4