ZESTAW I Kresy zbiorów Ci¡gi liczbowe

ZESTAW I
Kresy zbiorów
Zadanie 1.
Zbada¢ ograniczono±¢ nast¦puj¡cych zbiorów
a) A = {2, 4, 6, 8, . . .};
√
b) B = { n 5; n ∈ N};
c) C = {x ∈ R; x2 + 3x − 8 < 0};
d) D = {(1 − n1 )(−1)n ; n ∈ N}.
Zadanie 2.
Zbada¢, czy podane zbiory posiadaj¡ elementy najmniejsze i najwi¦ksze
a) A = [0, 2);
1
; n ∈ N};
b) B = { 2n−1
c) C = (0, 3) ∪ {5}.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ kresy górne i dolne zbiorów
√ √
a) A = (− 2, 5];
b) B = {2−n ; n ∈ N};
c) C = (−∞, 0] ∖ Q;
n
d) D = {1 + (−1)
n ; n ∈ N};
e) E = {x ∈ R; ∣2x + 3∣ + ∣x + 3∣ − x < 6};
f) F = {x ∈ R; ∣∣x − 1∣ − 1∣ < 1}.
Ci¡gi liczbowe
(Ci¡gi monotoniczne i ograniczone)
Dany jest ci¡g o wyrazie ogólnym an =
, a2n .
Wyznaczy¢ a2n , an+1 − an , aan+2
n−1
Zadanie 4.
3n+1
(n+1)!
.
Na podstawie warto±ci kilku pocz¡tkowych wyrazów podanych ci¡gów znale¹¢
ich wzory ogólne
Zadanie 5.
1
a) (an ) = (7, 3, −1, −5, . . .);
b) (bn ) = (8, 12, 18, 27, 81/2, . . .);
c) (cn ) = (1, 0, 1, 0, . . .);
d) (dn ) = (1, 11, 111, 1111, . . .);
e) (en ) = (7, 7, 9, 9, 7, 7, 9, 9, . . .);
f) (fn ) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .).
Zadanie 6.
Wyznaczy¢ pi¦¢ pierwszych wyrazów ci¡gu
a) (an ), a1 = 3, an+1 =
an
an +1
;
b) (bn ), b1 = 0, b2 = −1, bn+2 = bn+1 − 2bn ;
√
√
c) (cn ), c1 = 2, cn+1 = 2 + cn .
Zadanie 7.
a) an =
Zbada¢ ograniczono±¢ ci¡gu (an )n≥1 , je»eli
√
√
n + 2 − n;
e) an =
Zadanie 8.
b) an =
√
n
3n + 4n ;
2n + 1
;
n2 + 1
c) an = (−1)n n2 ;
d) an = sin(10n);
1
1
1
+
+ ... +
.
n+1 n+2
n+n
f ) an =
Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu (an )n≥1 , je»eli
a) an = 3n + 1;
1
b) an = n ;
4
f ) an =
√
n+7
d) an = √
;
3 n+5
2n + 1
c) an = 2
;
n +1
1 1
1
+ + ... + ;
2 3
n
g) an =
e) an =
2n n!
;
nn
1 1
(−1)n
− + ... +
.
2 3
n
Znale¹¢ tak¡ liczb¦ naturaln¡ k , aby dla ka»dego naturalnego n > k byªa
speªniona nierówno±¢
Zadanie 9.
n+2
∣ n+1
− 1∣ < ε, gdzie ε =
1
100
oraz ε =
1
5000
.
(granica ci¡gów)
Zadanie 10.
Korzystaj¡c z denicji granicy wªa±ciwej ci¡gu uzasadni¢ podane równo±ci
1
= 0;
nÐ→∞ n
a) lim
n−1 1
= ;
nÐ→∞ 2n + 3
2
b) lim
c) lim logn+1 5 = 0;
nÐ→∞
2
2n − 3n
= −1.
nÐ→∞ 2n + 3n
d) lim
Zadanie 11.
Korzystaj¡c z denicji granicy niewªa±ciwej ci¡gu uzasadni¢ podane rów-
no±ci
a) lim 2n = +∞;
nÐ→∞
Zadanie 12.
a) an =
b) an =
n+3
;
2n2 − 1
nÐ→∞
c) an =
4n3 + 6
;
n+1
(2n − 1)2
.
(4n − 1)(3n + 2)
d) an =
Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym
2n
√
a) an = √
;
2
n + n + n2 − n
Zadanie 14.
c) lim log2 n = +∞.
nÐ→∞
Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym
2n2 + 3n
;
6n2 + 4n − 1
Zadanie 13.
b) lim (2 − 3n) = −∞;
√
n3 + 1
b) an = √
;
3
n5 + 1 + 1
√
3
n2 + 1
.
c) an =
n+1
Obliczy¢ granice ci¡gów
√
√
√
−0, 8n
;
b) lim 4n2 + 5n − 7 − 2n;
c) lim n2 + n − n2 − n;
nÐ→∞
nÐ→∞
nÐ→∞ 2n − 5
√
√
n+2− n+1
3n − 2n
2(−3)n+2 + 5n+2
d) lim √
;
e) lim n
;
f
)
lim
;
√
nÐ→∞
nÐ→∞ 4 − 3n
nÐ→∞ 3 ⋅ 5n+1 − 8(−4)n
n+1− n
√
√
3 ⋅ 22n+2 − 10
1 + 2 + ... + n
3
3
g) lim n3 + 2n2 + 4 − n3 + 1;
h) lim
;
i) lim
;
n−1
nÐ→∞
nÐ→∞ 5 ⋅ 4
nÐ→∞
+3
n2
1 + 12 + . . . + 21n
1
1
1
j) lim
;
k) lim (1 − 2 )(1 − 2 ) . . . (1 − 2 ).
1
1
nÐ→∞ 1 + + . . . + n
nÐ→∞
2
3
n
3
3
a) lim
Zadanie 15.
Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym
1 −2n
n2 + 3n + 2 3n+1
)
a) an = (1 + ) ; b) an = ( 2
;
n
n + 2n
n2 + 2 2n2 +1
c) an = ( 2 )
; d) an = n(ln(n + 3) − ln n).
n
Zadanie 16.
Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice
√
√
n
a) lim
2 ⋅ 3n + 4 ⋅ 7n + 9 ⋅ 5n+1 ;
nÐ→∞
d) lim
nÐ→∞
g) lim (
nÐ→∞
n
n2 +1
nÐ→∞
n
1
2+ ;
n
c) lim
nÐ→∞
√
n
3n − 2n ;
f)
Udowodni¢ zbie»no±¢ do zera nast¦puj¡cych ci¡gów
sin(3n + 1);
b) an =
1+2+...+n
n3 +1
√
n
n + 3;
[10n π]
;
10n
1
1
1
).
h) lim n( 2
+ 2
+ ... + 2
nÐ→∞
n +1 n +2
n +n
e)
2
n
1
);
+
+
.
.
.
+
n2 + 1 n2 + 2
n2 + n
Zadanie 17.
a) an =
√
n
1 + 5n2 + 3n5 ;
b) lim
cos(n!);
3
c) an =
2n
n!
.
Zadanie 18.
Wykaza¢, »e ci¡gi okre±lone rekurencyjnie s¡ zbie»ne i znale¹¢ ich granice
√
√
a) x1 = 2, xn+1 = 2 + xn ;
√
b) x1 = 32 , xn+1 = 3 ⋅ xn − 2.
c) x1 = 12 , xn+1 = xn (2 − xn );
d) x1 = 12 , xn+1 =
Zadanie 19.
.
Korzystaj¡c z twierdzenia Stolza policzy¢ nast¦puj¡ce granice
log(n)
;
nÐ→∞
n
a) lim
1+x2n
2
1
1
1
1
b) lim √ ( √ + √ +. . .+ √ );
nÐ→∞
n
n
1
2
4
12 + 32 + . . . + (2n + 1)2
nÐ→∞
n3
c) lim