Zadania 4 - granice ci ˛agów. Rozwi ˛azania

1
Zadania 4 - granice ciagów.
˛
Rozwiazania
˛
ZADANIE 1. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
an =
n3 − 2n2 + 5
.
1 3
n + 4n2 + n
2
(1)
Rozwiazanie.
˛
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (1) przez n w potedze
˛
o najwyższym wykładniku spośród wystepuj
˛ acych
˛
w mianowniku, czyli przez n3 , i
korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy:
3
3
n
2n2
5
−
+
1 − n2 + n53
n − 2n2 + 5
3
3
3
n
n
n
lim 1 3
= lim 1 n3
= lim 1 4
=
1
n→∞
n→∞
n→∞
4n2
n
n + 4n2 + n
+
+
2
2
+
+
2
2
n
n
3
3
3
n
=
ponieważ
2
→ 0,
n
Odpowiedź: lim an = 2.
n
n
1−0+0
= 2,
1
+0+0
2
5
→ 0,
n3
4
→ 0,
n
1
→ 0.
n2
n→∞
ZADANIE 2. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
√
√
( n − 1) ( n + 1)
an =
.
√
2
(2 n + 3)
Rozwiazanie.
˛
Mamy:
an =
n−1
√
.
4n + 12 n + 9
(2)
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (2) przez n w potedze
˛
o najwyższym
wykładniku spośród wystepuj
˛ acych
˛
w mianowniku, czyli przez n, i korzystajac
˛ z
twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy:
n
1
1
−
1
−
n−1
n
√
lim
= lim 4n n12√nn 9 = lim
=
12
√
n→∞ 4n + 12 n + 9
n→∞
n→∞
4
+
+ n9
+
+
n
n
n
n
2
=
1−0
1
= ,
4+0+0
4
ponieważ
1
→ 0,
n
1
Odpowiedź: lim an = .
n→∞
4
12
√ → 0,
n
9
→ 0.
n
ZADANIE 3. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
3
1
an = 5 + 2
2+ √
.
n
n
Rozwiazanie.
˛
Korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob.
tekst T5) otrzymujemy:
3
1
5+ 2
2+ √
= 5 · 2 = 10,
lim
n→∞
n
n
ponieważ
3
→ 0,
n2
1
√ → 0.
n
Odpowiedź: lim an = 10.
n→∞
ZADANIE 4. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
√
3n − n + 4
an = √ 2
.
4n + 1 + 5n
(3)
Rozwiazanie.
˛
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (3) przez n i korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) oraz z reguły
właczania
˛
pod pierwiastek otrzymujemy:


√
√
1
4
n
3n
4
√
3− n + n
− n +n
3n − n + 4
n
=
lim √
= lim √
= lim  2
4n +n
5n
n→∞
n→∞
n→∞
4n2 +n
4n2 + n + 5n
+
+5
n
n
n2


3 − √1n + n4
 = √3 − 0 + 0 = 3 ,
= lim  n→∞
7
4+0+5
4+ 1 +5
n
3
ponieważ
1
√ → 0,
n
3
Odpowiedź: lim an = .
n→∞
7
4
→ 0,
n
1
→ 0.
n
ZADANIE 5. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
an =
(2 · 3n − 1)2
.
(3n + 2n )2
Rozwiazanie.
˛
Mamy:
an =
4 · 9n − 4 · 3n + 1
.
9n + 2 · 6n + 4n
(4)
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (4) przez poteg
˛ e˛ liczby n o najwiekszej
˛
podn
˛ z twierdzenia
stawie spośród wystepuj
˛ acych
˛
w mianowniku, czyli przez 9 , i korzystajac
o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy:
1 n 1 n 4·9n 4·3n
1 4
−
4
−
+
+
4 · 9n − 4 · 3n + 1
n
n
n
9
9
9
23 n 49 n =
lim
= lim
= lim
n
n
n
9
2·6
4
n
n
n
n→∞
n→∞
n→∞
9 +2·6 +4
+ 9n + 9n
1+2 3 + 9
9n
=
ponieważ
4−0+0
= 4,
1+0+0
n
n
n
n
1
1
2
4
→ 0,
→ 0,
→ 0,
→ 0.
3
9
3
9
Odpowiedź: lim an = 4.
n→∞
ZADANIE 6. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
√
an = n 5n + 4 · 2n + 7.
Rozwiazanie.
˛
Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n ∈ N1 zachodza˛
nierówności:
5n ≤ 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 5n + 4 · 5n + 7 · 5n ,
(5)
4
ponieważ 2n ≤ 5n i 1 ≤ 5n .
Z nierówności (5) otrzymujemy kolejno nierówności:
5n ≤ 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5n ,
√
√
√
n
n
5n ≤ n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5n ,
√
√
n
5 ≤ n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5,
a ponieważ lim
n→∞
√
n
12 = 1, wiec
˛
√
n
lim
12 · 5 = 1 · 5 = 5.
n→∞
Na mocy twierdzenia 2 (zob. tekst T5) otrzymujemy:
√
5 ≤ lim n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 5,
n→∞
co oznacza, że
lim
n→∞
√
n
5n + 4 · 2n + 7 = 5.
Odpowiedź: lim an = 5.
n→∞
ZADANIE 7. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
√
an = n2 + 1.
Rozwiazanie.
˛
Oczywiście mamy nierówność:
n2 < n2 + 1
a w takim razie także
n=
(n ∈ N1 ) ,
√
√
n2 < n2 + 1,
czyli n < an dla każdej liczby n ∈ N1 .
˛ korzystajac
˛ z twierdzenia 2(a) (zob. tekst
Ponieważ wiemy, że lim n = +∞, wiec
n→∞
T6) stwierdzamy, że
lim an = +∞.
n→∞
Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa).
n→∞
5
ZADANIE 8. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
√
an = n2 + 2n + n.
Rozwiazanie.
˛
Oczywiście mamy nierówność:
n2 < n2 + 2n
a w takim razie także
n=
(n ∈ N1 ) ,
√
√
n2 < n2 + 2n
i dalej,
n+n<
√
n2 + 2n + n,
czyli 2n < an dla każdej liczby n ∈ N1 .
Ponieważ wiemy, że lim 2n = +∞, wiec
˛ korzystajac
˛ z twierdzenia 2(a) (zob.
n→∞
tekst T6) stwierdzamy, że
lim an = +∞.
n→∞
Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa).
n→∞
ZADANIE 9. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N2 , gdzie
√
an = n2 − 2n.
Rozwiazanie.
˛
Wzór na n-ty wyraz ciagu
˛ przekształcimy w nastepuj
˛ acy
˛ sposób:
√
2
2
2
2
an = n − 2n = n 1 −
=n 1− .
n
n
Korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) oraz
z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy:
2
lim n · 1 −
= +∞,
n→∞
n
ponieważ
lim n = +∞,
n→∞
natomiast
lim
n→∞
1−
2
n
=
√
1 − 0 = 1,
6
gdyż
2
→ 0.
n
Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa).
n→∞
ZADANIE 10. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
an =
3n4 − 2n5 − 3n6
.
n4 + 3n3 − 5n2 − 3
(6)
Rozwiazanie.
˛
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (6) przez n w potedze
˛
o
najwyższym wykładniku sposród wystepuj
˛ acych
˛
w mianowniku, czyli przez n4 , otrzymujemy:
4
5
6
3n
− 2n
− 3n
3n4 − 2n5 − 3n6
3 − 2n − 3n2
n4
n4
n4
=
=
=
4
3
2
n
n4 + 3n3 − 5n2 − 3
1 + n3 − n52 − n34
+ 3n
− 5n
− n34
n4
n4
n4
3
n2 n32 − n2 − 3
− n2 − 3
2
n2
=
=n ·
.
1 + n3 − n52 − n34
1 + n3 − n52 − n34
Korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) oraz
z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy:
3
− n2 − 3
2
n2
lim n ·
= −∞,
n→∞
1 + n3 − n52 − n34
ponieważ
lim n2 = +∞,
n→∞
natomiast
lim
n→∞
gdyż
1
3
− n2 − 3
n2
+ n3 − n52 − n34
=
−3
= −3,
1
3
2
3
5
→ 0,
→ 0,
→ 0,
→ 0,
2
n
n
n
n2
Odpowiedź: lim an = −∞ (granica niewłaściwa).
3
→ 0.
n4
n→∞
ZADANIE 11. Obliczyć granice˛ ciagu
˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie
an =
3 · 2n + 6 · 5n
.
2 · 3n − 2n
(7)
7
Rozwiazanie.
˛
Dzielac
˛ licznik i mianownik we wzorze (7) przez poteg
˛ e˛ liczby
n o najwiekszej
˛
podstawie spośród wystepuj
˛ acych
˛
w mianowniku, czyli przez 3n ,
otrzymujemy:
n
n
n
3·2n
3 23 + 6 53
+ 6·5
3 · 2n + 6 · 5n
3n
3n
2 n
= 2·3n 2n =
=
2 · 3n − 2n
−
2
−
n
n
3
3
3
5 n 2 n
n 2 n
3
+
6
3
+
6
5
5
52 n
n .
= 3
=
·
3
2− 3
2 − 23
Korzystajac
˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
zbieżnych (zob. tekst T5) oraz
z twierdzenia o działaniach na ciagach
˛
rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy:
n
3 25 + 6
5 n
n
lim
·
= +∞,
n→∞
3
2 − 23
ponieważ
n
5
= +∞,
lim
n→∞ 3
natomiast
n
3 25 + 6
3·0+6
2 n
lim
=
= 3,
n→∞
2−0
2− 3
gdyż
n
2
→ 0,
5
n
2
→ 0.
3
Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa).
n→∞