Potencjal zespolony -

Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
f (z)
−−→
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
f (z)
−−→
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
f (z)
−−→
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
f (z)
−−→
f (z)
−−→
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica na płaszczyźnie zespolonej
w0 = lim f (z)
z→z0
f (z)
−−→
f (z)
−−→
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 ,
z→z0
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 ,
z→z0
lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0
z→z0
oraz – jeżeli F0 6= 0 –
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 ,
z→z0
lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0
z→z0
oraz – jeżeli F0 6= 0 –
lim
z→z0
pełny tekst — A.L – MMF1
f (z)
f0
=
.
F (z)
F0
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 ,
z→z0
lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0
z→z0
oraz – jeżeli F0 6= 0 –
lim
z→z0
2
f (z)
f0
=
.
F (z)
F0
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy
lim f (z) = f0 = u0 + iv0
z→z0
jest
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Granica funkcji – proste twierdzenia
1
Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice,
odpowiednio równe
lim f (z) = f0 ,
z→z0
lim F (z) = F0
z→z0
to zachodzi
lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 ,
z→z0
lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0
z→z0
oraz – jeżeli F0 6= 0 –
lim
z→z0
2
f (z)
f0
=
.
F (z)
F0
Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy
lim f (z) = f0 = u0 + iv0
z→z0
jest
lim
u(x, y) = u0 ,
x → x0
y → y0
pełny tekst — A.L – MMF1
lim
v(x, y) = v0 .
x → x0
y → y0
Potencjał zespolony – dipol
Funkcja zmiennej zespolonej – proste przykłady
Funkcja w = f (z) = az + b i jej funkcja odwrotna
Funkcja w = f (z) = z 2 i jej funkcja odwrotna
Dyskusja
f (x) jest ciągła, jednoznaczna i określona dla wszystkich z. N.B.
f (∞) = ∞. Stałe a i b to stałe zespolone, a 6= 0. Jej funkcja odwrotna
φ(w) = z =
1
b
w − ≡ a1 w + b1
a
a
ma te same własności co f (z), → f (z) jest f. jednowartościową.
Geometria:
ξ = az → ξ = |a||z|ei(θz +θa ) Czyli
wydłużenie (skrócenie o |a|);
obrót o kąt θa = arg a;
3 przesunięcie o b
albo dylatacja + rotacja + translacja wektora, reprezentującego z.
1
2
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol
Funkcja zmiennej zespolonej – proste przykłady
Funkcja w = f (z) = az + b i jej funkcja odwrotna
Funkcja w = f (z) = z 2 i jej funkcja odwrotna
Dyskusja
f (x) = z 2 jest ciągła, jednoznaczna i określona dla wszystkich z. N.B.
f (∞) = ∞.
Jeżeli użyć reprezentacji biegunowej dla obu liczb to
w ≡ R = eiψ = z 2 ≡ reiφ
2
R = r2 ,
ψ = 2φ,
a stąd wniosek że obszary Cz 0 ¬ φ < π oraz π ¬ φ < 2π ()
odwzorowują się (oba!) w ten sam obszar płaszczyzny Cw —
0 ¬ ψ < 2π, a konkretnie – punkty z0 i −z0 w ten sam punkt w0 .
Funkcja jest dwuwartościowa – jej funkcja odwrotna (pierwiastek
kwadratowy) jest niejednoznaczną.
pełny tekst — A.L – MMF1
Potencjał zespolony – dipol