Analiza Matematyczna 1, lista 4, zadania z gwiazdką Zadanie. Bez

Analiza Matematyczna 1, lista 4, zadania z gwiazdką
Zadanie. Bez korzystania z kalkulatora, komputera itp. rozstrzygnij, która z liczb jest większa: eπ czy π e .
Zadanie. Korzystając z interpretacji poniższego wyrażenia jako sumy całkowej pewnej funkcji, oblicz
granicę:
s

s
√
r
n
n
1
n!
1
2
n
. Odp. 1e , skąd n! ≈ ne .
a) n→∞
lim
1 + + 1 + + ... + 1 +
, b*) n→∞
lim
n
n
n
n
n
n
√
Zachodzi nawet równość, zwana wzorem Stirlinga: n! = 2πn ne ecn /(12n) , 0 < cn < 1. Wzór ten jest
zadziwiający, bo wynika z niego, że n! oraz nn związane są równością, w której występują takie stałe, jak
e oraz π. Czyż nie jest to dziwne?
Zadanie. Oblicz pole powierzchni elipsy
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Wsk. Lista 9 zadanie 1 c).
√
Zadanie. Oblicz pole figury ograniczonej trzema liniami: wykresem hiperboli y = 1 + x2 , osią Oy i
prostą y = ax, 1 < a < ∞.
Uwaga: Jeśli przyjmiemy, że to pole jest równe t/2, to wtedy punkt przecięcia hiperboli z prostą y = ax
ma współrzędne (sinh t, cosh t).
Zadanie. Korzystając z zadania poprzedniego wykaż, że cosh t =
et − e−t
et + e−t
, a sinh t =
.
2
2
Zadanie. Zastanów się, jaką interpretację geometryczną ma równość:
a)
d(πr2 )
dr
b)
d( 34 πr3 )
dr
= 2πr (czyli pochodną pola koła jest jego obwód),
= 4πr2 (czyli pochodną objętości kuli jest pole jej powierzchni).
c) Czy podobne związki zachodzą też dla innych figur i brył, np. dla trójkąta, kwadratu, sześcianu itp?
Zadanie. Okrąg (x − a)2 + y 2 = r2 , 0 < r < a obracamy wokół osi Oy. Powstaje bryła w kształcie dętki
rowerowej, zwana torusem.
a) Oblicz objętość tego torusa. Odp. 2π 2 ar2
b) Oblicz jego pole powierzchni. Odp. 4π 2 ar.
c) Jaką bryłę otrzymujemy, gdy 0 < a < r?
d) Zauważ, że objętość jest równa iloczynowi pola powierzchni koła (x−a)2 +y 2 ¬ r2 przez długość okręgu,
jaki zatacza środek tego koła podczas obrotu wokół Oy. Czy analogicznie jest dla pola powierzchni?
Zadanie. Czy to naprawdę sprzeczność?
Wykres funkcji y = x1 , 1 ¬ x < ∞ obracamy wokół osi Ox. Powstałą powierzchnię nazywa się trąbką
Toricellego.
a) Oblicz objętość ograniczoną tą powierzchnią dla 0 ¬ x ¬ T .
b) Licząc granicę wyrażenia z punktu a), gdy T → ∞, otrzymasz objętość nieograniczonej trąbki. Zauważ,
że ta objętość jest skończona (równa π jednostek sześciennych, np. litrów).
c) Zapisz całką pole tej powierzchni dla 1 ¬ x ¬ T i zauważ, że funkcja podcałkowa jest większa niż x1 .
R
Sprawdź, że granica całek 1T x1 dx, gdy T → ∞, jest nieskończona, co oznacza, że pole trąbki też jest
nieskończone.
d) Kłopotliwe pytanie: Ustawmy trąbkę „pionowo” i wlejmy w nią π litrów farby — wypełni ona całą
trąbkę, w szczególności malując całą jej powierzchnię, którą jest nieskończona (obliczenia z punktu c)! Jak
to jest możliwe, aby skończona ilość farby pomalowała nieskończona powierzchnię? Czy to jest sprzeczność?
Uwaga: To zadanie zakłada, że materia jest ciągła.