Rachunek prawdopodobie«stwa

Rachunek prawdopodobie«stwa
‚wiczenia 2
Denicja 1.
Zdarzenia
A
i
B
nazywamy niezale»nymi, gdy
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Zadanie 1.
Z 52 kart ci¡gniemy jedn¡. Czy zdarzenia w nast¦puj¡cych parach s¡ niezale»ne:
a) A Wyci¡gni¦cie damy, B wyci¡gni¦cie karo
b) A Wyci¡gni¦cie czerwonej gury, B wyci¡gni¦cie kiera
Zadanie 2.
Wybieramy rodzin¦ z po±ród wszystkich rodzin maj¡cych n dzieci. Niech zdarzenie A
polega na tym, »e w losowo wybrana rodzina jest co najmniej jedna dziewczynka, B w rodzinie s¡
dziewczynki i chªopcy. Czy zdarzenia A i B s¡ niezale»ne.
Zadanie 3.
Wybieramy losowo punkt z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobie«stwo zdarzenia A,
polegaj¡cego na tym, »e odlegªo±¢ losowo wybranego punktu od ±rodka odcinka jest mniejsza ni» 41 ?
Zadanie 4.
Ania i Bo»ena umówiªy si¦ mi¦dzy 16:00 a 17:00 w centrum miasta. Komunikacja w
godzinach szczytu dziaªa, jak dziaªa, przyjmijmy »e dziaªa losowo. Osoba, która przyjdzie pierwsza,
czeka na drug¡ 20 minut. Jak jest szans »e dojdzie do spotkania?
Zadanie 5.
Z kwadratu jednostkowego wybrano losowo punkt o wspóªrz¦dnych (x, y). Wyznaczy¢:
1. P (min(x, y) < a)
2. P (max(x, y) < a)
3. P (|x − y| < a)
4. P ( 21 (x + y) < a)
Zadanie 6.
Dane s¡ zdarzenia niezale»ne A i B przy czym P (A) = P (B) = p. Jak jest szansa, »e
zaszªy oba, je±li wiadomo, »e zaszªo co najmniej jedno.
Zadanie 7.
Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 traa z prawdopodobie«stwem 23 , a
strzelec 2 z prawdopodobie«stwem 12 . Po oddaniu po jednym strzale okazaªo si¦, »e tarcza zostaªa
traona dokªadnie raz. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e traª strzelec 1?
Zadanie 8.
System mo»e by¢ zainfekowany przez spyware albo drog¡ internetow¡ albo przez e-mail.
Przez 70 procent czasu spyware nadchodzi drog¡ internetow¡, przez 30 procent - drog¡ mailow¡. Je±li
przychodzi drog¡ internetow¡, system wykrywa go natychmiast z prawdopodobie«stwem 0.6. Je±li
przez e-mail z prawdopodobie«stwem 0.8. Przez jaki procent czasu spyware jest wykrywany? Odp:
0.66
Zadanie 9.
Spyware próbuje zªama¢ hasªo systemu poprzez jego zgadywanie. Przestaje atakowa¢
system po milionie prób. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zgadnie hasªo i wªamie si¦ do systemu,
je±li wiadomo, »e hasªo musi skªada¢ si¦ z:
1
2
• 6 ró»nych maªych liter
• 6 ró»nych liter (wielkich lub maªych)
• dowolnych 6 liter, ale wielko±¢ liter jest nierozró»niana (case-insensitive)
• dowolnych 6 znaków wª¡czaj¡c w to litery i cyfry
Zadanie 10.
Program skªada si¦ z 2 bloków napisanych niezale»nie przez 2 programistów. Pierwszy
zawiera usterk¦ z prawdopodobie«stwem 0.2, drugi z prawdopodobie«stwem 0.3. Je±li program
zwróci bª¡d, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e oba moduªy zawieraj¡ usterk¦? Odp: 0.1364