bryły obrotowe

BRYŁY OBROTOWE
Walec
V = πr2 h
h
Pb = 2πrh
2
Pc = 2πr + 2πrh
r
Stożek
V = 13 πr2 h
l
Pb = πrl
Pc = πr2 + πrl
h
r
Kula
V = 43 πR3
Pc = 4πR2
R
Oznaczenia: h — długość wysokości, r — długość promienia podstawy,
l — długość tworzącej, R — długość promienia kuli, V — objętość,
Pc — pole powierzchni całkowitej, Pb — pole powierzchni bocznej.
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
58
BRYŁY OBROTOWE
206. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości a. Oblicz
objętość i pole powierzchni tego walca.
207. Końce średnicy podstawy walca połączono odcinkami z punktem leżącym na
brzegu drugiej podstawy, tworząc w ten
sposób trójkąt równoboczny o boku a.
Znajdź pole powierzchni tego walca.
a
a
a
208. Rozważmy walec otrzymany w wyniku obrotu pewnego prostokąta wokół krótszego boku oraz walec, który otrzymamy
w wyniku obrotu tego samego prostokąta wokół dłuższego boku.
Który z tych walców będzie miał:
a) większą objętość,
b) większe pole powierzchni bocznej,
c ) większe pole powierzchni całkowitej?
3 cm
209. Walec o wysokości 10 cm i promieniu
podstawy 5 cm przecięto płaszczyzną
prostopadłą do podstawy i odległą od
środka podstawy o 3 cm. Jakie jest pole
otrzymanego przekroju?
210. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem o obwodzie 18, a pole
podstawy stożka jest równe połowie pola powierzchni bocznej.
Oblicz objętość tego stożka.
211. Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka otrzymano wycinek
koła o promieniu 6 i kącie środkowym 240◦ . Oblicz objętość
tego stożka.
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
59
Bryły obrotowe
212. Bok narysowanego rombu ma długość
2 cm, a kąt ostry ma miarę 60◦ . Oblicz
objętość bryły otrzymanej w wyniku
obrotu tego rombu wokół:
a) prostej BD,
D
A
C
b) prostej AC,
c ) prostej AB,
∗d) prostej przechodzącej przez punkt A
i równoległej do prostej BD.
B
213. Oblicz objętości narysowanych brył.
a)
a
2a
a
b)
a
2a
a
c)
1
h
3
h
1
h
3
h
1
h
3
a
2a
a
a
2a
a
4a
214. Stożek o wysokości 6 cm i promieniu podstawy 4 cm przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek stożka i nachyloną do podstawy pod kątem 60◦ . Oblicz pole otrzymanego
przekroju.
215. Kulę o promieniu r przecinamy dwiema równoległymi płaszczyznami, z których jedna przechodzi przez środek kuli. Odległość
między płaszczyznami wynosi 12 r. Jaki jest stosunek pól otrzymanych przekrojów?
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl
60
BRYŁY OBROTOWE
216. Duży arbuz kosztuje tyle samo co dwa arbuzy o średnicy równej
3
4 średnicy dużego arbuza. Czy bardziej opłaca się kupić dwa
mniejsze arbuzy, czy jeden większy? Zakładamy, że arbuzy mają
kształt kuli, a grubość skórki jest proporcjonalna do średnicy
arbuza.
Zadania do wyboru
217. Jakie wymiary ma walec, którego pole powierzchni bocznej jest
równe sumie pól jego podstaw i którego objętość jest równa 27?
218. Pole powierzchni bocznej walca jest równe sumie pól jego podstaw. Przekątna przekroju osiowego ma długość d. Oblicz objętość tego walca.
219. Dwa walce mają takie same objętości, a jeden z nich jest dwa
razy wyższy od drugiego. W obu walcach przekątne przekroju
osiowego mają równe długości. Pod jakim kątem każda z tych
przekątnych jest nachylona do podstawy walca?
220. Po rozwinięciu powierzchni bocznej walca otrzymamy prostokąt, którego jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego
i którego przekątna ma długość p. Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego walca.
221. Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem
o bokach długości 10 cm i 50 cm. Pod jakim kątem przekątna
przekroju osiowego jest nachylona do podstawy walca?
Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl