Lista 1 Lista 2

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (IB)
Lista zadań
Marek Klonowski
Wrocław 2015/16
Lista 1
1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL − CCCC ? A ile CC − LLLL ?
2. Ile jest ciagów
˛
bitowych długości 10 ? A ile z nich ma 0 na końcu ?
3. Na ile sposobów można ustawić 3 osoby w kolejce ?
4. Marek posiada 12 różnych ksia˛żek - 7 z matematyki, 2 o filatelistyce oraz dwa
życiorysy - Agnieszki Fitkau-Perepeczko i Justina Bibera.
• Na ile sposobów może ustawić ksia˛żki na półce ?
• Na ile sposobów może ustawić ksia˛żki jeśli życiorys p. Agnieszki ma być
na pierwszym miejscu ?
• a na ile, jeśli ksia˛żki z każdej dziedziny (matematyka, życiorysy, filatelistyka)
maja˛ być obok siebie ?
Dla ułatwienia przyjmij, że Marek ma półk˛e.
5. Ile jest słów czteroliterowych nad alfabetem {a, b, d, p, u} ? A takich, które nie
kończa˛ si˛e na liter˛e a ?
6. Czego jest wi˛ecej - ludzi na świecie czy ciagów
˛
35 bitowych ?
7. Czego jest wi˛ecej - atomów we wszechświecie czy ciagów
˛
200 bitowych ?
8. Na ile sposobów z klasy o 20 chłopcach i 15 dziewczynkach można wybrać
delegacj˛e złożona˛ z 2 chłopców i dziewczynki ?
9. TRUDNIEJSZE: Ile jest ciagów
˛
100 bitowych takich, że jest dokładnie 80 jedynek a żadne dwa zera nie stoja˛ obok siebie ?
10. Udowodnij a potem uzasadnij (podaj interpretacj˛e kombinatoryczna)
˛
n
n−1
n−1
=
+
r
r−1
r
11. Co ma wspólnego z pokerem liczba 52
5 . Ile jest pokerów ?
12. Przypomnij sobie i uzasadnij prawa de Mograna
Lista 2
1. Marek ma 12 skarpet (6 par) - wybiera losowo dwie skarpety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubierze par˛e ?
1
2. Marek ma już tylko 10 skarpet - (4 pary i dwie pojedyncze skarpety) - wybiera
losowo dwie skarpety. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ubierze par˛e ?
3. Rysujac
˛ odpowiedni diagram Venna uzasadnij, że dla zbiorów A, B, C zachodzi
P (A∪B∪C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (B∩C)−P (C∩A)+P (A∩B∩C)
4. TRUDNIEJSZE: Udowodnij, że
n X
n
i
i=0
= 2n .
Podaj interpretacj˛e.
Lista 3
1. Dla n ≥ r udowodnij i uzasadnij wzór
n
n
=
.
r
n−r
2. Rzucamy 10 razy moneta.˛ Niech zdarzenia A oznacza, że w ostatnim rzucie
wypadł orzeł a B że liczba orłów jest parzysta. Czy A i B sa˛ niezależne ?
3. Rzucam dwa razy kostka.˛ Niech S oznacza zdarzenie, że suma na obu kostkach
jest równa 7 a A zdarzenie, że na pierwszej kostce jest 3. Czy zdarzenia A i S
sa˛ niezależne ?
4. Wiemy, że 0.0001 procenta ludzi jest zarażonych bakteriami guzikowca dżemowego. Na PWr opracowano test na nosicielstwo tej bakterii. Test daje odpowiedź
pozytywna˛ w przypadku osoby zarażonej z prawdopodobieństwem 0.99. W
przypadku osoby zdrowej wynik jest negatywny też z prawdopodobieństwem
0.99. Pan Duszan, którego uznać można za losowego człowieka, otrzymał pozytywny wynik testu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest nosicielem guzikowca
dżemowego?
Co z tego wynika dla praktyki ?
Czy ten test jest dobry ?
Czy założenie, że pacjent jest „losowym człowiekiem” jest istotne ?
5. Przedstaw uogólniony wzór Bayesa przy rozbiciu przestrzeni probabilistycznej
na zbiory B1 , B2 , . . ..
6. Wypiłem kaw˛e. Po wypiciu kawy rzucam moneta.˛ Jak wypadnie orzeł znów
wypijam kaw˛e. (I tak rekurencyjnie). Po zakończeniu picia kaw, jeśli wypiłem
ich k, mam migren˛e z prawdopodobieństwem 1/k. Dziś migreny nie miałem.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypiłem dokładnie 2 kawy ?
7. TRUDNIEJSZE: Rzucam 100 razy moneta.˛ Jaka jest najbardziej prawdopodobna
liczba wyrzuconych orłów ? (Możesz wykorzystać komputer)
8. Czy zdarzenie A może być niezależne od samego siebie ?
9. Rzucam 100 razy moneta.˛ Oblicz prawdopodobieństwa:
• wyrzucenia 50 orłów w 50 pierwszych rzutach;
• wyrzucenia dokładnie 50 orłów;
2
• wyrzucenia samych reszek;
• wyrzucenia co najmniej dwóch reszek.
Lista 4
1. Rozważmy taka˛ sytuacj˛e - rzucam moneta,˛ tak długo aż dostan˛e orła. Oczywiście możemy przyjać,
˛ że kolejne rzuty sa˛ niezależne. Opisz przestrzeń probabilistyczna˛ ( zbiór zdarzeń Ω oraz funkcj˛e prawdopodobieństwa).
2. Rzucam kostka˛ dwa razy. Niech zdarzenie A oznacza, że wypadła 6 na obu
oczkach; zdarzenie B że suma oczek jest równa 8 a zdarzenie C oznacza, że na
pierwszej kostce wypadła czwórka. Policzyć
• P (A ∩ C)
• P (B ∪ C)
• P (B ∩ C)
• P (A|C)
• P (C|A)
• P (A|(C ∪ B))
• P (AC ∩ C)
• P (A ∪ C|B)
• P (A|(C ∪ B))
• P (AC ∩ C C )
• P (A ∪ C|A ∩ B)
3. Podaj przykłady par zdarzeń A, B, takich że P (A|B) > P (A) oraz P (A|B) <
P (A).
4. Niech A, B dwa zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie. Udowodnij, że
jeśli P (A|B) = P (A) to P (B|A) = P (B).
5. Pan Duszan zjada na kolacj˛e dokładnie i cukierków z prawdopodobieństwem
1/2i (dla i = 1, 2, . . .). Pan Duszan po zjedzeniu jednego cukierka nie choruje.
Gdy zje dwa lub trzy cukierki choruje z prawdopodobieństwem 1/2. Gdy zje
wi˛ecej niż trzy cukierki to choruje na pewno. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że Pan Duszan si˛e rozchoruje ? Wiemy, że si˛e rozchorował. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zjadł dokładnie dwa cukierki ?
6. O zdarzeniach A, B, C wiemy, że sa˛ niezależne, P (A) = P (B) = 0.2 oraz
P (C) = 0.1. Policzyć P (A ∪ B ∪ C).
7. O zdarzeniach A, B, C wiemy, że sa˛ niezależne, P (A) = P (B) = 0.2 oraz
P (C) = 0.7. Policzyć prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne z tych zdarzeń.
8. Czy zdarzenia rozłaczne
˛
moga˛ być niezależne ?
9. Wyciagamy
˛
ze standardowej talii 52 kart trzy kary. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że b˛eda˛ one tego samego koloru ?
10. Wyciagamy
˛
ze standardowej talii 52 kart trzy kary. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że wśród nich nie ma asa ?
11. Na stole sa˛ trzy karty - as pik, as trefl oraz królowa pik. Pozostałe 49 kart jest
w talii. Ciagn˛
˛ e trzy karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich nie ma
asa ?
3
Lista 5
1. Niech zmienna losowa X oznacza liczb˛e oczek jaka˛ uzyskamy rzucajac
˛ kostka.˛
Podać rozkład zmiennej losowej X. Policzyć prawdopodobieństwa P (X < 3)
oraz P (X = 5). Naszkicować dystrybuant˛e X.
2. X, Y - niezależne zmienne losowe odpowiadajace
˛ niezależnym rzutom kostka.˛
Policzyć P (X = Y ), P (X = Y = 2), P (X > Y ), P (X = 2, Y < 3)
3. Rzucam kostka˛ tak długo, aż wyrzuc˛e szóstk˛e. Niech X b˛edzie liczba˛ rzutów
które wykonam. Podać rozkład zm. losowej X. Policzyć P (X > 3) oraz
P (X = 14). Jak wyglada
˛ dystrybuanta zm. losowej X ?
Lista 6
1. X1 , X2 - dwa niezależne rzuty kostka.˛ Niech Y = min{X1 , X2 }. Pokazać,
że zmienne losowe X oraz Y nie sa˛ niezależne. Ponadto narysuj dystrybuant˛e
zmiennej loswej Y .
2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości −5, −2, 0, 2 z prawdopodobieństwami
odpowiednio 0.5; 0.3; 0.1; 0.1. Narysować dystrybuanty zm. losowych X, 2X, 2|X|−
1 a potem policzyć
• Pr[X = −2]
• Pr[|X| = 2]
• Pr[X < 5]
• Pr[2X − 1 < 5].
A po wszystkim jeszcze znaleźć median˛e X oraz kwantyl rz˛edu 3/4.
3. Czy funkcja f (x) = x może być dystrybuanta˛ jakiejś zmiennej losowej ?
4. Zmienna losowa X Funkcja f (x) = c dla x ∈ [−1, 2] oraz f (x) = 0 dla innych
x.
• Policzyć c
• Policzyć Pr[X ∈ (0, 1)]
• Policzyć Pr[|X| = 1]
• Pr[|X| < 1]
• Naszkicować, jak zwykle, dystrybuant˛e.
5. X, Y - zmienne losowe takie, że Pr[X = 1] = Pr[X = 0] = Pr[Y = 1] =
Pr[Y = 0] = 1/2. Czy może być
• Pr[X + Y = 2] = 0
• Pr[X + Y = 2] = 1/4
• Pr[X + Y = 2] = 1/2
• Pr[X + Y = 2] = 1
A jak założymy niezależność to może tak być ?
Lista 7 Uwaga - do rozwi
azania
˛
cz˛eści zadań niezb˛edna jest wiedza z
wykładu 23.11
1. Pokazać, że D2 (X) = E(X 2 ) − (E(X))2
4
2. Pokazać, że wariancja zm.loswoej, o ile istnieje, jest nieujemna.
3. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na przedziale [−3, 3]. Narysować jej
dystrybuant˛e.
4. Zmienna losowa ma rozkład jednostajny na zbiorze {−1, 0, 1, 2} . Policzyć
wartość oczekiwana˛ i wariancj˛e.
5. Przy każdym podejściu do egzaminu na prawo jazdy udaje mi si˛e niezależnie
od poprzednich prób zdać z prawdopodobieństwem 1/6. Niech X b˛edzie liczba˛
moich prób. Policzyć Pr[X < 4] oraz E(X).
6. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami (2, 3). Korzystajac
˛ z
“tablic” (komputera/Internetu). Policzyć Pr[X > 3.22] oraz Pr[X < −1].
7. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Policzyć jej wariancj˛e
oraz wartość średnia˛ (oczekiwana)
˛
Lista Przykładowa na Kolokwium
1. Ile jest dziesi˛ecioliterowych ciagów
˛
nad alfabetem {a, b, c} zaczynajacych
˛
si˛e
od a, takich, że wyst˛epuja˛ tam dokładnie dwie litery c ?
2. Pan Daniel je kanapk˛e z szynka˛ z prawdopodobieństwem 1/10, kanapk˛e z serem
z p-stwem 1/10 oraz sucha˛ bułk˛e z p-swtem 9/10. Po kanapce z szynka˛ choruje
zawsze, po kanapce z serem z prawdopodobieństwem 1/2 zaś po samej bułce
nigdy.
• Jakie jest prawdopodobieństwo, że zachoruje ?
• Zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo , że jadł sucha˛ bułk˛e ?
• Nie zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo , że jadł sucha˛ bułk˛e ?
• Nie zachorował, jakie jest prawdopodobieństwo , że jadł sucha˛ kanapk˛e z
serem ?
3. Zdarzenia A, B, C sa˛ niezależne oraz Pr[A] = 1/2, Pr[B] = 1/2, Pr[C] = 1/4.
Oblicz Pr[A ∪ B ∪ C].
4. Rzucamy 100 razy “sprawiedliwa”
˛ moneta.˛ Jakie jest p-stwo, że co najwyżej raz
wypadnie orzeł ?
5. Niech Xi - wynik i-tego rzutu kostka.˛ Rzuty sa˛ niezależne. Niech S = X1 +
. . . + X1 00. Policzyć wariancj˛e oraz wartość oczekiwana˛ S oraz 2S + 1.
6. Zm. losowa ma rozkład jednostajny na [0, 5] - naszkicować dystrybuant˛e, policzyć
wartość oczekiwana,˛ median˛e, etc. A potem to samo dla rozkładu jednostajnego
na zbiorze {−1, 0, 1, 2}.
Lista 8
1. Zm. losowe X, Y maja˛ rozkład łaczny
˛
opisany tak: Pr[X = 1, Y = 2] =
0.25, Pr[X = 3, Y = 0] = 0.25, Pr[X = 1, Y = 0] = 0.25, Pr[X = −1, Y =
2] = 0.25. Policzyć kowariancj˛e Corr(X, Y ) oraz wsp. korelacji ρ(X, Y ).
2. Zm. losowe X, Y maja˛ rozkład łaczny
˛
opisany tak: Pr[X = 1, Y = 0] =
0.2, Pr[X = 3, Y = −1] = 0.2, Pr[X = 1, Y = −1] = 0.2, Pr[X = −1, Y =
2] = 0.2, Pr[X = 3, Y = −1] = 0.2. Policzyć kowariancj˛e Corr(X, Y ) oraz
wsp. korelacji ρ(X, Y ).
5
3. Zm. losowe X, Y maja˛ rozkład łaczny
˛
opisany tak: Pr[X = 1, Y = −1] =
0.25, Pr[X = −1, Y = −1] = 0.5, Pr[X = 1, Y = a] = 0.25. Dla jakich
wartości parametru a wsp. korelacji ρ(X, Y ) jest ujemny ?
4. Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , X1 0 sa˛ niezależne. Ponadto Xi ma rozkład normalny N (i, 2) (czyli σ 2 = 2). Korzystajac
˛ z Tablic / Komputera policzyć
Pr[X1 + X2 + . . . + X1 0 > 20].
5. Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn sa˛ niezależne. Ponadto Xi ma rozkład normalny N (i, 5) (czyli σ 2 = 5). Korzystajac
˛ z Tablic / Komputera policzyć
Pr[10 < X1 + X2 + . . . + Xn < 20].
6. X ma rozkład normlalny N (−1, 1). Korzystajac
˛ z tablic/komputera znajdź a
takie, żeby Pr[X < a] > 0.9999.
7. X, Y maja˛ rozkład normlalny N (0, 1) i sa˛ niezależne. Korzystajac
˛ z tablic/komputera
znajdź a takie, żeby Pr[|X + Y | < a] > 0.9999.
8. Dlaczego wzrost ludzi albo oceny nie moga˛ (wbrew obiegowym opiniom) mieć
rozkładu normalnego ?
Lista 9 Uwaga - do rozwi
azania
˛
cz˛eści zadań niezb˛edna jest wiedza z
wykładu 21.12
1. X1 , X2 , . . . , X100 sa˛ niezależne a każdy ma rozkład jednostajny na zbiorze [−1, 1].
Stosujac
˛ CTG oszacuj Pr[10 < X1 + X2 + . . . + X100 < 20].
2. X1 , X2 , . . . , X100 sa˛ niezależne a każdy ma rozkład jednostajny na zbiorze [1, 2].
Stosujac
˛ CTG oszacuj Pr[10 < X1 + X2 + . . . + X100 < 20].
3. Rzucam tysiac
˛ razy moneta.˛ Stosujac
˛ CTG oszacuj prawdopodbieństwo, że
liczba reszek b˛edzie w przedziale [400, 550].
4. Rzucam sto razy kostka˛ a wynik sumuj˛e dostajac
˛ S. Stosujac
˛ CTG oszacuj
Pr[S > 3300] oraz Pr[S > 4300].
Lista 10
1. Zaobserwowano takie wartości st˛eżenia cynku w drażach „Korsarz“:
0.1, 0.02, 0.2, 0.3, 0.02, 0.1, 0.3, 0.4, 0.1, 0.2.
Naszkicować dystrybuant˛e empiryczna˛ tudzież histogram dla punktów podziału
0.02, 0.1, 0.15, 0, 25, 0.4.
2. Próbka X1 , X2 , . . . , Xn pochodzi z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, a] o
nieznanym parametrze a > 0. Stosujac
˛ metod˛e momentów znaleźć estymator
dla m. Czy tak skonstruowany estymator jest nieobcia˛żony ? (Uwaga - to prosty
przypadek , wystarczy jeden „moment”).
3. Pan Janusz Marchewka otrzymał nast˛epujace
˛ wyniki obserwacji
0.1, 0.2, 0.2, 0.3, 0.2, 0.1, 0.3, 0.4, 0.1, 0.2, 0.5
, które miały pochodzić z rozkładu jednostajnego na zbiorze [0, x]. Pan Marchewka
postanowił estymować x stosujac
˛ wzór z poprzedniego zadania. Jaki wyszedł mu
wynik ?
4. Zaobserwowano pewna˛ próbk˛e X1 , X2 , . . . , Xn pochodzac
˛ a˛ z rozkładu o rozkładzie
normalnym N (µ, 1) (średniaPnieznana, wariancja 1). Pan Marchewka zapron
ponował estymator µ̂M = n1 i=1 Xi , Kubuś Puchatek, aby za dużo nie liczyć,
zaproponował estymator µ̂K = 21 (X1 + X2 ) a Prosiaczek twierdzac,
˛ że to i tak
bez sensu zaproponował estymator µ̂P = 0. Które estymatory µ̂M , µ̂P , µ̂K sa˛
nieobcia˛żone ? Jakie maja˛ wariancje ? Który jest najlepszy ? Które sa˛ zgodne ?
6