STATYSTYKA STOSOWANA Przyk ladowe zadania

STATYSTYKA STOSOWANA
Przykladowe zadania
1. Dane sa̧ P (A′ ) = 13 , P (A ∩ B) =
P (B \ A).
1
4
i P (A ∪ B) = 32 . Obliczyć P (B ′ ), P (A ∩ B ′ ) i
2. Z talii 52 kart losujemy 5. Znajdź prawdopodobieństwo nastȩpuja̧cych zdarzeń:
a) nie wylosujemy żadnego asa, b) wylosujemy dokladnie jednego asa, c) wylosujemy
co najmniej jednego asa, d) wylosujemy co najwyżej jednego asa.
3. W skrzynce znajduje siȩ 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wycia̧gamy losowo
piȩć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bȩda̧ wśród nich najwyżej dwie
przepalone?
4. Rzucamy moneta̧ tak dlugo, aż wypadnie dwa razy pod rza̧d na ta̧ sama̧ stronȩ. Jak
wygla̧da przestrzeń zdarzeń elementarnych? Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra
skończy siȩ przed szóstym rzutem? Jakie jest prawdopodobieństwo, że potrzebna
bȩdzie parzysta liczba rzutów?
5. Pani X i pani Y ida̧c z domu do biura maja̧ do przebycia pewien wspólny odcinek
drogi AB z tym, że przebywaja̧ go w przeciwnych kierunkach, pani X od A do B, pani
Y od B do A. Pani X przybywa do punktu A (pani Y zaś do punktu B) w przypadkowym momencie czasu pomiȩdzy godz. 7.30 i 7.45 i idzie ze stala̧ predkościa̧. Każda
z pań przechodzi odcinek AB w przecia̧gu 5 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo
spotkania pań X i Y.
6. Rzucono trzy kostki do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że choćby na jednej z
nich wypadnie jedynka, jeżeli wiadomo, że na trzech kostkach byly różne wyniki ?
7. Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 8 bialych; druga urna zawiera 20 kul, w tym
4 biale. Z każdej urny losowo wybrano po jednej kuli, a nastȩpnie z tych dwóch kul
wybrano jedna̧. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wybrano kulȩ biala̧.
8. W magazynie sa̧ ubrania z trzech zakladów krawieckich A1 , A2 , A3 przy czym
wiadomo, że z zakladu A1 pochodzi 50% ubrań , z A2 30%, a z A3 20%. Zaklad A1
produkuje 80% ubrań I gatunku, A2 70%, a A3 60% ubrań I gatunku. W sposób
losowy wziȩto ubranie z magazynu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrane
ubranie: (a) jest I gatunku; (b) pochodzi z zakladu A1 , jeśli stwierdzono, że jest
I gatunku, (c) pochodzi z zakladu A2 , jeśli wiadomo, że nie jest I gatunku.
9. Z talii 52 kart cia̧gniemy jedna̧. Wykaż, że wycia̧gniȩcie asa oraz wycia̧gniȩcie pika
to zdarzenia niezaleṅe
10. Czy jest możliwe, aby dwa zdarzenia byly niezależne i rozla̧czne ?
11. Na odcinku [0, 1] umieszczamy losowo (zgodnie z rozkladem jednostajnym) i niezależnie
punkty x i y. Niech A bȩdzie zdarzeniem polegaja̧cym na tym, że x2 + y 2 ≤ 1, natomiast B zdarzeniem polegaja̧cym na tym, że x < y. Czy A i B sa̧ niezależne ?
12. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4 sygnaly świetlne, dzialaja̧ce
niezależnie od siebie. Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza samochód z prawdopodobieństwem p = 21 . Niech X oznacza liczbȩ sygnalów miniȩtych przez samochód
do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć rozklad zmiennej losowej X i narysować
jej dystrybuantȩ.
13. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 2, 3, 5, 8 z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi 2/10, 4/10, 3/10, 1/10. Wyznaczyć dystrybuantȩ tej zmiennej i obliczyć
a). P (X ≤ 3),
b). P (X ≥ 2.5),
c). P (2.7 ≤ X < 5.1).
d). Wyznaczyć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej X.
14. Pewne lekarstwo uszkadza wa̧trobȩ u 1% pacjentów. Testujemy lekarstwo na 50
pacjentach. Oblicz p-stwo, że
a). żaden pacjent nie dozna uszkodzenia choroby,
b). co najmniej jeden pacjent dozna uszkodzenia wa̧troby.
15. Przypuśćmy, że liczba X klientów, którzy pojawiaja̧ siȩ w banku w cia̧gu godziny
ma rozklad Poissona i przypuśćmy, że P (X = 0) = 0.05. Obliczyć:
a). P (X = 1),
b). P (X ≤ 2),
c). P (X ≥ 3),
d). P (1 ≤ X ≤ 3).
16. Zmienna losowa X ma gȩstość określona̧ wzorem
f (x) =
(
x/8 dla x ∈ (3, 5),
0 dla x ∈
/ (3, 5).
Wyznaczyć dystrybuantȩ tej zmiennej i obliczyć:
a). P (X < 4),
b). P (X > 3.5),
c). P (4 < X < 5),
d). P (X < 3.5 lub X > 4.5).
e). Wyznaczyć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ zmiennej losowej X.
17. Czas potrzebny do przeprowadzenia pewnego testu krwi ma rozklad jednostajny na
przedziale (50, 75) s. Jaki procent testów
a). trwa dlużej niż 70 s.?
b). kończy siȩ przed uplywem minuty?
18. Urza̧dzenie sklada siȩ z 20 niezależnie dzialaja̧cych jednakowych elementów. Czas
życia jednego elementu (mierzony w godzinach) ma rozklad wykladniczy z parametrem λ = 1/500. Jakie jest prawdopodobiestwo, że po 1500 godzinach dziala co
najmniej jeden element?
19. Zmienna losowa X ma rozklad N (m, σ). Obliczyć P (1 < Y < e) jeśli X ∼ N (0, 1/2).
20. Dlugość produkowanych detali ma rozklad N (0.9, 0.003). Norma przewiduje wyroby
o wymiarach 0.9 ± 0.005. Jaki procent produkowanych detali nie spelnia wymogów
normy?
21. Poziomy cholesterolu w pewnej populacji chlopców maja̧ rozklad normalny ze średnia̧
176 mg/dl i odchyleniem 30 mg/dl . Jaka czȩść chlopców ma poziom cholesterolu
a). powyżej 186?
b). poniżej 156?
c). poniżej 216?
d). powyżej 121?
e). pomiȩdzy 186 a 216?
f). pomiȩdzy 121 a 156?
g). pomiȩdzy 156 a 186?
Oblicz kwantyle rzȩdu 0.8 i 0.2 rozkladu poziomu cholesterolu.
22. Oblicz odchylenie standardowe dla każdej z poniższych fikcyjnych próbek. Korzystaj
z definicji a nie gotowych funkcji na kalkulatorze.
a) 16, 13, 18, 13
b) 38, 30,34,38,35
c) 1, -1, 5, -1
d) 4, 6, -1, 4, 2
23. Dopamina jest zwia̧zkiem chemicznym, który bierze udzial w przekazywaniu sygnalów
do mózgu. Farmakolog zmierzyl ilość dopaminy w mózgu u siedmiu szczurów.
Poziomy dopaminy byly nastȩpuja̧ce (w nmolach/g):
6.8 5.3 6.0 5.9 6.8 7.4 6.2
a) Oblicz średnia̧ i standardowe odchylenie.
b) Oblicz medianȩ i rozstȩp miȩdzykwartylowy.
c) Oblicz wspólczynnik zmienno sci.
d) Zasta̧p obserwacjȩ 7.4 przez 10.4 i powtórz kroki a i b. Które z obliczonych
statystyk sa̧ odporne a które nie ?
24. Proponowany rozmiar próby do oceny przeciȩtnego poziomu cholesterolu u pracuja̧cych
doroslych wynosi 1000. Jaki rozmiar próby jest potrzebny aby czterokrotnie zredukować odchylenie standardowe średniej ?
25. Wiadomo, że odchylenie standardowe wagi noworodków wynosi 500 g. Jaki powinien
być rozmiar próby, żeby standardowe odchylenie średniej wagi noworodków w próbie
bylo mniejsze niż 150 g.
26. Wysokość roślin kukurydzy w pewnej ich populacji ma rozklad normalny ze średnica
145 cm i odchyleniem standardowym 22 cm.
a) Jaki procent roślin ma wysokość w przedziale miȩdzy 135 a 155 cm ?
b) Niech Y reprezentuje średnia̧ wysokość w losowej próbie 16 roślin. Oblicz
P (135 < Y < 155).
c) Niech Y reprezentuje średnia̧ wysokość w losowej próbie 36 roślin. Oblicz
P (135 < Y < 155).
27. Czas oczekiwania na autobus linii A jest zmienna̧ losowa̧ o rozkladzie wykladni–
czym z wartościa̧ oczekiwana̧ równa̧ 10 minut. Pani X codziennie dojeżdża do pracy
autobusem A. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pani X:
a) traci kwartalnie na czekanie na autobus A wiȩcej niż 910 minut (przyjmujemy, że
kwartal ma 90 dni),
b) średnio dziennie w kwartale traci wiȩcej niż 9 minut na czekanie na autobus A.
28. Rozklad codziennego dojazdu do pracy jest jednostajny na odcinku [0.5godz,1godz]
i zalóżmy, że czasy dojazdów w różne dni sa̧ niezależne. Ile w przybliżeniu wynosi
prawdopodobieństwo, że średni dzienny dojazd w cia̧gu 30 dni przekroczy 0.8 godz.
29. Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0.1. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że spośród 500 graja̧cych osób wygra wiȩcej niż 60 osób.
30. Czas pracy pewnego rodzaju baterii ma rozklad N (m, 70). Wyznaczyć przedzial
ufności na poziomie ufności 0.95 dla przeciȩtnego czasu pracy tego typu baterii, jeśli
dla 16 losowo wybranych baterii otrzymano X̄ = 560.
31. Dokonano m = 10 pomiarów wytrzymalości (w 105 N/m2 ) pewnego materialu budowlanego i obliczono średnia̧ X̄ = 20.2 oraz wariancjȩ S 2 = 0.96. Przyjmijmy, że
zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbȩ prosta̧ z rozkladu
normalnego o nieznanej wariancji σ 2 . Podać 90-procentowy przedzial ufności dla
wartości średniej m oraz wariancji σ 2 .
32. Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas pracy, potrzebny na wyprodukowanie
przedmiotu oraz dyspersjȩ wyników pomiarów i otrzymano X̄ = 5.5 sek. oraz S =
1.7 sek. Zakladaja̧c, że czas wyprodukowania przedmiotu ma rozklad normalny,
wyznaczyć przedzialy ufności dla jego wartości oczekiwanej na poziomie ufności 0.80
i 0.90, odpowiednio.
33. Spośród studentów pewnej Akademii Medycznej wylosowano niezależnie do próby
150 studentów i zapytano ich, czy pala̧ papierosy. 114 studentów stwierdzilo, że
systematycznie pali papierosy. Oszacować metoda̧ przedzialowa̧ procent pala̧cych
studentów tej uczelni, przyjmuja̧c wspólczynnik ufności 0.90.
34. W wyniku pomiarów maksymalnej pojemności 20 kondensatorów otrzymano x̄ =
4.5pF. Zakladaja̧c, że maksymalna pojemność kondensatora jest zmienna̧ losowa̧ o
rozkladzie normalnym N (m, 0.2), na poziomie istotności α = 0.05, zweryfikować
hipotezȩ m = 4.6pF.
35. Tygodniowe wydatki na żywność maja̧ rozklad normalny N (m, σ). Uważa siȩ, że
wartość przeciȩtna tych wydatków jest wyższa niż 200zl. Zweryfikować prawdziwość
tego sa̧du na pozionie istotności α = 0.05, jeśli dla 10 losowo wybranych rodzin
otrzymano x̄ = 216zl i s2 = 54.8zl.
36. Na pudelkach zapalek napisane jest: średnio 64 zapalki. Celem zweryfikowania
hipotezy H : µ = 64 przeliczono zapalki w n = 100 przypadkowo wybranych
pudelkach i okazalo siȩ, że x̄ = 63 oraz s2 = 30. Zweryfikować hipotezȩ zerowa̧
H gdy hipoteza alternatywna jest postaci
a) K : µ < 64,
b) K : µ 6= 64.
Skontruować 95% przedzal ufności dla średniej liczby zapalek w pudelku.