ĆWICZENIA Z MONOTONICZNOŚCI I EKSTREMÓW FUNKCJI Z

ĆWICZENIA Z MONOTONICZNOŚCI I EKSTREMÓW FUNKCJI Z ROZWIĄZANIAMI
Zadanie 1. Podaj przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
f (x) = x3 + 6x2 − 15x + 4,
x ∈ R.
Aby rozwiązać zadanie najpierw należy policzyć pochodną funkcji f .
Mamy
f 0 (x) = (x3 + 6x2 − 15x + 4)0 = 3x2 + 2 · 6x2 − 15 + 0 = 3x2 + 12x − 15 = 3(x − 1)(x + 5).
Funkcja f jest rosnąca dla x takich, że f 0 (x) jest nieujemna. Dlatego należy rozwiąząć
nierówność f 0 (x) ≥ 0.
Mamy
f 0 (x) ≥ 0
3(x − 1)(x + 5) ≥ 0
x ∈ (−∞, −5] ∪ [1, ∞).
Zatem funkcja f jest rosnąca na przedziałach (−∞, −5] oraz [1, ∞).
Funkcja f jest malejąca dla x takich, że f 0 (x) jest niedodatnia. Dlatego należy rozwiąząć
nierówność f 0 (x) ≤ 0.
Mamy
f 0 (x) ≤ 0
x ∈ [−5, 1].
Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale [−5, 1].
Funkcja f posiada ekstremum lokalne w punkcie x0 , gdy f 0 (x0 ) = 0 i f 0 zmienia znak w x0 .
Mamy
f 0 (x) = 0
3(x − 1)(x + 5) = 0
x = 1 lub
x = −5
.
Są dwa rodzaje ekstremów: minimum lokalne i maksimum lokalne.
Minimum jest wtedy gdy f 0 jest najpierw ujemna a potem dodatnia (idąc wzdłuż osi od
lewej do prawej). Czyli minimum jest wtedy, gdy f jest najpierw malejąca a potem
rosnąca. Funkcja f ma w minimum "dołek".
Z maksimum jest dokładnie odwrotnie. Funkcja f ma "górkę".
W przykładzie mamy, że w x0 = −5 funkcja f ma maksimum (bo najpierw rośnie a potem maleje).
Wartość maksimum lokalnego wynosi
f (−5) = (−5)3 + 6 · (−52 ) − 15 · (−5) + 4 = 104
(wstawiliśmy do wzoru na funkcję f ).
W x0 = 1 funkcja f ma minimum (bo najpierw maleje a potem rośnie). Wartość tego minimum
lokalnego to f (1) = 13 + 6 · 12 − 15 · 1 + 4 = −4.
Zadanie 2. Podać przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
f (x) = ex (x + 1),
x ∈ R.
Rozwiązanie. Liczymy pochodną
f 0 (x) = (ex )0 · (x + 1) + ex · (x + 1)0 = ex (x + 1) + ex (1 + 0) = ex (x + 2).
Mamy
f 0 (x) ≥ 0
ex (x + 2) ≥ 0 / : ex
(bo ex > 0)
x+2≥0
x ≥ −2.
Zatem funkcja f jest rosnąca na przedziale [−2, ∞).
Analogicznie dostajemy
f 0 (x) ≤ 0
x ≤ −2.
Zatem funkcja f jest malejąca na przedziale (−∞, −2].
Mamy
f 0 (x) = 0
x = −2
oraz f 0 zmienia znak w −2. (Jak już wyliczyliśmy wcześniej, f jest malejąca przed −2 i rosnąca potem,
więc w −2 funkcja f ma "dołek".) Zatem f posiada minimum lokalne w x0 = −2. Wartość tego
minimum to f (−2) = e−2 (−2 + 1) = − e12 .
Funkcja f nie posiada maksimum lokalnego.
Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
(a) f (x) = (x2 + 2x + 1)ex , x ∈ R,
(c) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 5, x ∈ R,
(e) f (x) = ln(2x + 1), x > − 12 ,
2
(b) f (x) = ex +2x , x ∈ R,
(d) f (x) = ln(x2 + 1), x ∈ R,
(f ) f (x) = x2x+1 , x ∈ R.
Rozwiązania Zadania 3.
(a) f jest rosnąca na przedziach (−∞, −3] oraz [−1, ∞), malejąca na [−3, −1], minimum lokalne w
−1 wynosi 0, maksimum lokalne w −3 wynosi e43 , (b) f jest rosnąca na przedziale [−1, ∞) i malejąca
na przedziale (−∞, −1], minimum w −1 wynosi 1e , maksimum lokalnego nie ma, (c) f jest rosnąca na
przedziałach (−∞, −2] oraz [1, ∞), zaś malejąca na [−2, 1], maksimum lokalne w −2 wynosi 27, minimum
w 1 wynosi −12, (d) f jest rosnąca na przedziale [0, ∞) i malejąca na (−∞, 0], minimum w 0 wynosi
0, maksimum lokalnego nie ma, (e) f jest rosnąca na (− 12 , ∞) czyli w całej dziedzinie, nie ma żadnych
eksremów lokalnych, (f ) f jest rosnąca na przedziale [−1, 1] i malejąca na przedziałach (−∞, −1] oraz
[1, ∞), minimum lokalne w −1 wynosi − 12 , zaś maksimum lokalne w 1 to 12 .