RACHUNEK PRAWDOPODOBIE´NSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista nr 1
1. Eksperyment na laboratorium: Przeprowadzić symulacjȩ komputerowa̧
eksperymentu Johna Kerricha [rzut moneta̧]. Wykreślić czȩstotliwość pojawienia siȩ orla w funkcji liczby rzutów (od 1 do 10000).
a) Powtórzyć 10 razy (wykreślić 10 trajektorii).
b) Powtórzyć cale doświadczenie przy zalożeniu, że p-stwo wyrzucenia orla
wynosi 0.2.
2. Niech
A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1},
B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4},
C = {(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 < 1}.
a) Znaleźć zbiory
A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∪ B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C,
A ∩ B ∩ C,A − B, A − C, B − A.
3. Stosuja̧c diagram Venna sprawdzić tożsamości :
A − B = A ∩ B, A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.
4. W każdej z poniższych sytuacji opisz przestrzeń próbkowa̧ S. (W niektórych
przypadkach jest kilka możliwych dobrych odpowiedzi.)
(a) Zasadzono ziarno. Albo wyrośnie z niego roślina albo nie.
(b) Pacjent chory na raka zostal poddany nowej terapii. Interesuje nas czas
życia pacjenta po terapii.
(c) Student uczestnicza̧cy w kursie ze statystyki pod koniec roku dostaje
pewna̧ ocenȩ.
(d) Koszykarz wykonuje dwa rzuty osobiste.
(e) Rok po operacji pacjent ocenia ból w kolanie. Skala jest siedmiostopniowa: 1 - nie boli, 7 - bardzo boli.
5. Z partii towaru zawieraja̧cej sztuki dobre i zle losujemy trzy sztuki. Niech
A, B i C oznaczaja̧ zdarzenia
A - dokladnie 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych,
B - co najwyżej 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych,
C - co najmniej 1 sztuka dobra w trzech wylosowanych.
Wyjaśnić, co oznaczaja̧ zdarzenia :
A, B, C, A ∪ B, A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B, B ∩ C.
6. Pudelko zawiera 3 kule, 1 czerwona̧, 1 zielona̧ i jedna̧ biala̧. Rozważmy
eksperyment polegaja̧cy na losowaniu kuli z pudelka, odlożeniu jej do pudelka
i ponownym losowaniu kuli. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zakladaja̧c
że wszystkie zdarzenia elementarne sa̧ jednakowo prawdopodobne oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano kule różnych kolorów. Jak wygla̧da przestrzeń
zdarzeń elementarnych gdy druga kula jest losowana bez uprzedniego zwrotu
do pudelka pierwszej kuli.
7. Komentator sportowy przewiduje wyniki Konferencji Atlantyckiej Ligi
Koszykówki. Stwierdza “Prawdopodobieństwo, że drużyna A wygra jest
dwa razy wiȩksze niż, że wygra drużyna B. Drużyny C i D maja̧ szansȩ 0.1
na zwyciȩstwo ale prawdopodobieństwo, że drużyna B wygra jest trzy razy
wiȩksze. Nikt inny nie ma szans.” Czy komentator prawidlowo przypisal
prawdopodobieństwa zwyciȩstwa ośmiu drużynom z Ligi.
8. Pewien wyrób może mieć dwa rodzaje defektów: defekt typu a oraz defekt typu b. Przypuśćmy, że w partii takich wyrobów dostarczonych przez
pewnego producenta 20% ma defekt a, 30% defekt b oraz 10% oba te defekty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrób wylosowany z partii dostarczonej przez tego producenta bȩdzie mial
a) tylko defekt typu a
b) defekt typu a lub defekt typu b
c) tylko jeden z obu defektów
d) nie bȩdzie mial żadnego defektu
9. Z talii kart wycia̧gniȩto cztery karty.Znaleźć prawdopodobieństwo, tego
że bȩda̧ wśród nich dokladnie dwa asy.
10. W skrzynce znajduje siȩ 47 żarówek dobrych i 3 przepalone. Wycia̧gamy
losowo piȩć żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że bȩda̧ wśród nich
najwyżej dwie przepalone?
11. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje siȩ na dziesiȩciu
piȩtrach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z pasażerów wysia̧dzie na
innym piȩtrze?
12. Rzucamy kostka̧ do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy liczbȩ parzysta̧, jeśli:
a) wszystkie wyniki sa̧ jednakowo prawdopodobne,
b) szóstka wypada z prawdopodobieństwem 0.5, a pozostale wyniki sa̧
jednakowo prawdopodobne.
13. Komputer losowo tworzy trzyliterowe kody wykorzystuja̧c standardowy
26 literowy zbiór dostȩpny na “angielskiej” klawiaturze.
(a) Jakie jest p-stwo, że wygenerowany kod nie zawiera samoglosek, jeżeli
w kodzie litery moga̧ siȩ powtarzać ? A jakie jeżeli powtórzenia nie sa̧
dozwolone ?
(b) Komputer tworzy kody zgodnie ze schematem: spólgloska-samogloskaspólgloska. Spólgloski moga̧ siȩ powtarzać. Jakie jest p-stwo, że utworzony kod nie zawiera “x” ?
14. Wśród 40 ksia̧żek stoja̧cych na pólce w losowej kolejności jest slownik
trzytomowy. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że tomy slownika stoja̧
obok siebie w rosna̧cej kolejności od lewej do prawej.
15. Zakladaja̧c, że urodzenia chlopca i dziewczynki sa̧ jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie z dwójka̧ dzieci
jest co najmniej jeden chlopiec.
16. Rzucamy raz trzema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo
otrzymania:
a) na jednej kostce dwóch oczek,
b) przynajmniej na jednej kostce trzech oczek.
Malgorzata Bogdan