Lista nr 2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

dr Tomasz Małolepszy
1
Lista nr 2.
Równania różniczkowe pierwszego rzędu - równania liniowe i
sprowadzalne do nich, równania zupełne.
Zad.1. Rozwiązać podane równania liniowe:
a. y 0 = xy + x3 ,
b. x0 = tx + t, x(2) = 1,
c. xy 0 + 2y = x + x2 , y(1) = 2,
d. y 0 =
√y
x
e. y 0 =
y
x
+ 1,
+ ln x,
f. x0 = 2x + 4e3t , x(1) = 1,
g. y 0 =
y
x2
+
1
x3 ,
h. y 0 = y cos x sin2 x + cos x sin2 x,
i. y 0 = 3y + 2 sin x − 2 cos x, y(0) = 1.
W przypadku zagadnień Cauchy’ego określić maksymalny przedział istnienia rozwiązań.
Zad.2. Rozwiązać następujące równania Bernoulliego:
a. x0 = −x + x2 ,
b. t4 y 0 − 2t2 y − ty 3 = 0,
c. ty 0 = −y − y 2 ln t,
d. x0 = tx + t3 x5 .
Zad.3. Rozwiązać podane równania Riccatiego wiedząc, że rozwiązanie szczególne tego równanie jest danej w
nawiasie postaci:
a. y 0 = y 2 + −xy − x, (y = ax + b),
b. y 0 = 1/3y 2 +
2
3x2 ,
y=
a
x
,
c. y 0 = −y 2 − y/x + 4/x2 , y =
a
x
.
Zad.4. Rozwiązać podane równania Riccatiego
a. t2 x0 + tx + t2 x2 = 4,
b. x0 + 2xet − x2 = e2t + et ,
c. x0 = −2 − x + x2 .
Zad.5. Znaleźć rozwiązania następujących równań zupełnych:
a. (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = 0,
b. (2xy + 3y 2 )dx + (x2 + 6xy − 3y 2 )dy = 0,
c. ey dx − (2y − xey )dy = 0,
d. (2x sin y − y 2 sin x)dx + (x2 cos y + 2y cos x + 1)dy = 0.
2
dr Tomasz Małolepszy
Zad.6. Wyznaczyć czynnik całkujący, a następnie rozwiązać podane równania:
a. (x2 − y)dx + xdy = 0,
b. (x2 + y 2 + 2x)dx + 2ydy = 0,
c. y 2 dx + (xy − 1)dy = 0,
d. (sin x + ey )dx + cos xdy = 0.