Rachunek - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38
www.piotr-liszka.strefa.pl
+ Rachmistrz zastępowany przez maszynę cyfrową. „Matematycy
wykorzystują komputery przynajmniej na sześć różnych sposobów: 1. do
obliczeń numerycznych, 2. do rozwiązywania (z reguły przybliżonego)
równań i układów równań algebraicznych, różniczkowych, obliczania
całek itp., 3. do automatycznego dowodzenia twierdzeń, 4. do
sprawdzania
poprawności
dowodów
matematycznych,
5. przy
dowodzeniu twierdzeń (uzyskuje się tzw. dowody wspomagane
komputerowo), 6. do eksperymentowania z obiektami matematycznymi.
Dwa pierwsze zastosowania komputerów są najwcześniejsze i niejako
naturalne. Nie prowokują zatem do stawiania interesujących z punktu
widzenia filozofa pytań. Maszyna cyfrowa jest tu potraktowana jak duża
grupa rachmistrzów czy też udoskonalony arytmometr. Próby
automatycznego dowodzenia twierdzeń mieszczą się w nurcie badań nad
językami i teoriami formalnymi, a także nad sztuczną inteligencją. Warto
dodać, że – jak na razie –na tym polu nie odnotowano wielu osiągnięć.
Natomiast uzyskano zadowalające wyniki przy sprawdzaniu przez
komputer prac matematycznych. Komputer uwalnia od często
żmudnego śledzenia poprawności toku rozumowania w dowodzie.
Ożywione dyskusje wywołało użycie komputera jako istotnej pomocy
przy dowodzeniu twierdzeń. Istnienie wspomaganych przez komputer
dowodów takich twierdzeń, których tradycyjne dowody nie są znane,
sprawia, że wygłaszane są rozmaite, często kontrowersyjne, opinie na
temat istoty dowodów matematycznych, metody matematyki i samej
matematyki” /A. Lemańska, Eksperyment komputerowy a istnienie obiektów
matematycznych, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk.
E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w
Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 187-202,
s. 188.
+ Rachuba czasu określa poszczególne lata, stulecia i tysiąclecia wedle tego,
jak przebiegają one przed lub po narodzeniu Chrystusa. „Ci zatem, którzy się
nawracają, zostają przez Ducha Świętego wyprowadzeni z orbity „sądu”,
wprowadzeni zaś do tej Sprawiedliwości, która jest w Jezusie Chrystusie –
gdyż ma ją od Ojca (por. J 16, 15) jako odzwierciedlenie świętości trynitarnej.
Jest to sprawiedliwość Ewangelii i Odkupienia, sprawiedliwość Kazania na
górze i Krzyża, która sprawia oczyszczenie sumień przez Krew Baranka. Jest
to z kolei ta sprawiedliwość, jaką Ojciec oddaje Synowi oraz wszystkim,
którzy z Nim są zjednoczeni przez prawdę i miłość”. W sprawiedliwości tej
Duch Święty, który jest Duchem Ojca i Syna – który „przekonywa świat o
grzechu” – objawia się i uobecnia w człowieku jako Duch życia wiecznego”
(Dominum et Vivificantem 48). „Do Ducha Świętego zwraca się myśl i serce
Kościoła przy końcu dwudziestego wieku i w perspektywie trzeciego
tysiąclecia od przyjścia na świat Jezusa Chrystusa, gdy stajemy w obliczu
wielkiego Jubileuszu, którym Kościół pragnie uczcić to wydarzenie. Przyjście
to mierzy się skalą czasu jako wydarzenie przynależące do dziejów człowieka
na ziemi. Stosowana powszechnie rachuba czasu określa poszczególne lata,
1
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
stulecia i tysiąclecia wedle tego, jak przebiegają one przed lub po narodzeniu
Chrystusa. Równocześnie zaś wydarzenie to oznacza dla nas, chrześcijan,
według słów Apostoła „pełnię czasu” (por. Ga 4, 4), gdyż w nim dzieło
człowieka zostały dogłębnie przeniknięte „miarą” Boga samego:
transcendentną obecnością wiecznego „Teraz”. Tego, „Który jest, Który był, i
Który przychodzi”. Tego, który jest „Alfą i Omegą, Pierwszym i Ostatnim,
Początkiem i Końcem” (Ap 1, 8; 22, 13). „Tak bowiem Bóg umiłował świat, że
Syna swego Jednorodzonego dał, aby każdy, kto w Niego wierzy, nie zginął,
ale miał życie wieczne” (J 3, 16). „Gdy jednak nadeszła pełnia czasu, zesłał
Bóg Syna swego, zrodzonego z niewiasty (…), abyśmy mogli otrzymać
przybrane synostwo” (Ga 4, 4 n.). Dokonało się zaś owo Wcielenie SynaSłowa za sprawę Ducha Świętego” (Dominum et Vivificantem 49).
+ Rachuby stratega genialnego zawiodły. „wojnę z Napoleonem
przedstawiano ludowi w kształcie powszechnej wojny religijnej przeciwko
świętokradcy, jemu oczywiście przypisując pożogę, mordy i gwałty. Lud
rosyjski nie był natchniony patriotyzmem […], lecz z premedytacją
oszukiwany i okłamywany” /E. Kiślak, Car-Trup i Król-Duch. Rosja w
twórczości Słowackiego, IBL PAN, Warszawa 1991, s. 37/. „W Rosji straszyło
ciągle widmo Pugaczowa toteż rosyjska zwierzchność, którą nurtował ten
sam niepokój i obawa przed rozpętanym żywiołem rewolucji, jakie
powstrzymywały najeźdźcę od radykalnych decyzji, posłużyła się innym
żywiołem, prowadząc wojnę z niezwykła zaciętością i samozaparciem”
/Tamże, s. 39/. „wielkie to przedsięwzięcie kierowali w tej samej mierze
przeciwko swoim poddanym, co przeciw Napoleonowi (F. P. Ségur, Pamiętniki
adiutanta Napoleona. Przeł. E. Leszczyńska. Warszawa 1967, s. 81). „Od
początku tej nietypowej kampanii, w której ciągły marsz naprzód
przypominał błędne koło, korzyści były problematyczne, a sukcesy
terytorialne zawieszone w pustce ogromnych przestrzeni” /Tamże, s. 40/.
„pożar Moskwy, zaplanowany z premedytacją przez jej gubernatora,
Rostopczyna, stał się namiastką i widmem rewolucji, dokonywanej przez
zbrodniczy motłoch, nastawionej wyłącznie na zniszczenie, rabunek, pożogę,
rewolucji zwróconej w pustkę” /tamże, s. 41/. „Zima była głównym i
najgroźniejszym wrogiem Francuzów; ostrożny do przesady Kutuzow ociągał
się z wykorzystaniem swej przewagi nad zdemoralizowanym wojskiem,
pozostawiając dokonanie zemsty przyrodzie” /Tamże, s. 45/. „Błędne
kalkulacje i niedopatrzenia, których dopuścił się Napoleon, wypływały z jego
hybris, nie liczącej się z prawami natury i pragnącej je przekroczyć” /Tamże,
s. 46/. „Wszystko tonęło w bezkresnej przestrzeni. Tak giną wielkie
przedsięwzięcia własnym przygniecione ciężarem! Chcąc się wznieść ponad
czas, klimat i przestrzeń, ludzką przekroczywszy miarę, geniusz Napoleona
zbłądził w przestworzach i, jakkolwiek wielki, w końcu uległ” (tamże, s. 256).
„Lud rosyjski w istocie okazał się nieobliczalnym żywiołem, co do którego
zawiodły wszystkie rachuby genialnego stratega.” /Tamże, s. 47.
+ Rachunek abstrakcyjny pojęciem podstawowym jednego z dwóch wielkich
nurtów myśli. Ten obraz rzeczywistości przedstawia logikę jej podłoża tak,
jakby rządziła czymś raczej dyskretnym niż ciągłym. „Czy Wszechświat jest
komputerem? / Wrogość niech będzie między wami! Za wcześnie na
przymierze. Szukajcie wzdłuż osobnych ścieżek, bo właśnie tak prawda
wychodzi na jaw (Fryderyk Schiller) / W nauce współczesnej istnieją dwa
2
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
wielkie nurty myślowe, które po tym, jak długo biegły równolegle, zaczęły
podążać zbieżnymi korytami, co zdaje się obiecywać ich przyszłe spotkanie.
Warunki tego spotkania określą, który z nich będzie później na zawsze postrzegany jako jedynie dopływ drugiego. Z jednej strony mamy wiarę fizyków
w nacechowane symetrią „prawa przyrody”, wiarę, że są one najbardziej
fundamentalną osnową logiki Wszechświata. Symetrie te zakorzenione są w
obrazie przestrzeni i czasu jako niepodzielnych obiektów kontinuum. Z
drugiej strony mamy pewien obraz, w którym najbardziej podstawowym
pojęciem jest raczej abstrakcyjny rachunek niż symetria. Ten obraz
rzeczywistości przedstawia logikę jej podłoża tak, jakby rządziła czymś raczej
dyskretnym niż ciągłym. Wielką zagadką do rozwiązania w przyszłości jest
pytanie, co jest bardziej podstawowe: symetria czy rachunek. Czy
Wszechświat jest kosmicznym kalejdoskopem czy kosmicznym komputerem,
wzorem czy programem? Lub ani jednym, ani drugim? Wybór wymaga,
byśmy wiedzieli, czy prawa fizyki nakładają ograniczenia na ostateczne
możliwości abstrakcyjnego rachunku. Czy ograniczają one jego szybkość i
zasięg? A może reguły rządzące procesem liczenia kontrolują to, jakie prawa
przyrody są możliwe? / Zanim rozważymy to, jak mało możemy powiedzieć
na temat tego wyboru, dobrze jest mieć się na baczności w związku z samym
wyborem. Przez całą historię ludzkiej myśli istniały dominujące paradygmaty
Wszechświata. Te umysłowe obrazy często mało mówią o Wszechświecie, za
to dużo o społeczności, która zaangażowana była w jego badanie. Dla tych
wczesnych Greków, którzy rozwinęli teleologiczne spojrzenie na świat w
efekcie pierwszych systematycznych badań istot żywych, świat był wielkim
organizmem. Dla innych, którzy utrzymywali, że geometria powinna być
ceniona ponad wszystkie kategorie myślenia, Wszechświat był geometryczną
harmonią doskonałych kształtów. Później, w czasach, gdy zbudowano
pierwsze mechanizmy zegarowe i wahadłowe, władzę dzierżył obraz
postnewtonowskiego Wszechświata jako mechanizmu, wysyłając tysiąc
okrętów apologetyki na poszukiwanie kosmicznego Zegarmistrza” /J. D.
Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia
(Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, Oxford University
Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T. Placek, Wydawnictwo Znak,
Kraków 1995, s. 264/. „Dla ludzi z okresu rewolucji przemysłowej epoki
wiktoriańskiej dominujący był paradygmat maszyny cieplnej oraz fizycznych
i filozoficznych zagadnień, jakie w związku z nią powstają odnośnie do praw
termodynamiki. Problem ostatecznego losu Wszechświata nosi piętno takiej
epoki maszyn. Podobnie być może dziś obraz Wszechświata jako komputera
jest po prostu ostatnim przewidywalnym rozszerzeniem naszych nawyków
myślowych. Jutro może być jakiś nowy paradygmat. Co nim będzie? Czy
istnieje jakieś głębokie i proste pojęcie, które kryje się za logiką w taki sam
sposób, w jaki logika kryje się za matematyką i rachunkiem? /Tamże, s. 265.
+ Rachunek bez zmiennych związanych dopuszczającego indukcję tylko
względem wyrażeń bezkwantyfikatorowych wystarczy dla zbudowania prawie
całej arytmetyki, Skolem T. „Główne zasady finityzmu można sprowadzić do
następujących postulatów: (a) przedmiotem matematyki są tylko konkretnie
(skończenie) dane struktury (prototypami skończenie danych obiektów
matematycznych są liczby naturalne); (b) operacje na takich strukturach
muszą mieć charakter kombinatoryczny, a więc muszą być efektywne; (c)
3
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
pojęcia abstrakcyjne, takie jak pojęcie dowolnego zbioru, operacji czy
konstrukcji, nie są uprawnione w matematyce (finitystycznej). Za twórcę i
pierwszego przedstawiciela finityzmu uznać należy Leopolda Kroneckera (por.
uwagi na temat źródeł intuicjonizmu w § 1). Istotny wkład do rozwoju
matematyki finitystycznej wniósł Thoralf Skolem (1887-1963). W pracy z
roku 1923 pokazał on mianowicie, że spory fragment arytmetyki może być
zbudowany w ramach rachunku bez zmiennych związanych dopuszczającego
indukcję tylko względem wyrażeń bezkwantyfikatorowych. W roku 1941
Haskell B. Curry (1900-1982) i niezależnie Reuben L. Goodstein (1912-1985)
zbudowali czysto równościowy system PRA arytmetyki pierwotnie
rekurencyjnej (nazywanej też dziś arytmetyką Skolema), w której można
sformalizować idee Skolema. Goodstein rozszerzył (w swych książkach z 1957
i 1961 roku) wyniki Skolema pokazując m. in., jak można zbudować
fragmenty analizy za pomocą metod finitystycznych. Ostatnio (1981) W. W.
Tait sformułował tezę, że system PRA jest systemem, który adekwatnie
formalizuje wszystkie metody finitystyczne. Matematyka finitystyczna jest
całkowicie konstruktywna i stanowi część matematyki intuicjonistycznej. Z
drugiej strony jednak, matematyka intuicjonistyczna wykracza poza ramy
nakładane przez finityzm. Dodajmy, że koncepcje finitystyczne odgrywały też
ważną rolę w Hilberta programie ugruntowania i usprawiedliwienia
matematyki klasycznej (por. rozdział następny, Formalizm). Nie oznacza to
jednak, że Hilbert był finitystą! W ostatnich latach finitystyczny system
arytmetyki pierwotnie rekurencyjnej PRA jest intensywnie używany w tzw.
matematyce odwrotnej (ang. reverse mathematics), o której powiemy
dokładniej w rozdziale poświęconym formalizmowi. Stosuje się go tam w
pewnych badaniach metamatematycznych pokazujących, iż spore fragmenty
matematyki mogą być ugruntowane finitystycznie” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
113.
+ Rachunek całkowy Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716). „Urodził się w
Lipsku. Obdarzony umysłem wyjątkowo wcześnie dojrzałym. W wieku
piętnastu lat wstąpił na uniwersytet, gdzie studiował prawo, matematykę i
filozofię, w wieku lat dwudziestu został doktorem praw. Zaproponowano mu
wtedy objęcie katedry uniwersyteckiej. Odrzucił jednak tę propozycję, a i
potem przez całe życie nie trudnił się pracą akademicką. Rozpoczął
natomiast pracę w służbie elektora Moguncji i w ten sposób dostał się w wir
wielkiej polityki europejskiej. Po śmierci elektora w 1676 r. osiadł w Hanowerze jako radca dworu i bibliotekarz. Na stanowisku tym pozostał aż do
śmierci, czyli przez lat czterdzieści. Dużo czasu spędzał jednak w podróżach
naukowych i politycznych (biorąc na przykład udział w wielu rokowaniach
politycznych). Jako umysł niezwykle wszechstronny, był twórczo czynny w
bardzo wielu dziedzinach. W zakres jego dociekań naukowych wchodziły:
matematyka (w szczególności niezależnie od Newtona stworzył rachunek różniczkowy i całkowy), przyrodoznawstwo (zwłaszcza mechanika), medycyna,
górnictwo, językoznawstwo, logika, filozofia, teologia (tu interesowały go
zwłaszcza zagadnienie godzenia wyznań i problemat teodycei), a także prawo”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
212.
4
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
+ Rachunek czysty człowieka z Bogiem nie wystarcza, trzeba stać się nowym
człowiekiem. Mistyka hiszpańska wieku XVI przyjmuje jako punkt wyjścia
anihilację swego „ja”, przeciwnie do hasła głoszonego przez renesans: „poznaj
samego siebie”. Człowiek rezygnuje z poznania siebie całkowicie. Dokonuje
się to przez oczyszczenie aktywne i bierne zmysłów, które doprowadza do
wyzwolenia od własnej nędzy i grzechu. Nie może się to dokonać bez pomocy
sakramentów. Droga prowadzi od poznania siebie jako stworzenia Bożego,
który stał się grzesznikiem, do zmartwychwstania, przebywania w spoczynku
Boga M. Andrés, La teología en el siglo XVI (1470-1580), w: Historia de la
Teología Española, t. 1: Desde sus orígenes hasta fines del siglo XVI, M.
Andrés Martinez (red.), Fundación Universitaria Española: Seminario
Suarez, Madrid 1983 s. 579-735 (r. VII), s. 657. Nie wystarcza czyste konto w
rachunku z Bogiem, trzeba stać się nowym człowiekiem. Poznanie samego
siebie oznacza poznanie siebie jako obrazu Bożego, w którym mieszka Bóg.
Ten obraz Boży w człowieku trzeba oczyścić, rozjaśnić i udoskonalić.
Modlitwa unicestwienia prowadzi do nocy ciemnej. Owocem jest radość
czystego poznania Boga w swoim wnętrzu i odczuwanie, że On mnie poznaje i
kocha. Typowa jest antyteza wszystko-nic św. Jana od Krzyża. Kwietyści
unicestwienie chcieli uzyskać poprzez całkowitą bierność. Człowiek, który nic
nie czyni jest niczym. Wtedy wszystko czyni Bóg. Pod koniec wieku XVII
kontynuowali oni to, co zaczęli alumbrados w roku 1525. Ważniejsze jednak
od poznania samego siebie jest poznanie misteriów Chrystusa, aby je
naśladować. Medytacja pasji stanowi drugi krok, drugi czas mocny w
modlitwie myślnej. Jedynie alumbrados w królestwie Toledo uważali
medytowanie pasji za błąd. Tamże, s. 659.
+ Rachunek komputerowy nie może być prześledzony w całości z racji
szybkości procedur obliczeniowych. „Niektórzy filozofowie skłonni są
maksymalizować znaczenie techniki komputerowej i nieświadomie
nadawać jej sens, w myśl koncepcji Boltera, „technologii definiującej”. W
spekulacjach doby nowożytnej, zafascynowanej mechanicyzmem, Bóg
postrzegany bywał jako „zegarmistrz” tego świata. Dzisiaj staje się –
niekiedy – ”genialnym programistą”, a świat gigantycznym komputerem.”
/E. Piotrkowska, D. Sobczyńska, Przedmowa, w: Między matematyką a
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 7-16, s. 10/. W codziennej pracy naukowej
stosowanie komputerów przyniosło z pewnością rewolucję i
przyspieszenie tempa pracy, które mają odpowiednika w historii nauki.
Jednakże, a może właśnie dlatego, i ta dziedzina nie jest wolna od
problemów natury filozoficznej. Wynikają one, na przykład, z
„zapośredniczonego”, a nie bezpośredniego obcowania z przyrodą; z
tego, że badacz, z racji szybkości procedur obliczeniowych nie może
prześledzić całości rachunku; z tego wreszcie, że obliczenia
komputerowe nie dokładne w jakimś „absolutnym” sensie, lecz zawsze
przybliżone stosownie do poziomu rozwoju technicznego narzędzi.
Zastosowanie komputerów przynosi wszakże korzyści i możliwości
warte analizy epistemologów i filozofów nauki. Nowoczesne techniki
graficzne dają niebywałe możliwości wizualizowania obiektów lub ich
modeli, zarówno w dziedzinie bytów przyrodniczych, jak i
5
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
matematycznych. Można zatem na ekranie komputera obejrzeć z
każdej strony i modele cząsteczek chemicznych, i charakterystyki
światów
wirtualnych,
i
przebiegi
skomplikowanych
funkcji
matematycznych. Zwłaszcza ten ostatni przykład wydaje się
niepokojący. Czy przedmioty badań matematycznych stają się
„komputerowo uchwytne”, czy się „urealniają”? Czyżby Platon miał
jednak rację?” Tamże, s. 11.
+ Rachunek logiczny nie wyczerpuje możliwości twórczych dowodu
matematycznego, gdyż on sam jest regułą konstrukcji nowego pojęcia.
„Wittgenstein występował zdecydowanie przeciw logicyzmowi, w szczególności
przeciw Russella próbom zredukowania arytmetyki do logiki. Uważał, że gubi
się w nich twórczy charakter dowodu matematycznego i wielość technik jego
przeprowadzania. Dowód matematyczny nie jest redukowalny do aksjomatów
i reguł wnioskowania rachunku logicznego, gdyż sam jest regułą konstrukcji
nowego pojęcia /por. L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of
Mathematics, Basil Blackwell, Oxford 1956, II. 41, s. 82/. Logicyzm
przypisuje logice funkcję podstawową w matematyce, podczas gdy w rzeczywistości pełni ona rolę tylko pomocniczą. Mówi więc tu Wittgenstein o „zgubnym
wtargnięciu logiki na teren matematyki”. Podkreśla jednocześnie swoistość i
niezależność poznania matematycznego w stosunku do logiki, uważa też, że
twierdzenia matematyki mają charakter sądów apriorycznych, są syntetyczne
i konstruktywistyczne. Dostrzegamy tu więc wyraźną zbieżność z
koncepcjami Kanta i Brouwera” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 141/. „Podobnie
jak Kant, podkreśla też Wittgenstein cechę konieczności właściwą poznaniu
matematycznemu. Pisze: „Matematyczna konieczność jest tylko innym
wyrażeniem tego, że matematyka tworzy pojęcia” (Remarks, V. 46, s. 194).
Matematyk więc tworzy w szczególności liczby i ich ciągi, a nie odkrywa je.
W przeciwieństwie do Kanta jednak, Wittgenstein sądzi, że niesprzeczność
nie jest a priori niezbędnym warunkiem sensowności konstrukcji pojęciowej.
Podważa też, podobnie jak Brouwer, zasadność stosowania zasady
wyłączonego środka do twierdzeń dotyczących nieuporządkowanych zbiorów
nieskończonych. Wittgenstein kładzie duży nacisk na spontaniczność
twórczości matematyka i na wielość operacji stwarzających formy naszych
„gier językowych”. Widzimy więc, że poglądy Wittgensteina na matematykę
mają w dużej mierze charakter kantowski i są pod wieloma względami
zbieżne z koncepcjami intuicjonistów, zwłaszcza Brouwera. Nie oznacza to
oczywiście, że jego na wskroś oryginalne ujęcie matematyki można
jednoznacznie zaklasyfikować” /Tamże, s. 142.
+ Rachunek logiczny Reguły wnioskowania rachunku logicznego nie
zastępują dowodu matematycznego. „Wittgenstein występował zdecydowanie
przeciw logicyzmowi, w szczególności przeciw Russella próbom zredukowania
arytmetyki do logiki. Uważał, że gubi się w nich twórczy charakter dowodu
matematycznego i wielość technik jego przeprowadzania. Dowód
matematyczny nie jest redukowalny do aksjomatów i reguł wnioskowania
rachunku logicznego, gdyż sam jest regułą konstrukcji nowego pojęcia (por.
Remarks, II. 41, s. 82). Logicyzm przypisuje logice funkcję podstawową w
matematyce, podczas gdy w rzeczywistości pełni ona rolę tylko pomocniczą.
Mówi więc tu Wittgenstein o „zgubnym wtargnięciu logiki na teren
6
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
matematyki”. Podkreśla jednocześnie swoistość i niezależność poznania
matematycznego w stosunku do logiki, uważa też, że twierdzenia matematyki
mają charakter sądów apriorycznych, są syntetyczne i konstruktywistyczne.
Dostrzegamy tu więc wyraźną zbieżność z koncepcjami Kanta i Brouwera”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
141/. „Podobnie jak Kant, podkreśla też Wittgenstein cechę konieczności
właściwą poznaniu matematycznemu. Pisze: „Matematyczna konieczność jest
tylko innym wyrażeniem tego, że matematyka tworzy pojęcia” (Remarks, V.
46, s. 194). Matematyk więc tworzy w szczególności liczby i ich ciągi, a nie
odkrywa je. W przeciwieństwie do Kanta jednak, Wittgenstein sądzi, że
niesprzeczność nie jest a priori niezbędnym warunkiem sensowności
konstrukcji pojęciowej. Podważa też, podobnie jak Brouwer, zasadność
stosowania zasady wyłączonego środka do twierdzeń dotyczących
nieuporządkowanych zbiorów nieskończonych. Wittgenstein kładzie duży
nacisk na spontaniczność twórczości matematyka i na wielość operacji
stwarzających formy naszych „gier językowych”. Widzimy więc, że poglądy
Wittgensteina na matematykę mają w dużej mierze charakter kantowski i są
pod wieloma względami zbieżne z koncepcjami intuicjonistów, zwłaszcza
Brouwera. Nie oznacza to oczywiście – jak pisaliśmy już wyżej – że jego na
wskroś oryginalne ujęcie matematyki można jednoznacznie zaklasyfikować”
/Tamże, s. 142.
+ Rachunek logiczny uniwersalny utworzył Leibniz. „Leibniz był również
twórcą postulatu traktowania logiki w sposób matematyczny. Wiąże się to z
jego drugą zasługą na polu filozofii matematyki, a mianowicie z ideą
stworzenia uniwersalnego rachunku logicznego (zwróćmy uwagę na związek
tego pomysłu z Kartezjusza ideą zbudowania uniwersalnej nauki
analitycznej i matematycznej – por. rozdział 7). Rozległe zainteresowania
naukowe Leibniza łączyły się u niego z wyraźnym racjonalizmem i troską o
ścisłość i pewność wiedzy. To doprowadziło go w końcu do ogólnej teorii
języka logicznego. Otóż „już od dzieciństwa obeznany z logiką, oczarowany
był ideą (pochodzącą od Rajmunda Lullusa) metody, która by sprowadzała
wszystkie pojęcia ludzkie do pojęć pierwotnych, stanowiąc pewien «alfabet
myśli ludzkich», i tworzyła znów ich kombinacje sposobem niejako
mechanicznym, w celu otrzymania wszystkich zdań prawdziwych” (N.
Bourbaki, Elementy historii matematyki, ss. 13-14; por. G. W. Leibniz,
Philosophische Schriften, t. 7, s. 185). Marzenia te wykrystalizowały się
ostatecznie w projekcie uniwersalnego i ścisłego języka graficznego,
nazywanego przezeń characteristica universalis” /R. Murawski, Filozofia
matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.
48/. Uniwersalność tego języka miała być dwojaka: miał służyć do wyrażania
wszystkich pojęć nauki, a jednocześnie do porozumiewania się ludzi różnych
narodowości. Projektowany system znaków miał spełniać następujące
warunki: 1. Musi istnieć wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie
pomiędzy znakami systemu (jeżeli nie są one znakami miejsc pustych) a
myślą (w szerokim tego słowa znaczeniu). 2. Znaki muszą być tak dobrane,
by w przypadku, gdy jakaś myśl może zostać rozłożona na części składowe,
„obrazy” tych części składowych same były z kolei częściami składowymi odwzorowania danej myśli przez odpowiednie znaki. 3. Należy obmyślić taki
system operowania znakami, aby w przypadku, gdy jakaś myśl M, znajduje
7
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
się w stosunku racja-następstwo do myśli M2, również „obraz” M2 mógł być
interpretowany jako następstwo „obrazu” M 1 ” /Tamże, s. 49.
+ Rachunek logiczny z ustalonymi regułami tworzy język sformalizowany
określany terminem logika. „Otóż, za Russellem, credo logicyzmu sprowadzić
możemy do koniunkcji trzech następujących tez: (1) wszystkie pojęcia
matematyczne (w szczególności więc wszystkie pojęcia pierwotne teorii
matematycznych) można zdefiniować explicite za pomocą pojęć czysto
logicznych; (2) wszystkie twierdzenia matematyki można wyprowadzić (za
pomocą dedukcji logicznej) z aksjomatów i definicji logicznych” /R. Murawski,
Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa
1995, s. 88/; (3) dedukcja ta opiera się na logice wspólnej dla wszystkich
teorii matematycznych, czyli uzasadnianie twierdzeń w poszczególnych
teoriach matematycznych odbywa się przy odwołaniu się do tych samych
podstawowych zasad tworzących jedną dla całej matematyki logikę (zawarta
jest tu więc w szczególności teza, że wszelkie argumentacje w matematyce
mogą być sformalizowane). Takie sformułowanie jest niestety niejasne. Przede
wszystkim niejasny jest tu sam termin „logika”. Można go rozumieć co
najmniej na trzy sposoby: (a) jako nazwę pewnej nauki, (b) jako nazwę
pewnego języka sformalizowanego, na którego terenie ustalone są reguły
rachunku logicznego, (c) jako nazwę pewnego systemu lub rachunku
logicznego. Wydaje się, że dla właściwego rozumienia logicyzmu najodpowiedniejszy jest sens (c) słowa „logika”. Z podanych wyżej tez logicyzmu wynika, że
twierdzenia matematyki posiadają jednoznacznie określoną treść, i to treść
logiczną. Dalej, wynika z nich, że twierdzenia matematyki – podobnie jak
twierdzenia logiki – są prawdami analitycznymi (co jest oczywiście
przeciwstawieniem się poglądom Kanta)” /Tamże, s. 89.
+ Rachunek macierzowy Mechanika macierzowa podstawą teorii kwantowej.
„W roku 1925 Born, Jordan i Heisenberg sformułowali podstawy teorii
kwantowej, którą nazwano mechaniką macierzową. Jednak macierze były
zupełnie nieznane większości matematyków i fizyków, dlatego też
stosunkowo niewielu z nich zrozumiało znaczenie nowej propozycji.
Następny zasadniczy krok w konstruowaniu matematycznej struktury
mechaniki kwantowej zrobił Paul Dirac „Gdy Dirac przebrnął przez
równania, natychmiast docenił f u n d a m e n t a l n e znaczenie prostego
faktu, że a x b b x a. W odróżnieniu od Heisenberga Dirac poznał
uprzednio obiekty matematyczne zachowujące się w ten sposób, dzięki
czemu w ciągu kilku tygodni mógł doprowadzić równania Heisenberga
do postaci, którą odkrył sto lat wcześniej William Hamilton i rozwinął
na użytek obliczeń orbit w układach, w których, podobnie jak w Układzie
Słonecznym, istnieje wiele wzajemnie oddziałujących planet. Do wielkich
paradoksów nauki należy fakt, że równania Hamiltona okazały się
użyteczne w nowej teorii kwantowej, która całkowicie odrzuciła
koncepcję orbit elektronowych” /J. Gribbin, W poszukiwaniu kota
Schrödingera, Poznań 1997, s. 106/. Przy kształtowaniu się formalizmu
matematycznego teorii kwantowej pojawiła się więc sytuacja podobna do
wspomnianych
wcześniej
poszukiwań
odpowiedniej
formuły
matematycznej na opisanie reguł symetrii wewnętrznej w teorii cząstek
elementarnych. Fizycy szukają rozwiązań, nie wiedząc, że matematycy,
zupełnie nie myśląc o fizyce, stworzyli formalizm nieoczekiwanie nadzwyczaj
8
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
przydatny. Taki stan rzeczy nie jest odosobniony w rozwoju
przyrodoznawstwa” /A. Szczuciński, Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 137-157, s. 149.
+ Rachunek macierzowy Moment pędu cząsteczki elementarnej wyrażony
za pomocą macierzy. „Kiedy Born, Jordan i Heisenberg zaproponowali
zastąpienie zmiennych położenia i momentów pędu w mechanice
kwantowej przez macierze i zastosowali ten sposób opisu do kilku
wyidealizowanych sytuacji, nikt nie sądził, że mechanika macierzowa może
poprawnie opisywać warunki bliskie rzeczywistości kwantowej.
Wspomniany przez Wignera „cud” pojawił się wówczas, gdy mechanikę
macierzową zastosowano do problemów fizycznych, dla których reguły
rachunkowe Heisenberga wydawały się bezsensowne” /A. Szczuciński,
Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem,
red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama
Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań
1999, 137-157, s. 154/. „Reguły te zakładały, że klasyczne równania ruchu
posiadają rozwiązania z pewnymi cechami okresowości; zaś równania
ruchu dwóch elektronów atomu helu lub większej liczby elektronów jakiegoś cięższego atomu po prostu nie posiadają tych własności, a więc
reguły Heisenberga nie mogą być stosowane w tych przypadkach.
Niemniej jednak, obliczenie najwyższego poziomu energetycznego dla
helu, przeprowadzone kilka miesięcy temu przez Konishita w Cornell i
przez Bazleya w Biurze Wzorców zgadza się z danymi doświadczalnymi w
granicach
dokładności
obserwacji,
która
wynosi
jedną
dziesięciomilionową. Z pewnością w tym przypadku „wydobyliśmy” z
równań coś, czego w nie nie włożyliśmy /E. P. Wigner, Niepojęta
skuteczność matematyki, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XIII, 1991, 5-18,
s. 13-14).
+ Rachunek macierzy i operatorów narzędziem matematyki. „W latach
1925-27 powstała druga wielka teoria naszego stulecia – mechanika
kwantowa (W. Heisenberg i E. Schrödinger). Główne jej narzędzia
matematyczne to rachunek macierzy i operatorów. Elementarny obiekt
to cząstka elementarna, mająca własności falowe. Położeniu jej (i
innym jej wielkościom) przyporządkowane jest prawdopodobieństwo
mierzone kwadratem funkcji falowej, co stwierdza równanie
Schrödingera – podstawowe prawo mechaniki kwantowej. Teoria ta
wykorzystuje nieskończenie-wielowymiarową fazową przestrzeń Hilberta.
W następnych dekadach naszego stulecia fizycy tworzyli jeszcze
bardziej skomplikowane matematycznie teorie. Konstruuje się coraz
bardziej abstrakcyjne modele idealne. Wykorzystuje się rozmaite
wielowymiarowe przestrzenie czy hiperprzestrzenie, jak 5-wymiarowa
przestrzeń Kaluzy-Kleina, a dziś już 10-wy-miarowa czy nawet 26wymiarowa przestrzeń stosowana w teorii superstrun. I mają to być nie
abstrakcyjne przestrzenie fazowe, lecz realne geometryczne przestrzenie
naszego świata. Matematyzacja fizyki wciąż postępuje. Fizycy-teoretycy
mają do czynienia z matematycznymi modelami, coraz dalszymi od
danych doświadczalnych, coraz bardziej abstrakcyjnymi i wyra9
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
finowanymi. Fenomenaliści i fenomenologowie muszą być zrozpaczeni.
Przestali zresztą wypowiadać się na temat współczesnej fizyki.
Natomiast coraz częściej spotykamy jej interpretacje w duchu
platonizmu” /W. Krajewski, Platońskie inspiracje a platonizm. O problemach
filozoficznych matematyzacji nowożytnej nauki, w: Między matematyką a
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 97-109, s. 103.
+ Rachunek nadający się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów
naukowych tworzony przez Leibniza G. W., urzeczywistnił się w logicyzmie
wieku XX. „Logicyzmem nazywa się kierunek w filozofii matematyki, którego
naczelna teza głosi, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki, czyli –
innymi słowy – że matematyka jest jedynie częścią logiki. Twórcą logicyzmu
był Gottlob Frege (1848-1925), czołowym zaś jego przedstawicielem Bertrand
Russell (1872-1970). Źródła historyczne logicyzmu były wielorakie. Tkwiły
one i w wielkiej tradycji filozoficznej, i w pewnych procesach rozwojowych
samej matematyki. Logicyści nawiązywali do myśli Platona, Arystotelesa i
Euklidesa – zwłaszcza jeśli chodzi o metodę aksjomatyczną. Odwoływali się też
do idei J. Locke’a i G. W. Leibniza – genezy logicyzmu szukać należy bowiem m.
in. w filozoficznej kontrowersji między racjonalizmem a empiryzmem
dotyczącej charakteru sądów matematycznych. Logicyzm nawiązał do poglądu
Locke’a i Leibniza, że sądy matematyczne mają charakter tautologiczny.
Odwoływał się też do poglądu Leibniza o możliwości zalgorytmizowania
wnioskowań matematycznych (i w ogóle wnioskowań naukowych). Rozwój
logicyzmu nie byłby jednak możliwy bez stworzenia w drugiej połowie XIX
wieku nowoczesnej logiki matematycznej, która była w jakimś stopniu
urzeczywistnieniem Leibnizowskiej idei characteristica universalis – rachunku
nadającego się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów naukowych”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 83.
+ Rachunek nazw Sylogistyka Arystotelesa „Sylogistyce Arystotelesa
rozumianej jako rachunek nazw stawiano zarzut ograniczoności i
nieadekwatności jako narzędzia logicznego do formalizacji argumentacji
matematycznej.
Podobnie
jak
w
geometrii
diagramatyczna
wykładnia zastąpiona została przez algebraiczną, tak i w logice
wykładnia ‘analityczna’ zastąpiona została przez formalną i
symboliczną. Dla jej rzeczników sam podział sylogizmów na figury nie
ma już znaczenia (Łukasiewicz). Współczesna matematyka i logika odeszła
od typowej dla mentalności helleńskiej wyobraźni i naoczności w
abstrakcyjny „paradygmat logiczno-teoriomnogościowy” /zob. T. Batóg,
Dwa paradygmaty matematyki. Studium z dziejów i filozofii matematyki,
Poznań 1996/. Oddzielną kwestią w tym wszystkim jest ewolucja
greckiego pojęcia analizy. Wspomnijmy tylko, że renesansowy przekład
na łacinę dzieła Papposa, pt. Mathematicae Collectiones, dokonany
przez Federico Commandino, ukazał się w Wenecji w 1589 roku” /M.
Wesoły, Analiza w greckiej geometrii i analityce Arystotelesa, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 19-40, s. 38/. „Odtąd wpływ
10
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
tego przekładu na filozofów nowożytnych był znaczący, w
szczególności na Galileusza (1564-1642), Kartezjusza (1596-1650) i
Newtona (1642-1727). Znali oni w tej wersji analizę i syntezę jako
resolutio i compositio. Wraz z Leibnizem (1646-1714) i Kantem (17241804) aż po neopozytywizm sens tych pojęć uległ jednak przemianie i
zawężeniu do sądów czy zdań, i po zakwestionowaniu Quina (1950)
cała kwestia ich analityczności i syntetyczności do dzisiaj pozostaje
nierozstrzygnięta. To już jednak inna historia. / Postscriptum / Po
napisaniu powyższego artykułu uzyskałem wydaną niedawno książkę: P.H. Byrnc, Analysis and Science m Aristotle, State University of New York
1997. Stanowi ona nowatorską wykładnię analityki Arystotelesa, która
całkowicie potwierdza moje dotychczasowe próby jej interpretacji z
nawiązaniem do analizy stosowanej w greckiej geometrii. Jednakże w
kwestii samej rekonstrukcji figur sylogistycznych nie odnajduję w tej
pracy takiego ujęcia, które wydaje mi się zgodne z tekstem Analityk i
zasadne merytorycznie” Tamże, s. 39.
+ Rachunek otwarty przychodu i rozchodu prowadzili z Pawłem Filipianie.
„Wy, Filipianie, wiecie przecież, że na początku [głoszenia] Ewangelii, gdy
opuściłem Macedonię, żaden z Kościołów poza wami jednymi nie prowadził ze
mną otwartego rachunku przychodu i rozchodu, bo do Tesaloniki nawet raz i
drugi przysłaliście na moje potrzeby. Mówię zaś to bynajmniej nie dlatego, że
pragnę daru, lecz pragnę owocu, który wzrasta na wasze dobro. Stwierdzam,
że wszystko mam, i to w obfitości: jestem w całej pełni zaopatrzony,
otrzymawszy przez Epafrodyta od was wdzięczną woń, ofiarę przyjemną, miłą
Bogu. A Bóg mój według swego bogactwa zaspokoi wspaniale w Chrystusie
Jezusie każdą waszą potrzebę. Bogu zaś i Ojcu naszemu chwała na wieki
wieków! Amen. Pozdrówcie każdego świętego w Chrystusie Jezusie!
Pozdrawiają was bracia, którzy są ze mną. Pozdrawiają was wszyscy święci,
zwłaszcza ci z domu Cezara. Łaska Pana naszego Jezusa Chrystusa [niech
będzie] z duchem waszym! Amen” (Flp 4, 15-23).
+ Rachunek prawdopodobieństwa „Natrafiamy w literaturze na różne
definicje „przypadkowości”. Przypadkowe, tj. [...] takie, których przebiegu
czy wyniku nie można przewidzieć, [...] na przebieg zjawiska losowego ma
na ogół wpływ wiele przyczyn, z których jedynie część udaje się kontrolować /W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, PZWS, Warszawa 1971, s.
6/. Pojęciem przypadku zajmował się dogłębnie polski fizyk M.
Smoluchowski. Rozgraniczał on wyraźnie potoczne rozumienie
przypadku i różnice pomiędzy przypadkiem w grach hazardowych a
przypadkiem w fizyce. [...] wyrazu przypadek w fizyce nie rozumiemy w
znaczeniu potocznym, które jest równoważne z nieobliczalnym i zupełnie
dowolnym kaprysem, lecz raczej jako pewnego rodzaju prawidłowość,
która daje się sprawdzić doświadczalnie ze stosunkowo coraz większą
dokładnością w miarę wielokrotnego powtarzania się zjawiska /M.
Smoluchowski, Wybór pism filozoficznych, PWN, Warszawa 1956, s. 293/.
Zjawisko przypadkowe definiuje on jako takie, w którym rozkład
przyczyny nie wpływa na rozkład skutków i wydaje się, jak gdyby to były
zjawiska niezależne /Tamże, s. 294/. „Wydaje się”, bo przecież zarówno
chaotyczne ruchy uderzanych cząsteczek cieczy, jak i obijanie się monet
w podrzucanym woreczku, nie są zjawiskami bezprzyczynowymi i
11
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
wynikają odpowiednio z parametrów poszczególnych cząsteczek i
działania człowieka, potrząsającego woreczkiem. Nawet w tym drugim
wypadku zjawisko jeszcze bardziej odpowiada pojęciu przypadku, gdyż
przyczyną jest tutaj człowiek, który posiada „wielki obręb przypadkowej
zmienności” /Tamże, s. 295/. Jego potrząsanie woreczkiem (tasowanie
kart, rzucanie kostką, wyrzucanie piłeczek itd.) jest źródłem bardziej
różnorodnych możliwości niż ruch cząsteczek gazu w naczyniu” /H.
Korpikiewicz, Statystyka – przypadek – synchroniczność, w: Między matematyką a
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 222/. „Człowiek może bowiem potrząsać
woreczkiem w dowolnej pozycji początkowej, rękoma lub maszyną,
zrzucać go np. z samolotu, puszczać z biegiem strumienia itd. Rozkład
skutków wydaje się być niezależny od złożonej przyczyny. Dlatego
właśnie rozkład skutków w grach hazardowych, przy dużych ciągach
zdarzeń,
zgadza
się
z
przewidywaniami
rachunku
prawdopodobieństwa,
wprowadzonego
przecież
dla
zjawisk
przypadkowych. Smoluchowski jednak przypuszczał, że dla mechaniki
statystycznej metoda ta nie będzie ścisła i trudno mu odmówić
słuszności. Powiedziałabym, że zjawiska termodynamiki są mniej
przypadkowe niż zjawiska gier” Tamże, s. 223.
+
Rachunek
prawdopodobieństwa
nie
jest
podstawą
praw
termodynamiki. „Prawo Gaussa jest opisem braku uporządkowania,
który ma być właściwy układom termodynamicznym w równowadze.
Powstaje problem, dyskutowany przez fizyków od czasów Laplace’a po
dziś dzień, czy termodynamikę można zredukować do mechaniki
statystycznej?
Odpowiedź
twierdząca
oznaczałaby,
że
można
wyprowadzić nieodwracalne prawa termodynamiki z praw rachunku
prawdopodobieństwa i mechaniki, a to się jak dotąd nie udało. Czym
więc w takiej sytuacji tłumaczyć, że mechanika statystyczna w
zadowalający sposób opisuje obserwowane zjawiska? Opiera się przecież
na prawach matematyki, nie nawiązując w żaden sposób do parametrów układu cząsteczek. Opis jednak, nawet jeśli z grubsza
przewiduje stany przyszłe, nie musi dawać prawdziwej informacji o
układzie. Czy należałoby założyć, że uzyskiwana informacja jest
p r z y p a d k o w o zgodna z rzeczywistością? Czy może prawa rachunku
prawdopodobieństwa są w jakiś głębszy, a nieznany nam jeszcze
sposób związane z prawami Przyrody? Może zjawiska mechaniczne
zacierają różnorodność układu, doprowadzając w każdym przypadku
do podobnego rozkładu (jak wstrząsanie woreczkiem zaciera
kolejność włożonych do niego monet lub tasowanie talii kart)? Jeśli
tak by było w istocie, to „zacieranie informacji” przy pomocy pewnych
założeń,
przy
przejściu
od
opisu
mechanicznego
do
termodynamicznego (jak w próbach wyprowadzenia równania
Boltzmanna z równania Liouville’a) byłoby tylko naśladowaniem
zacierania informacji przez Naturę?” /H. Korpikiewicz, Statystyka przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red.
nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w
Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233,
12
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
s. 220/. „Jakkolwiek zostałby rozstrzygnięty ten problem, czujemy intuicyjnie, że odpowiedź na pytanie o i s t o t ę r z e c z y nie może być
odpowiedzią statystyczną. Statystyka wskazywać może zaledwie stany
przeciętne i najbardziej praw do p o d o b n e . O ile prawdziwa
byłaby druga możliwość, należałoby ją udowodnić i z ogólniejszych
praw Przyrody wyprowadzić naszą wiedzę o istocie Natury” Tamże, s.
221.
+ Rachunek prawdopodobieństwa odrzucone w intuicji. „Intuicja (łac.
intuitus przyglądanie się), najogólniej akt bezpośredniego poznania
przeciwstawiany dyskursowi, czasem też rozwiązanie problemu lub podjęcie
decyzji pod wpływem nie do końca uświadomionych i określonych
czynników. Uznanie podstawowej lub też wyłącznej roli intuicji w poznaniu
owocuje różnymi formami intuicjonizmu. Termin intuicja został użyty po raz
pierwszy przez Wilhelma z Moerbeke w jego łacińskim przekładzie pisma
Proklosa Peri pronoias dla oddania greckiej nazwy epibole, stosowanej w
epikureizmie na określenie nagłego ujęcia (athroa epibole), które od czasów
Filona z Aleksandrii odróżniano (początkowo w platonizmie) od poznania
dyskursywnego. W psychologii intuicja to nagłe i całościowe (nieanalityczne)
ujęcie poznawcze rzeczywistości, rozwiązanie problemu lub podjęcie decyzji
pod wpływem trudnych do uświadomienia i nazwania czynników.
Podstawowe znaczenie terminu intuicja odnosi się do tzw. intuicji twórczej,
pozwalającej wyjść poza dotychczasową wiedzę lub nawykowe zachowania
podmiotu w odróżnieniu od tzw. intuicji statystycznej, polegającej na
wydawaniu
sądów
w
warunkach
niepewności
na
podstawie
zautomatyzowanego stosowania pewnych heurystyk, najczęściej niezgodnych
z zasadami rachunku prawdopodobieństwa i cechującej się brakiem
emocjonalnego zaangażowania w zadanie” K. Kłysiak, Intuicja. I. W
psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL,
Lublin 1997, 402-403, kol. 402.
+ Rachunek prawdopodobieństwa odrzucony w myśleniu irracjonalnym.
Irracjonalizm w psychologii, „rozumiany jest w dwóch znaczeniach: jako
zróżnicowany nurt teoretyczny, podkreślający rolę pozarozumowych
motywów ludzkiego postępowania, oraz jako interpretacja zachowania lub
myślenia wewnętrznie niespójnego lub odchylającego się od normy uznanej
za racjonalną (np. odchylenia od schematu logiki, zasad rachunku
prawdopodobieństwa lub innych modeli skonstruowanych na podstawie
określonej
aksjomatyki
racjonalności
oraz
reguł
wnioskowania
dedukcyjnego). Irracjonalizm teoretyczny zakłada, że: 1) ludzkie zachowanie
sterowane jest przede wszystkim mechanizmami nieświadomymi (np.
biologicznymi popędami według psychoanalizy S. Freuda lub kulturowospołecznymi archetypami według analitycznej psychologii C. G. Junga; 2)
świadomość własnych emocji i preferencji przeżywanych w aktualnej sytuacji
jest ważniejsza od jej intelektualnej analizy (np. niektóre szkoły
psychoterapeutyczne z kręgu humanistycznej psychologii); 3) człowiek jest
źródłem wszelkich norm i zasad, które znajdują uzasadnienie w jego
wolności i samorealizacji (np. niektórzy przedstawiciele egzystencjalnej
psychologii i fenomenologicznej psychologii); 4) człowiek jest przedmiotem
zewnętrznych manipulacji ze strony środowiska społecznego, w którym żyje
(np. niektóre szkoły behawioryzmu)” /A. Biela, Irracjonalizm. III. W
13
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL,
Lublin 1997, 493-494, kol. 493.
+ Rachunek prawdopodobieństwa posługuje się doświadczeniami
myślowymi. „Ścisłego określenia wymaga też pojęcie p r z y p a d k u .
Czym innym jest przypadek w mowie potocznej, czym innym w rachunku prawdopodobieństwa, jeszcze czymś innym w fizyce i filozofii.
Beztroskie używanie tego pojęcia, z milczącym przyjęciem różnych jego
definicji, wprowadza zamęt i nieporozumienia. W rachunku
prawdopodobieństwa posługujemy się najczęściej doświadczeniami
myślowymi: jest to rzucanie kostki, która może spaść na jedną z
sześciu ścian, wyrzucanie monety, która może upaść orłem lub reszką
do góry, wybieranie karty z określonej ich liczby. Zakładamy, że każde
takie jednostkowe zdarzenie ma taką samą szansę zajść, a więc, że są
one r ó w n o p r a w d o podobne. Stąd łatwo obliczyć, że wyrzucenie w
jednym rzucie np. „szóstki” wynosi 1/6, a otrzymanie np. orła – 1/2.
Jest to oczywiście stosunek zdarzeń sprzyjających do wszystkich
możliwych. Mówimy, że jest p r z y p a d k i e m to, czy wypadnie nam
orzeł, czy reszką. Ponieważ każdy z przypadków uznajemy za równie
prawdopodobny, spodziewamy się, że te przypadki pojawiać się będą
mniej więcej z taką samą częstością. Że tak się nie dzieje, nawet w
grach hazardowych, obserwujemy na co dzień; koronnym
przykładem jest tutaj niezwykle mało prawdopodobne zdarzenie, które
miało miejsce w 1936 roku w kasynie w Monte Carlo: kolor czerwony
wyszedł 36 razy pod rząd! A więc informacja, że prawo wielkich liczb
spełnia się przy ogromnej ilości zdarzeń (ciągów obserwacji), nie jest w
codziennym życiu przydatna” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 221/.
Wiadomo każdemu hazardziście, że każde, najmniejsze nawet
nacięcie na kostce czy monecie sprawi, że wszystkie wydarzenia nie
będą równie prawdopodobne. O tym, czego nie można pomijać w
grze, bo byłaby nieuczciwa, często nie pamięta się w zastosowaniach
teorii prawdopodobieństwa. Można z pewnym przybliżeniem założyć,
że wyrzucane w totolotku piłeczki są identyczne i także, że
identyczne są cząsteczki układów termodynamicznych. Wszystko
jednak wskazuje na to, że przybliżenie będzie coraz gorsze, w miarę
jak będziemy przechodzić do układów o coraz większej złożoności”
Tamże, s. 222.
+ Rachunek prawdopodobieństwa stosowany do zbioru cząsteczek.
„Termodynamika zakładała, że rozkład prędkości cząsteczek układu
znajdującego się w równowadze jest chaotyczny. (W zadanej chwili czasu
położenia cząsteczek są przypadkowe.) Te, które zdarzają się najczęściej,
nazywamy najbardziej prawdopodobnymi. Takimi właśnie okazywały się
średnie prędkości cząsteczek gazu; tych najwolniejszych i o największej
prędkości jest bardzo niewiele. W tej sytuacji jedyną sensowną metodę
widziano
w
potraktowaniu
zbioru
cząsteczek
jako
układu
s t a t y s t y c z n e g o , do którego można zastosować metody rachunku
prawdopodobieństwa. Przekonanie o jedynie ścisłym mechanicznym
14
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
opisie zjawisk panowało do końca XIX wieku, kiedy to coraz większe
zastosowanie znalazła teoria prawdopodobieństwa; wykorzystano ją także w termodynamice. Rachunek prawdopodobieństwa jest teorią
matematyczną zajmującą się prawami, które rządzą zjawiskami
p r z y p a d k o w y mi, czyli inaczej losowymi. Pierwsze teoretyczne prace
powstały w XVIII wieku i dotyczyły gier hazardowych, którymi zainteresowali się matematycy B. Pascal i P. Fermat. Przełomem jednak były
prace A. N. Kołmogorowa, który sformułował aksjomaty teorii; odtąd jest
ona uważana za dział matematyki. Rachunek prawdopodobieństwa
przedstawia dowód twierdzenia, że statystyczne własności układu
zawierającego ogromną ilość elementów podlegających działaniu wielkiej
ilości niezależnych od siebie czynników, można opisać r o z k ł a d e m
G a u s s a. Z braku możliwości ścisłego rozwiązania równań ruchu
cząsteczek gazu zastosowano ów rozkład do termodynamiki. Prawa
dynamiki Newtona wraz z zapożyczoną ze statystyki funkcją Gaussa,
stanowią podstawę termodynamiki statystycznej. Opierając się na
rozkładzie Gaussa, wprowadził Maxwell kinetyczno-molekularną teorię
gazu (dla gazu doskonałego) i uzyskał rozkład prędkości, zwany
rozkładem Maxwella-Boltzmanna. Należy jednak zdawać sobie sprawę,
że prawo Gaussa opisuje układy, nie wnikając w ich istotę; w taki sam
sposób można przedstawić rozrzut wyników losowania gry liczbowej,
wypadków śmiertelnych w przebiegu epidemii, rozkładu mas gwiazd
Galaktyki itd.” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w:
Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 219.
+ Rachunek prawdopodobieństwa stosowany w fizyce. „Matematyczny
formalizm współdziała z treścią, prawami oraz twierdzeniami fizyki. Tak
różnorodne formy matematyczne stosowane są dzisiaj w warunkach
znacznego zróżnicowania systemów teoretycznych fizyki /L. Broglie de,
The Role of Mathematics in the Developrnent of Contemporary Theoretical
Physic, [w:] Great Currents of Mathematical Thought, vol. 2, F. Le Lionnais
(ed.), New York 1971, 78-91, s. 80 i nast./. Matematyczny aparat
koncepcyjny określa adekwatnie idee fizyczne. Matematyczne modele oraz
metody stały się przydatne do opisu dużej klasy zjawisk fizycznych.
Ogólnie mówiąc, np. metody matematycznej fizyki są teoriami
matematycznych modeli fizycznych. Dwudziestowieczne badania z
różnych dyscyplin fizyki wymagają więc dobrej znajomości wielu dziedzin
matematyki (np. równań różniczkowych i całkowych, rachunku
prawdopodobieństwa i statystyki, teorii funkcji zmiennej zespolonej itp.).
Efektywne stosowanie owych matematycznych modeli przyczyniło się do
rozwoju niektórych działów fizyki (np. elektrodynamiki kwantowej,
aksjomatycznej teorii pola, teorii operatorów z ciągłym spektrum). Matematyczne modele opisują więc zasadnicze prawidłowości badanej klasy
zjawisk fizycznych /F. Dyson, Mathematics in the Physical Sciences, w:
Scientific American, 1964, s. 129-146, passim/. We współczesnych
społeczeństwach postindustrialnych owe relacje między matematyką a
fizyką interesują filozofów na równi z matematykami i fizykami. Te trzy
nauki (matematyka, filozofia i fizyka) coraz bardziej zacieśniają więzy
15
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
wzajemnych zainteresowań, efektywnie uzupełniając się poznawczo.
Dzisiaj jedni np. akceptują dominację matematyki w świecie
przyrodniczym (stąd wyłaniające się zagadnienie „matematyzacji
przyrody”), szukają relacji między strukturami matematyki i fizyki,
mówiąc o „matematyczności przyrody” (Gniedienko, 1973, s. 143-158). Inni
traktują matematykę i fizykę jako dwie odrębne, autonomiczne nauki. Są też
i tacy, którzy od fizyki oraz jej doraźnych potrzeb zwracają się ku
matematyce jako „nauce pomocniczej”. W dzisiejszej epoce „rewolucji
informacyjnej” i „społeczeństw usług” (service-society) często debatuje się o
tzw. II rewolucji naukowo-technicznej, w której rola oraz funkcja
matematyki i fizyki jest szczególnie duża oraz wielostronna” /E. Piotrowska,
Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna
Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 160.
+ Rachunek prawdopodobieństwa wprowadził do przyrodoznawstwa pojęcie
przypadku, Spülbeck O. „Już Demokryt powiedział, że ludzie wymyślili sobie
złudny obraz przypadku, jako przykrywkę dla swej bezradności /J. Illies,
Biologie und Menschenbild, Freiburg/Basel/Wien 1975, s. 15/. Do filozofii
wprowadził to pojęcie Epikur (342/41-271/70), jako trzeci czynnik
kształtowania świata. Przez przypadek rozumiał nagłe odchylenie, względnie
zboczenie z linii prostej atomów, przez co dochodziło do zderzeń i tak powstał
świat. Takie ujęcie powstania świata nazwano „monizmem przypadku”, przez
co rozumiano, że tylko przypadek był czynnikiem prowadzącym do powstania
świata. Wiara w przypadek posiada swoją długą historię. Od starożytności
wyobrażano sobie procesy świata bezprzyczynowo, jako szczęśliwą grę, na
wzór rzucania kostką. Hinduski mit przedstawia stawania się świata jako grę
w kości boga Sziwy z boginią Kali. Natomiast Epikur przyrównywał bieg
procesów świata do gry dziecka w warcaby. W związku z tym Einstein
wypowiedział szeroko znane słowa: Stary Bóg nie gra w kości (Der Alte
würfelt nicht) /H. Sachsse, Kasualität-Geseltzlichkeit-Wahrscheinlichkeit,
Darmstadt 1979, s. 11/. Według O. Spülbecka pojęcie przypadku weszło do
przyrodoznawstwa w związku z rachunkiem prawdopodobieństwa /O.
Spülbeck, Der Christ und das Weltbild der modernen Naturwissenschaft6,
Berlin 1962, s. 99/. Natomiast Sexl pisze, że pojęcie przypadku wślizgnęło
się do fizyki przy końcu XIX w., najpierw w związku z ciepłem, a później
fizyką kwantową /R. V. Sexl, Was die Welt zusammenhält?, Stuttgart 1983,
s. 172/. Dla Arystotelesa przypadek to causa per accidens. Minimalna teoria
przypadku utrzymała się u Hobbesa (1588-1679), Spinozy (1632-1677) i
Hume’a (1711-1776) /W. Kern, Zufall und Gesetz, w: Gesetzmässigkeit und
Zufall in der Natur, Würzburg 1968, s. 123-130/. Przypadek może być
rozumiany jako absolutny i jako względny. Przypadek absolutny zachodziłby
wtedy, gdyby nie były dane żadne określone związki przyczynowe” /T. S.
Wojciechowski, Przypadek czy celowość w powstaniu życia na ziemi, w: Od
wszechświata stworzonego do człowieka odkupionego, red. R. Rak, 11-45,
Katowice 1996, s. 13.
+ Rachunek prawdopodobieństwa wyklucza przypadek. „Skoro [...]
przestrzeń i czas można zredukować niemal do zera, przeto wraz z nimi
znika przyczynowość, ponieważ przyczynowość jest związana z
16
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
istnieniem przestrzeni i czasu fizycznych zmian i zasadniczo polega na
następstwie przyczyny i skutku. [...] Przestrzeń i czas są stałymi [...]
tylko wtedy, kiedy są mierzone bez uwzględniania sytuacji psychicznych
/C. G. Jung, Rebis, czyli kamień filozofów, tłum. J. Prokopiuk, PWN,
Warszawa 1989, s. 534-535). „Rozważania Junga wiodą do konkluzji, które
streściłabym następująco: zdarzenia zachodzące w świecie są albo
przyczynowe (energetyczne), albo synchroniczne. Te ostatnie są
akauzalne. O ile wzbraniamy się przyjąć hipotezę akauzalności,
należałoby uznać je za „czysty przypadek”, czyli zdarzenia z punktu
widzenia rachunku prawdopodobieństwa nieprawdopodobne. Stereotyp
myślenia kieruje nas w stronę poszukiwań związków przyczynowych
dla wydarzeń synchronicznych bądź tłumaczenia ich przyczyną
transcendentalną, której istnienia, ex definitione, udowodnić nie można.
Triadę klasycznej fizyki, przestrzeń, czas, przyczynowość, uzupełnia Jung
synchronicznością, […] Jednak pod wpływem astronoma J. Jeansa,
uznającego rozpad radioaktywny za zjawisko bezprzyczynowe, i po
dyskusji z fizykiem atomowym W. Paulim, który także skłaniał się do
uznania akauzalności zjawisk, modyfikuje nieco ten schemat:
niezniszczalna energia, przyczynowość, synchroniczność, continuum
przestrzennoczasowe” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność,
w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 230/.
+ Rachunek predykatów pierwszego rzędu nie może być fundamentem dla
całej matematyki. „W 1930 r. młody matematyk wiedeński Kurt Gödel (19061978) udowodnił twierdzenie głoszące, że każdy system sformalizowany
zawierający arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny musi być
niezupełny, tzn. zawsze istnieć będą wyrażone w języku tego systemu zdania,
których na gruncie tego systemu nie można ani dowieść, ani obalić (zdania
takie nazywamy nierozstrzygalnymi). Gödel podał konkretny przykład takiego
zdania. Wynik Gödla, zwany dziś I twierdzeniem Gödla o niezupełności,
został opublikowany w pracy Über formal unentscheidbare Satze der «Principia
Mathematica» und verwandter Systeme. I. Na końcu tej pracy Gödel
zaanonsował też inne twierdzenie (Gödel nie podał dowodu tego twierdzenia, a
jego uwagi o dowodzie okazały się niepoprawne. Pierwszy poprawny dowód
podali D. Hilbert i P. Bernays w Grundlagen der Mathematik), zwane dziś II
twierdzeniem Gödla, a głoszące, że dowód niesprzeczności teorii
sformalizowanej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie może być
przeprowadzony w metamatematyce nie operującej środkami wykraczającymi
poza te, które mieszczą się w samej rozważanej teorii, czyli, mówiąc może
trochę nieprecyzyjnie: za pomocą tego, co skończone, nie można usprawiedliwić
tego, co nieskończone. Twierdzenia Gödla wskazały na pewną ograniczoność
poznawczą metody dedukcyjnej. Pokazały one, że nie można zawrzeć całej
matematyki w niesprzecznym systemie sformalizowanym opartym na
rachunku predykatów pierwszego rzędu, co więcej: nie można zawrzeć w
żadnym takim systemie nawet wszystkich prawd o liczbach naturalnych.
Nierozstrzygalne zdanie Gödla było też przykładem zdania realnego
(mówiącego tylko o liczbach naturalnych; /Choć zdanie Gödla ma treść
metamatematyczną – mówi bowiem „Ja nie jestem twierdzeniem” – to jednak
17
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
dzięki metodzie arytmetyzacji składni i dzięki kodowaniu skończonych
ciągów liczb naturalnych można je „przetłumaczyć” na zdanie mówiące o
pewnych związkach między liczbami naturalnymi), dla którego nie ma dowodu
arytmetycznego, ale którego prawdziwość może być wykazana za pomocą
metod infinitystycznych (odwołujących się do teorii mnogości i teorii modeli/”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 133.
+ Rachunek predykatów pierwszego rzędu. Nie można zawrzeć całej
matematyki w niesprzecznym systemie sformalizowanym opartym na
rachunku predykatów pierwszego rzędu. „Twierdzenia Gödla wskazały na
pewną ograniczoność poznawczą metody dedukcyjnej. Pokazały one, że nie
można
zawrzeć
całej
matematyki
w
niesprzecznym
systemie
sformalizowanym opartym na rachunku predykatów pierwszego rzędu, co
więcej: nie można zawrzeć w żadnym takim systemie nawet wszystkich prawd
o liczbach naturalnych. Nierozstrzygalne zdanie Gödla było też przykładem
zdania realnego (mówiącego tylko o liczbach naturalnych /Choć zdanie Gödla
ma treść metamatematyczną – mówi bowiem „Ja nie jestem twierdzeniem” –
to jednak dzięki metodzie arytmetyzacji składni i dzięki kodowaniu
skończonych ciągów liczb naturalnych można je „przetłumaczyć” na zdanie
mówiące o pewnych związkach między liczbami naturalnymi), dla którego nie
ma dowodu arytmetycznego, ale którego prawdziwość może być wykazana za
pomocą metod infinitystycznych (odwołujących się do teorii mnogości i teorii
modeli)” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa
1995, s. 132/. „Zdanie nierozstrzygalne podane przez Gödla miało treść nie
matematyczną, a metamatematyczną (mówiło bowiem: „Ja nie jestem
twierdzeniem”). Można więc było jeszcze żywić nadzieję, że w zakresie zdań o
treści matematycznej (czy może lepiej: interesującej z matematycznego
punktu widzenia) matematyka jest jednak zupełna. Wyniki Jeffa Parisa, Leo
Harringtona i Laury Kirby'ego rozwiały te nadzieje. Otóż w roku 1977 J. Paris
i L. Harrington podali przykład prawdziwego zdania o treści
kombinatorycznej, zaś w roku 1982 J. Paris i L. Kirby przykład prawdziwego
zdania o treści teorioliczbowej – nierozstrzygalnych w sformalizowanym
systemie arytmetyki liczb naturalnych. Są to zatem przykłady matematycznie
interesujących zdań realnych (o liczbach naturalnych), dla których nie ma
finitystycznych, czysto arytmetycznych dowodów, ale których prawdziwość
można wykazać za pomocą środków infinitystycznych /Na temat wyników J.
Parisa, L. Harringtona i L. Kirby'ego por. na przykład R. Murawski,
Matematyczna
niezupełność
arytmetyki
oraz
Generalizations
and
Strengthenings of Godel's Incompleteness Theorem/. /Tamże, s. 133.
+ Rachunek predykatów Teoria mnogości Zermela-Fraenkla jest to system
oparty na rachunku predykatów I rzędu wyrażony w języku zawierającym
jako symbole pozalogiczne predykaty dwuczłonowe. „Do lat pięćdziesiątych
większą popularnością cieszyło się ujęcie teorii mnogości w ramach teorii
typów. Później ujęciem standardowym stało się ujęcie aksjomatyczne, w
szczególności system Zermela-Fraenkla ZF. Dlatego też omówimy tu krótko
ten system /Istnieje bogata literatura na temat teorii mnogości ZermelaFraenkla ZF. Wymieńmy tu tylko monografie: A. A. Fraenkla, Y. Bar-Hillela i A.
Levy'ego Foundations of Set Theory, T. Jecha Set Theory oraz K.
Kuratowskiego i A. Mostowskiego Teoria mnogości/. Jest to system oparty na
18
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
rachunku predykatów I rzędu wyrażony w języku zawierającym jako symbole
pozalogiczne predykaty dwuczłonowe: = (identyczność) oraz  (być
elementem) /W pierwotnej wersji Zermela system teorii mnogości
sformułowany był w języku zawierającym jeszcze dodatkowy predykat
jednoczłonowy Z(.), który znaczył: być zbiorem. W wyniku tego można było w
nim mówić o indywiduach (nic będących zbiorami) i o zbiorach (indywiduów).
Obecnie stosowany system Zermela-Fraenkla, który tu opisujemy, nie mówi nic
o przedmiotach nie będących zbiorami. Istnienie takich przedmiotów jest
zupełnie obojętne z punktu widzenia potrzeb czystej matematyki (choć nic jest
obojętne dla zastosowań teorii mnogości w naukach empirycznych)/”
/Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s.
174/. „Jeżeli do systemu tego dołączyć jeszcze aksjomat wyboru AC, to
otrzymany system oznacza się jako ZFC” /Tamże, s. 176.
+ Rachunek różniczkowy Badania matematyczno-fizyczne Hermanna Weyla.
„Hermann Weyl (1885-1955) należał do najwybitniejszych niemieckoamerykańskich matematyków i fizyków, bowiem od 1933 roku jako
emigrant żydowski przebywał i pracował w Stanach Zjednoczonych.
Pozostawił sporo oryginalnych prac z wielu dziedzin matematyki (np. z
szeregów trygonometrycznych, szeregów funkcji ortogonalnych, teorii
funkcji zmiennej zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, do
teorii liczb wniósł tzw. sumę Weyla). Najważniejsze jego prace dotyczą
jednak teorii grup ciągłych, a szczególnie jej zastosowań do geometrii i
fizyki, zwłaszcza do mechaniki kwantowej /H. Weyl, Izbrannyje trudy.
Matiematika. Teoreticzeskaja fizika, W. I. Arnold (red.), Moskwa 1984/.
Uzyskując wszechstronne wykształcenie z zakresu matematyki i
częściowo fizyki, zajmował się także mechaniką kwantową i teorią
względności. Umiejętności łączenia badań matematycznych z fizycznymi
nauczył się Weyl w niemieckim ośrodku studiów matematycznofizycznych w Getyndze; prace kontynuował w Zurychu, a od 1933 roku
także w Instytucie Badań Perspektywicznych w amerykańskim Princeton.
Faktycznie Weyl był znakomitym matematykiem i twórczym fizykiem
posiadającym dużą zdolność syntetyzowania oraz uogólniania danych
naukowych i łączenia ich z refleksją filozoficzną /H. Weyl, Mind and
nature, Philadelphia-London 1934/. Wszelkie uogólnienia i konstrukcje
filozoficzne były dla niego nierozdzielne od właściwego zajmowania się
matematyką i fizyką. Uczony ten od nauk szczegółowych przechodził do refleksji i uogólnień natury filozoficznej /H. Weyl, Erkenntnis und Besinnung
(Ein Lebensruckblick), [w]: Jahrbuch Schweizerischen Philosophischen
Gesellschaft, 1954/” /E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania
naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 162.
+ Rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza przykładem stosowania teorii
sprzecznych w fizyce i w matematyce, Curry H. B. „Pojawiły się później pewne
skrajne wersje formalizmu, w szczególności tzw. formalizm ścisły,
reprezentowany głównie przez H. B. Curry’ego (por. jego Outlines of a
Formalist Philosophy of Mathematics), w którym istotnie traktuje się
matematykę jako naukę o systemach sformalizowanych. Redukuje się więc
19
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
całą matematykę do badania teorii formalnych, nie zakładając niczego poza
symbolami konstytuującymi dany system. O ile dla Hilberta raison d’etre
istnienia systemów sformalizowanych była obrona, ugruntowanie i usprawiedliwienie
matematyki
klasycznej,
w
szczególności
matematyki
infinitystycznej, o tyle dla Curry’ego systemy sformalizowane są substytutem
matematyki klasycznej i mają ją całkowicie zastępować. Stąd wynikają też
dalsze różnice. Otóż wykazanie, że jakiś system sformalizowany jest
sprzeczny, było równoznaczne dla Hilberta z uznaniem go za bezużyteczny”
/R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe
PWN, Warszawa 1995, s. 130/. Dla Curry’ego natomiast nie – utrzymywał
on, że po to, by system uznać za akceptowalny czy użyteczny, „nie jest ani
konieczny, ani wystarczający dowód jego niesprzeczności” (por. Outlines of a
Formalist Philosophy of Mathematics, s. 61). Na poparcie tej tezy przytacza on
przykłady teorii sprzecznych, które okazywały się użyteczne i jako takie były
szeroko stosowane – takie teorie znaleźć można zarówno w fizyce, jak i w
samej matematyce. Koronnym przykładem może tu być rachunek
różniczkowy i całkowy Leibniza, oparty na pojęciu różniczki jako
nieskończenie małej, a więc wielkości dodatniej, ale mniejszej od wszystkich
liczb rzeczywistych dodatnich. Było to pojęcie sprzeczne. Mimo to rachunek
różniczkowy i całkowy rozwijał się przez wieki i był z powodzeniem stosowany
w różnych dziedzinach. Dopiero stworzona przez A. Robinsona w drugiej
połowie XX wieku tzw. analiza niestandardowa (oparta na teorii modeli)
dostarczyła odpowiedniej podstawy teoretycznej dla analizy Leibniza”
/Tamże, s. 131.
+ Rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza przykładem teorii sprzecznej,
która okazała się użyteczna, przykład ten przytoczył Curry H. B. „Dla
ścisłości musimy tu powiedzieć, że pojawiły się później pewne skrajne wersje
formalizmu, w szczególności tzw. formalizm ścisły, reprezentowany głównie
przez H. B. Curry'ego (por. jego Outlines of a Formalist Philosophy of
Mathematics), w którym istotnie traktuje się matematykę jako naukę o
systemach sformalizowanych.
Redukuje się więc całą matematykę do
badania teorii formalnych, nie zakładając niczego poza symbolami konstytuującymi dany system. O ile dla Hilberta raison d'etre istnienia systemów
sformalizowanych była obrona, ugruntowanie i usprawiedliwienie
matematyki klasycznej, w szczególności matematyki infinitystycznej, o tyle
dla Curry'ego systemy sformalizowane są substytutem matematyki klasycznej
i mają ją całkowicie zastępować. Stąd wynikają też dalsze różnice. Otóż
wykazanie, że jakiś system sformalizowany jest sprzeczny, było
równoznaczne dla Hilberta z uznaniem go za bezużyteczny” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 130/. „Dla
Curry'ego natomiast nie – utrzymywał on, że po to, by system uznać za
akceptowalny czy użyteczny, „nie jest ani konieczny, ani wystarczający
dowód jego niesprzeczności” (por. Outlines of a Formalist Philosophy of
Mathematics, s. 61). Na poparcie tej tezy przytacza on przykłady teorii
sprzecznych, które okazywały się użyteczne i jako takie były szeroko
stosowane — takie teorie znaleźć można zarówno w fizyce, jak i w samej
matematyce. Koronnym przykładem może tu być rachunek różniczkowy i
całkowy Leibniza, oparty na pojęciu różniczki jako nieskończenie małej, a
więc wielkości dodatniej, ale mniejszej od wszystkich liczb rzeczywistych do20
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
datnich. Było to pojęcie sprzeczne. Mimo to rachunek różniczkowy i całkowy
rozwijał się przez wieki i był z powodzeniem stosowany w różnych
dziedzinach. Dopiero stworzona przez A. Robinsona w drugiej połowie XX
wieku tzw. analiza niestandardowa (oparta na teorii modeli) dostarczyła
odpowiedniej podstawy teoretycznej dla analizy Leibniza” /Tamże, s. 131.
+ Rachunek różniczkowy i całkowy odkryty równocześnie przez Leibniza i
Newtona. „Główna teza Wildera brzmi: matematyka jest systemem kulturowym, matematyka może być traktowana jako subkultura wiedza
matematyczna należy do tradycji kulturowej danego społeczeństwa,
aktywność matematyczna ma charakter społeczny. Termin „kultura” rozumie
się tu w ogólnym, powszechnie przyjmowanym znaczeniu, traktując kulturę
jako „zbiór różnych elementów znajdujących się w sieci komunikacyjnej”
(por. Mathematics as a Cultural System, s. 8). Takie podejście do matematyki
pozwala na badanie jej rozwoju i stosowanie w tych badaniach pewnych
ogólnych praw rządzących zmianami w ramach danej kultury. Pozwala też
na śledzenie wzajemnych relacji i wpływów różnych elementów kultury
ogólnej, także ich wpływu na rozwój matematyki. Umożliwia wreszcie
wykrywanie mechanizmów rozwoju i ewolucji matematyki jako nauki. W
ewolucji matematyki zaobserwować można wiele fenomenów, które pojawiają
się i rozwijają zgodnie z ogólnymi wzorcami znanymi badaczom zmian
dokonujących się w ramach kultur. Spotykamy się tu więc na przykład ze
zjawiskiem odkryć jednoczesnych, ze zjawiskiem jednoczesnego, choć
niezależnego dochodzenia do tych samych nowych teorii. Klasycznymi
przykładami są tutaj stworzenie rachunku różniczkowego i całkowego przez
Leibniza (1676) i Newtona (1671) czy zbudowanie systemu geometrii nieeuklidesowej przez Janosa Bolyai (1826-1933), Carla Friedricha Gaussa (około
1829) i Nikołaja Łobaczewskiego (1836-1840). Inne przykłady to wynalezienie
logarytmów przez Johna Napiera i Henry Briggsa (1614) oraz przez Josta
Burgiego (1620), odkrycie zasady najmniejszych kwadratów przez AdrienMarie Legendre'a (1806) i przez Gaussa (1809) czy geometrycznego prawa
dualności przez Juliusa Pluckera, Jeana Ponceleta i Josepha Gergonne'a
(początek XIX wieku). W czasach nowszych fakty odkryć jednoczesnych
występują bardzo często” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów,
PWN Warszawa 1995, s. 150.
+ Rachunek różniczkowy i całkowy utworzony przez Leibniza i Newtona
niezależnie. „W ewolucji matematyki zaobserwować można wiele fenomenów,
które pojawiają się i rozwijają zgodnie z ogólnymi wzorcami znanymi
badaczom zmian dokonujących się w ramach kultur. Spotykamy się tu więc
na przykład ze zjawiskiem odkryć jednoczesnych, ze zjawiskiem jednoczesnego,
choć niezależnego dochodzenia do tych samych nowych teorii. Klasycznymi
przykładami są tutaj stworzenie rachunku różniczkowego i całkowego przez
Leibniza (1676) i Newtona (1671) czy zbudowanie systemu geometrii nieeuklidesowej przez Janosa Bolyai (1826-1833), Carla Friedricha Gaussa (około
1829) i Nikołaja Łobaczewskiego (1836-1840). Inne przykłady to wynalezienie
logarytmów przez Johna Napiera i Henry Briggsa (1614) oraz przez Josta
Burgiego (1620), odkrycie zasady najmniejszych kwadratów przez AdrienMarie Legendre’a (1806) i przez Gaussa (1809) czy geometrycznego prawa
dualności przez Juliusa Pluckera, Jeana Ponceleta i Josepha Gergonne’a
(początek XIX wieku). W czasach nowszych fakty odkryć jednoczesnych
21
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
występują bardzo często. Wilder proponuje takie oto wyjaśnienie tego
fenomenu. Otóż matematycy jako istoty społeczne pracują nad problemami
uważanymi w danej kulturze matematycznej za ważne, tzn. istnieją pewne siły
kulturowe sugerujące, że te czy tamte problemy powinny zostać rozwiązane.
Zakładając jednolite rozmieszczenie zdolności i sił kulturowych skłaniających
ludzi do zajęcia się pewnym problemem, łatwo już spodziewać się
równoczesnego pojawienia się rozwiązań danego zagadnienia. Fenomen taki
nie jest wyjątkiem, ale raczej regułą” /R. Murawski, Filozofia matematyki,
Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 150/.
+ Rachunek różniczkowy Lokalność widzenia zmienności zalążkiem
rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego oraz pojęcia pochodnej.
„Zagadka czasu fascynowała od wieków filozofów i uczonych i to silniej
niż pojęcie przestrzeni; czas jest w dużo większym stopniu „subiektywny”,
uwikłany w indywidualne odczucie jego upływu i teraźniejszości, a jego
nieodwracalność kojarzy się z tajemnicą życia i śmierci. Mimo to, a może
właśnie dlatego, starożytni, choć wielu fascynowało się przecież
zmiennością, nie zajmowali się specjalnie czasem jako takim, a Arystoteles
poświęcił mu stosunkowo niewiele miejsca: „Pewne rozważania – pisał –
nasuwają podejrzenie, iż czas albo w ogóle nie istnieje, albo jest pojęciem
mglistym i niewyraźnym. Bo oto jedna jego część przeminęła i już jej nie
ma, podczas gdy inna dopiero będzie i jeszcze jej nie ma” /Arystoteles,
Dzieła wszystkie, PWN, Warszawa 1990, t. II, s. 104/. Wszelako gdzie
indziej poglądy Filozofa były bardziej zdecydowane: „Czas jest miarą ruchu
oraz miarą stanu ruchu, i mierzy ruch przez określenie pewnego ruchu,
który będzie jednostką miary dla całości (ruchu) [...]” /ibidem, s. 110/.
Później zmiennością zajęto się zwłaszcza w średniowieczu, kiedy to
zainteresowanie myślicieli skupiło się na intensywności zmian,
odpowiedniku
ekstensywnej
gęstości;
nawiązywano
do
idei
arystotelesowskiej entelechii, która u scholastyków przybrała postać
pojęcia impetu (Buridan) albo conatusa (Hobbes). Zapoczątkowany w ten
sposób lokalny punkt widzenia na zmienność, choć rozważany w sposób
spekulatywny, dał asumpt do rozwoju rachunku różniczkowego i
całkowego oraz pojęcia pochodnej” /R. Molski, O filozoficznych źródłach
matematycznej teorii kategorii, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem,
red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama
Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań
1999, 61-82, s. 64.
+ Rachunek różniczkowy powstał w odpowiedzi na potrzeby fizyki.
„Zważywszy na sposób tworzenia formalizmu kwantowego, na olbrzymie
trudności teoretyczne, które musieli pokonać fizycy, a także na fakt, że
niektóre z nich mogli ominąć, znając lepiej sukcesy matematyki, można
zaryzykować stwierdzenie, iż któraś z mniej znanych teorii
matematycznych pretenduje do miana podstawy nowego formalizmu
kwantowego” /A. Szczuciński, Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 137-157, s. 150/. „Często jednak –
dlatego że nie ma odpowiedniego aparatu matematycznego albo dlatego że
zainteresowani o nim nie wiedzą – fizycy sami konstruują reguły
22
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
matematyczne.
Czasami
na
ich
zapotrzebowanie
odpowiadają
matematycy. Ktokolwiek by to czynił, to faktem jest, że do teorii
matematycznych, które powstały w odpowiedzi na potrzeby fizyki, można
zaliczyć /zob. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Warszawa
1997, s. 1997/: – teorię liczb rzeczywistych, – geometrię Euklidesa,
rachunek
różniczkowy
i
równania
różniczkowe,
– geometrię
symplektyczną, – formy różniczkowe i równania różniczkowe cząstkowe,
– geometrię Riemanna i geometrię Minkowskiego, – teorię liczb
zespolonych, – teorię przestrzeni Hilberta, – całki funkcjonalne itd.
Powyższe zestawienie nie jest precyzyjne. Są w nim teorie, które
niewątpliwie służą fizyce i przy udziale fizyków są rozwijane, ale – jak np.
geometria Riemanna – wcale nie były początkowo tworzone z myślą o
fizyce. Czasami natomiast prace matematyczne fizyków powstawały jako
odpowiedź na rzeczywiste problemy fizyki, lecz wyprzedzały możliwość
ich fizykalnej interpretacji. Tak było w przypadku teorii kwantów” /A.
Szczeciński, s. 151.
+ Rachunek różniczkowy powstał w odpowiedzi na potrzeby fizyki. Teorie
matematyczne regulujące zachowanie fizycznego świata, są niezwykle
płodne po prostu jako idee matematyczne. „Ten związek jest dla mnie
tajemnicą” /R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Prószyński i
S-ka, Warszawa 1997, s. 100-101/. Hipoteza „empirycznej” genezy
matematyki. „Najprostszym i najbardziej naturalnym wyjaśnieniem owocności matematyki w opisie zjawisk fizycznych (ich uproszczonych modeli)
zdaje się być hipoteza, że sama matematyka wyrasta z doświadczenia, że
świat matematyczny wyłania się ze świata obiektów fizycznych oraz że
pojęcia matematyczne stanowią tylko idealizację obiektów fizycznych.
„Potwierdzeniem tej hipotezy może być okoliczność, przywoływana przez
Penrose’a, iż „Bardzo często okazuje się, że najbardziej owocne koncepcje
matematyczne wywodzą się z pojęć, które zrodziły się w teoriach fizycznych” /Tamże, s. 61/. Dalej Penrose podaje dziewięć „przykładów teorii
matematycznych, które powstały w odpowiedzi na potrzeby fizyki”, poczynając od teorii liczb naturalnych, geometrii Euklidesa oraz rachunku
różniczkowego i równań różniczkowych (ibidem, s. 61-62). Teorie te – a
zwłaszcza rachunek różniczkowy i całkowy – okazały się nie tylko
niezwykle płodne w fizyce, lecz gdy tylko „zostały zastosowane do
rozwiązania problemów czysto matematycznych, okazały się wyjątkowo
płodne jako koncepcje matematyczne p e r s e /Tamże, s. 62/. Sam Penrose
broni jednak hipotezy niejako odwrotnej: hipotezy, że to nie matematyka
wyłania się z fizyki, lecz że świat fizyczny wyłania się ze świata
matematyki” /J. Such, Matematyka a świat fizyczny, w: Między matematyką a
przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet
im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu
Filozofii, Poznań 1999, 111-118, s. 113.
+ Rachunek różniczkowy wynaleziony przez Leibniza przykładem tego, że
wszystkie odkrycia w matematyce zawdzięczał swemu udoskonalonemu
stosowaniu symboli. Język Leibniza spełniał określone warunki. „Zgodnie z
tymi warunkami, poszczególne proste pojęcia, odpowiadające prostym
cechom, miały być wyrażane przez pojedyncze znaki graficzne, zaś pojęcia
złożone – przez układy znaków. U podstaw tkwiło tu założenie, że cały
23
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
słownik języka nauki da się utworzyć kombinatorycznie przez łączenie na
różne sposoby nielicznych pojęć prostych. Tę metodę konstruowania pojęć
nazywał Leibniz ars combinatoria. Była ona częścią ogólniejszej metody
rachunkowej, która miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku
wszelkich problemów. Nazywała się ona: mathesis universalis, calculus
universalis, logica mathematica, logistica. Leibniz wiązał ogromne nadzieje z tym
uniwersalnym językiem graficznym. Najlepiej świadczy o tym następujący
cytat z jednej z jego prac: „A gdy to już nastąpi [tzn. gdy uda się
urzeczywistnić ideę języka uniwersalnego — uwaga moja, R. M.], dwaj
filozofowie, ilekroć powstanie spór, nie będą inaczej rozprawiać, aniżeli dwaj
rachmistrze. Wystarczy, jeśli wezmą pióra do ręki, zasiądą do tablic i jeśli
jeden drugiemu powie (używając, jeśli chcecie, przyjacielskiego zawołania):
Calculemus (Porachujmy)!” (cytat pochodzi z pracy bez tytułu, napisanej po
roku 1648; por. G.W. Leibniz, Philosophische Schriften, t. 7, ss. 198-201;
patrz antologia, ss. 95-98)” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys
dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 49/. „Leibniz
twierdził też, że „wszystkie odkrycia w matematyce zawdzięcza swemu
udoskonalonemu stosowaniu symboli, a jego wynalazek rachunku
różniczkowego był dlań właśnie tego przykładem” por. L. Couturat, La logique
de Leibniz, F. Alcan, Paris 1901, ss. 84-85; Tamże, s. 50.
+ Rachunek sił zimny połączony ze zdolnością narodu polskiego do
romantycznych porywów, ideał. „postawa romantyczna pojawiała się we
wszystkich większych wydarzeniach w całej naszej historii, a nie tylko w
epoce Romantyzmu. Romantyczna była już sama idea Najjaśniejszej
Rzeczypospolitej dającej schronienie wielu narodom, romantyczna była nasza
rola „przedmurza”, romantyczna była także idea demokracji szlacheckiej, w
świecie, w którym wszystkie inne narody dążyły właśnie do absolutyzmu. […]
od wieków mieliśmy w sobie więcej romantyzmu niż inne narody w kręgi
naszej cywilizacji. I dlatego nie możemy się buntować przeciwko własnej
naturze, że tylko przez romantyczne porywy istniejemy i realizujemy naszą
misję historyczną. […] młodzieńczy kult postaw romantycznych jest mi nadal
bardzo bliski i drogi. Jednakże widzę dziś także groźne konsekwencje
kierowania życia narodowego wyłącznie romantycznymi zasadami. Zapewne
w życiu każdej jednostki ludzkiej istnieją takie sytuacje, w których jedynie
moralną i ostateczną politycznie jest postawa nie liczenia się ani z
obiektywnymi siłami, ani z konsekwencjami ewentualnej klęski. Ale czyż
postawa taka może być uznana za polityczną i moralną także w wypadku
przywódców narodu, czyli czy mają oni prawo nieliczenia się z
konsekwencjami uniesień prowadzących do klęski czy zagrożenia całego
narodu? Naturalnie, ideałem naszym na dziś powinno być zachowanie
potencjalnej zdolności do romantycznych porywów, ale połączonej z zimnym
rachunkiem sił. Gdyż nieodpowiedzialność polityczna, w naszej aktualnej
sytuacji narodowej, może na nas ściągnąć katastrofy, których ogromna
większość dzisiejszych działaczy politycznych w Kraju i za granicą albo nie
widzi, albo widzieć nie chce: klęski groźniejszej od tych wszystkich, które
przeżyliśmy w ubiegłym stuleciu /czyli w XIX wieku/ i podczas II wojny
światowej. Ponieważ najsilniejszą inspiracją romantyczną jest dziś, tak samo
jak w Drugiej Rzeczypospolitej, epoka naszych powstań narodowych, przeto
musimy nauczyć się łączyć nasz hołd dla wielkości ofiary pokoleń XIX wieku
24
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
ze spokojna krytyką błędów politycznych przywódców, błędów o tragicznych
skutkach dla całego narodu” /A. Gella, Naród w ofensywie, Rozważania
historyczne, Veritas Foundation Press, London 1987, s. 16.
+ Rachunek sumienia Badanie postępowania własnego obowiązkiem każdego
chrześcijanina. „Bracia, a gdyby komu przydarzył się jaki upadek, wy, którzy
pozostajecie pod działaniem Ducha, w duchu łagodności sprowadźcie takiego
na właściwą drogę. Bacz jednak, abyś i ty nie uległ pokusie. Jeden drugiego
brzemiona noście i tak wypełniajcie prawo Chrystusowe. Bo kto uważa, że
jest czymś, gdy jest niczym, ten zwodzi samego siebie. Niech każdy bada
własne postępowanie, a wtedy powód do chluby znajdzie tylko w sobie
samym, a nie w zestawieniu siebie z drugim. Każdy bowiem poniesie własny
ciężar. Ten, kto pobiera naukę wiary, niech użycza ze wszystkich swoich
dóbr temu, kto go naucza. Nie łudźcie się: Bóg nie dozwoli z siebie szydzić. A
co człowiek sieje, to i żąć będzie: kto sieje w ciele swoim, jako plon ciała
zbierze zagładę; kto sieje w duchu, jako plon ducha zbierze życie wieczne. W
czynieniu dobrze nie ustawajmy, bo gdy pora nadejdzie, będziemy zbierać
plony, o ile w pracy nie ustaniemy. A zatem, dopóki mamy czas, czyńmy
dobrze wszystkim, a zwłaszcza naszym braciom w wierze. Przypatrzcie się,
jak wielkie litery własnoręcznie stawiam ze względu na was. O ludzkie to
względy ubiegają się ci wszyscy, którzy was zmuszają do obrzezania; chcą
mianowicie uniknąć prześladowania z powodu krzyża Chrystusowego. Bo ci
zwolennicy obrzezania zgoła się nie troszczą o zachowanie Prawa, a o wasze
obrzezanie zabiegają tylko dlatego, by się móc pochwalić waszym ciałem. Co
do mnie, nie daj Boże, bym się miał chlubić z czego innego, jak tylko z krzyża
Pana naszego Jezusa Chrystusa, dzięki któremu świat stał się ukrzyżowany
dla mnie, a ja dla świata. Bo ani obrzezanie nic nie znaczy, ani
nieobrzezanie, tylko nowe stworzenie. Na wszystkich tych, którzy się tej
zasady trzymać będą, i na Izraela Bożego [niech zstąpi] pokój i miłosierdzie.
Odtąd niech już nikt nie sprawia mi przykrości: przecież ja na ciele swoim
noszę blizny, znamię przynależności do Jezusa. Łaska Pana naszego Jezusa
Chrystusa niech będzie z duchem waszym, bracia! Amen” (Gal 6, 1-18).
+ Rachunek sumienia codzienny przygotowuje śmierć dobrą. Grzechy
przyczyną śmierci złej. Dobra śmierć przygotowywana jest przez dobre życie i
przystępowanie do sakramentów świętych (Ks. Robert Spiske, Kazanie nr 55.
Na drugą niedzielę adwentu, 11 grudnia 1870, s. 3). Sługa Boży zaleca nie
tylko częstą spowiedź, ale też codzienne uczestniczenie we mszy świętej.
Oprócz tego zaleca rozmyślanie, codzienny rachunek sumienia, adorację,
„duchowe poszanowanie przenajświętszej Maryi Panny i nieprzemijające
wstawiennictwo za biednymi duszami”. Spełnianie tego wszystkiego jest
znakiem, że człowiek „stał się wybrańcem” (Tamże, s. 4). „Śmierć jest
bolesna, jako ostatnia zapłata za śmierć”. Boleść duchową możemy zamienić
na radość, „jeżeli ustawicznym własnym sądem wyprzedzimy sąd Boży.
Osądźcie się sami, a nie będziecie sądzeni”. Robert Spiske mówił o śmierci
jako o rozłączeniu duszy i ciała, jednakże często wspominał także o
integralności osoby ludzkie: cały człowiek jest słaby i cały człowiek oczekuje
zbawienia. W śmierci „nasze ciało i nasza dusza, zewnętrznie obraz
największej nędzy, wewnętrznie zamkną w sobie tajemnice żłobka
betlejemskiego”. Integralność osoby ludzkiej implikuje też jedność z innymi
ludźmi. Śmierć z jednej strony jest rozstaniem, z drugiej zaś jest spotkaniem.
25
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
W śmierci, która jest uobecnieniem tajemnicy Bożego Narodzenia, „obecne są
najświętsze osoby: Jezus, Maria i Józef. Będą tu wszyscy aniołowie, którzy
obchodzić będą najwznioślejsze Boże Narodzenie, najbardziej chwalebne,
najłaskawsze narodziny Jezusa Chrystusa a naszym życiu wiecznym. Nasz
gasnący wzrok nie będzie widział już tych, których zostawia, lecz zobaczy
owe święte osoby, które zaprowadza nas do niebieskiej Ojczyzny.
Przygotujecie zatem drogę Panu” (Tamże, s. 5).
+ Rachunek sumienia Kościoła w Europie konieczny. „Aby można było
przeżywać pełniej komunię w Kościele, trzeba dowartościować różnorodność
charyzmatów i powołań, które zdążają coraz bardziej ku jedności i mogą ją
ubogacić (por. l Kor 12). W tej perspektywie trzeba, aby z jednej strony nowe
ruchy i nowe wspólnoty kościelne, «odrzucając wszelką pokusę żądania dla
siebie prawa pierwszeństwa i wszelkie wzajemne niezrozumienie», czyniły
postępy na drodze bardziej autentycznej komunii między sobą i ze
wszystkimi innymi środowiskami kościelnymi oraz by «żyły z miłością w
pełnym posłuszeństwie biskupom»; z drugiej strony, konieczne jest również,
aby biskupi, «okazując im ojcowską troskę i miłość właściwą pasterzom» (Por.
Propositio 21), umieli rozpoznawać, doceniać i koordynować ich charyzmaty
oraz ich obecność w budowaniu jedynego Kościoła. Istotnie, dzięki
wzrastającej współpracy między różnymi środowiskami kościelnymi pod
pełnym miłości przewodnictwem pasterzy cały Kościół będzie mógł ukazać
wszystkim oblicze piękniejsze i bardziej wiarygodne, jako wyraźniejsze
odbicie oblicza Pańskiego; w ten sposób będzie mógł przyczynić się do
przywrócenia nadziei i radości zarówno tym, którzy jej szukają, jak i tym,
którzy – choć nie szukają – potrzebują jej. Ażeby móc odpowiedzieć na
ewangeliczne wezwanie do nawrócenia, «musimy wszyscy razem z pokorą i
odwagą dokonać rachunku sumienia, aby poznać nasze lęki i błędy oraz
szczerze wyznać nasze zaniedbania i ociężałość, nasze niewierności i winy»
(Synod Biskupów – Drugie Zgromadzenie Specjalne poświęcone Europie,
Orędzie końcowe, 4: «L'Osservatore Romano», wyd. codzienne, 23
października 1999 r., s. 5; wyd. polskie, n. 12/1999, s. 51). Dalekie od
sprzyjania postawie rezygnacji i zniechęcenia, ewangeliczne uznanie
własnych win budzi we wspólnocie doświadczenie, jakiego doznaje każdy
ochrzczony: radości z głębokiego wyzwolenia i łaski nowego początku, która
pozwała z większą mocą kontynuować drogę ewangelizacji” /(Ecclesia in
Europa 29). Posynodalna adhortacja apostolska ojca Świętego Jana Pawła II.
Do Biskupów, do Kapłanów i Diakonów, do Zakonników i Zakonnic oraz do
wszystkich Wiernych w Jezusie Chrystusie, który żyje w Kościele jako źródło
nadziei dla Europy. W Watykanie, u Św. Piotra, dnia 28 czerwca 2003 roku,
w wigilię uroczystości świętych Apostołów Piotra i Pawła, w dwudziestym
piątym roku mego Pontyfikatu.
+ Rachunek sumienia ostateczny na sądzie Bożym zwieńczony będzie
przebaczeniem wtedy, gdy człowiek wydaje sądy sprawiedliwe o innych,
poprzedzone zbadaniem siebie samego. „Synu, do dobrych uczynków nie
dodawaj przygany ani przykrego słowa do każdego daru. Czyż upału nie
łagodzi rosa? Tak lepsze jest słowo niż podarunek. Oto, czy nie jest lepsze
słowo niż dobry datek? A jedno z drugim łączy się u człowieka życzliwego.
Nierozumny zaś robi wymówki niezgodnie z miłością, a dar zazdrosnego
wyciska łzy z oczu. Uczy się, zanim ci przyjdzie przemawiać, i miej staranie o
26
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
siebie, zanim zasłabniesz. Zanim sąd wydasz, zbadaj siebie samego, a w
godzinę obrachunku znajdziesz przebaczenie. Nim wpadniesz w chorobę,
upokórz się, a gdy zgrzeszysz, daj dowód nawrócenia! Niech ci nic nie stanie
na przeszkodzie, by wykonać ślub w należnym czasie, ani nie czekaj aż do
śmierci, by z długów się uiścić. Zanim złożysz ślub, przygotuj siebie, a nie
bądź jak człowiek, który Pana wystawia na próbę. Pamiętaj o gniewie Jego w
dniach ostatnich, o chwili pomsty, gdy odwróci oblicze. Pamiętaj o chwili
głodu, gdy jesteś w obfitości, o biedzie i niedostatku – w dniach pomyślności.
Od rana do wieczora okoliczności się zmieniają i wszystko prędko biegnie
przed Panem. Człowiek mądry we wszystkim zachowa ostrożność, a w
dniach, kiedy grzechy panują, powstrzyma się od błędu. Każdy rozumny
uzna mądrość, a temu, kto ją znalazł, wyrazi uznanie. Rozumni w mowach
sami jako mędrcy wystąpią i niby deszcz wyleją przysłowia doskonałe. Nie idź
za twymi namiętnościami: powstrzymaj się od pożądań! Jeżeli pozwolisz
duszy swej na upodobanie w namiętnościach, uczynisz z siebie pośmiewisko
dla twych nieprzyjaciół. Nie miej upodobania w życiu wystawnym, abyś się
nie uwikłał w jego wydatki. Nie czyń się biednym, urządzając uczty za
pożyczone pieniądze, gdy nie masz nic w kieszeni” (Syr 18, 15-33).
+ Rachunek sumienia Oświecenie niemieckie, o reperkusjach widocznych
jeszcze w naszych czasach. Zjawisko „epistemologicznego zarażenia teologii
przez filozofię Oświecenia” (M.-D. Chenu) spowodowało, że teologia XVIII
wieku stała się „ontologią konceptualną”. Język takiej teologii był bardzo
ubogi, Wywody ograniczały się do sfery spekulatywno-abstrakcyjnej. Zamiast
zgłębiać tajemnice stworzenia i osoby ludzkiej, ograniczano się do czystej
przyczynowości. Teksty biblijne bywały przedmiotem manipulacji, mającej na
celu udowodnić wcześniej przygotowaną, „racjonalną” tezę. Sakramenty
przestały być „misteriami”, a stały się „znakami praktycznymi”. „Teologia
stała się nauką konkluzji, zorganizowaną prawie wyłącznie według prawideł
logiki, rezygnując ze swego – wypracowanego w okresie patrystyki i
wczesnego Średniowiecza – o wiele bardziej wszechstronnego paradygmatu”
/J. Szymik, Teologia na początek wieku, Księgarnia św. Jacka i Apostolicum,
Katowice-Ząbki 2001, s. 79/. Hiszpania wieku XVIII jest terenem
rozszerzania się pod wpływami francuskimi gallikanizmu a pod wpływami
angielskimi deistycznego racjonalizmu. „Antidotum poszukiwano w dwóch
kierunkach: w rozwoju literatury ściśle apologetycznej (R. Nuix, T.
d’Almeyda, P. A. Olivade) oraz w restauracji i unowocześnieniu scholastyki
(J. Castro, R. Puigover). Z różnym, najczęściej miernym skutkiem”.
Apologetyka panowała we wszystkich krajach romańskich. W protestanckich
krajach Północy asymilowano, przetwarzano, „chrzczono” to, co się dało, z
myśli przeciwnika. Dla zneutralizowania ostrza ataku włączano
metodologiczną warstwę poglądów adwersarzy w kanon własnych rozwiązań.
Tak uczyniła większość teologów angielskich i holenderskich /Tamże, s. 80/.
„Jednak najbardziej wielowątkowe, długotrwałe i płodne spotkanie między
Oświeceniem i teologią miało miejsce w Niemczech. Aufkärung było czymś
innym niż angielskie Englightenment czy francuskie Lumières. Wyrastało z
innych korzeni, nie było – z różnych względów – tak radykalnie
antychrześcijańskie i antykościelne. Ostrze niemieckiego racjonalizmu było
wymierzone jakby w inne cele. I dlatego Aufkärung przybrało nad Renem
charakter czegoś, co można by nazwać teologiczno-pastoralnym „rachunkiem
27
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
sumienia” – twórczym ostatecznie, o reperkusjach widocznych jeszcze w
naszych czasach” /Tamże, s. 81.
+ Rachunek sumienia personalizuje człowieka wydobywając jego wnętrze na
światło dzienne. Persona rolą teatralną, maską, obliczem ukazującym
wnętrze człowieka na światło dzienne, w świetle słońca (per-sonare). Pismo
Święte nie zna terminu osoba. Opisuje człowieka za pomocą potrójnej relacji:
zależności od Boga, panowania nad światem i równości między ludźmi.
Człowiek jest bytem relacyjnym. Myśl grecka nie tylko nie zawierała terminu
osoba, ale nawet nie znała pojęcia osoby. Pojęcie osoby powstało jednak jako
podsumowanie tego, co zawiera się w Piśmie Świętym. Dotyczy to osoby
ludzkiej i Osoby Boskiej. Ojcowie Greccy i św. Augustyn mówili o biblijnej
treści personalistycznej posługując się językiem filozofii greckiej, który był w
tamtym systemie używany inaczej i wyrażał coś innego. Personalizm jest
zakodowany w chrześcijaństwo. Ujawnił się w myśli teologicznej wtedy, gdy
owa myśl zaczęła się rozwijać /J. L. Ruiz de la Peña, Imagen de Dios.
Antropología teológica fundamental, Sal Terrae, Colección “Presencia
teológica” 49, wyd. 2, Santander 1988, s. 155/. Archetypem tego, co ludzkie
jest kosmos. Człowiek jest mikrokosmosem, streszczeniem całej natury.
Filozofia grecka mówiła w ten sposób o idei człowieka, ale nie o człowieku
konkretnym. Persona była rolą teatralną, maską, obliczem ukazującym
wnętrze człowieka na światło dzienne, w świetle słońca (per-sonare). Maska
uzupełniała głos aktorów, pomagała zrozumieć treść wypowiadanych słów.
Osoby Boże ujawniały swoje (zewnętrzne) oblicze w Objawieniu, w działaniu
we wnętrzu ludzkiej historii. Za widzialnym obliczem kryje się niewidzialna,
Boża treść. Nauczanie Kościoła, teologiczne i hierarchiczne, przechodziło
coraz mocniej od mówienia „teatralnego” do mówienia metafizycznego, od
oblicza do substancji, od prosopon do housia. Najważniejsze jest to, że Osoby
Boże są relacjami (esse ad). Bóg, to nie tylko logos, idea czysta i
nieprzechodnia, lecz dia-logos, nieskończona zdolność otwarcia i
komunikacji. Nieskończona realizacja tej możliwości /Tamże, s. 156.
+ Rachunek sumienia po śmierci. Sąd szczegółowy według ksiąg
apokryficznych będzie po śmierci trwał siedem dni (4 Esd 7, 101; Hen 14, 4;
41, 1). Oglądanie chwały Bożej będzie okazją do rachunku sumienia. Tego
rodzaju koncepcje funkcjonowały w środowisku judajskim w czasach Jezusa
i w czasach redagowania Nowego Testamentu. Idee te skrystalizowały się w
nauczaniu Kościoła jako myśl o stanie pośrednim, o czyśćcu. [Sąd
szczegółowy natomiast został ograniczony do czasu przed śmiercią].
Obietnica raju złożona łotrowi wiszącemu na krzyżu obok przez Jezusa (Łk
23, 43) dotyczyła treści znanej ówcześnie jako „łono Abrahama” (Łk 16, 22),
które jest miejscem oczekiwania na zmartwychwstanie. Jezus mówił o trzech
dniach swego oczekiwania w sercu ziemi (Mt 12, 38-41) /M. García Cordero,
La esperanza del más allá en el Nuevo Testamento, “Ciencia Tomista” 114
(1987) nr 373, 209-264, s. 224/. Wychodząc z otchłani Jezus pociągnął za
sobą świętych, którzy ukazali się w Jerozolimie (Mt 27, 52-53). Tymczasem
łotr proszący Jezusa, aby o nim wspomniał, myślał o raju jako Królestwie
mesjanicznym na Ziemi. Jezus mówił o raju, który jest w innym świecie (Łk
23, 43). Ponadto, miejsce łotra w nim będzie zaszczytne, pierwsze. Piotr w Dz
2, 24n ogłasza, że Ojciec nie opuścił Chrystusa w Hadesie i doprowadził go
do zmartwychwstania. Również św. Paweł mówi o schodzeniu duszy Jezusa
28
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
do otchłani (Rz 10, 6-7). Jezus jest pierwszym spośród umarłych, czyli tym,
który był w szeolu i z niego wyszedł (Kol 1, 20). Poszedł głosić zmarłym
duchom zbawienie w duchu (pneuma) swoim (1 P 3, 18-20). W najgłębszych
miejscach znajduje się szatan (Jud 5; Ap 20, 7) /Tamże, s. 225/. Moc
zbawcza paschy Chrystusa ogarnia wszystkich ludzi, nawet największych
grzeszników (Rdz 6, 1-6; 1 P 4, 5-6). Śmierć fizyczna przeciwstawiona jest
życiu duchowemu duszy (alma). Człowiek cielesny uległ zniszczeniu, a
człowiek duchowy odnawia się z dnia na dzień (2 Kor 4, 10). Dzięki
Chrystusowi życie będzie dane również ciału /Tamże, s. 226/. Śmierć
fizyczna (nekrosis) nie dotyka człowieka wewnętrznego, który żyje
sprawiedliwie /Tamże, s. 227.
+ Rachunek sumienia polega na poznaniu samego siebie. „Jeżeli wierzyć
Balthasarowi, znana maksyma grecka – Poznaj samego siebie („wejdź w
siebie, przyjmij, co Bóg powiedział, że jesteś tylko człowiekiem”; por. H. Urs
von Balthasara, W pełni wiary, Znak, Kraków 1991, s. 79) – wskazuje na
możliwość poznania siebie w konfrontacji z bogami. Sokrates,
przypuszczalny autor tego testu (Por. Platon, Fajdros, przeł. W. Witwicki,
PWN, Warszawa 1958, nr 230), wprowadził znaczącą nowość w
dotychczasowym sposobie myślenia o człowieku” /Z. J. Kijas OFMConv,
Homo Creatus Est. Ekumeniczne stadium antropologii Pawła A. Florenskiego
(zm. 1937) i Hansa von Balthasara (zm. 1988), Kraków 1996, s. 18/.
„Starożytny filozof podchodził do osoby ludzkiej jako do problemu
zamkniętego, który istnieje w sobie samym, a więc niezależnie od relacji z
bogami. Poznaj samego siebie było swoistym rachunkiem sumienia,
poważnym zastanowieniem się nad tajemnicą własnej natury stanowiąc
samą istotę poznania. Z drugiej strony, co zauważył sam autor, było to
przedsięwzięcie na tyle skomplikowane, iż tylko sam Jowisz był w stanie je
rozwiązać (A. J. Heschel, Chi è l’uomo? Rusconi 1976, s. 30. Według poety
Menandra powiedzenie: „Poznaj samego siebie” nie oddaje dobrze zadania
człowieka. Należałoby raczej powiedzieć: „Poznaj innych”; Por. Menander, The
Principal Fragments, Wyd. Frances G. Allison, New York 1930, s. 36).
Przyrodnicy utrzymują, że człowiek nie tylko wywodzi się ze świata
zwierzęcego, nie tylko był zwierzęciem, ale także nim pozostaje. […] Powyższa
teza nie ujmuje jednak istoty człowieka; […] zatrzymanie się w tym momencie
byłoby zdradą duchowego bogactwa człowieka. W tym kierunku szły np.
rozważania Arystotelesa (IV w.). […] Scholastyka chrześcijańska nie
podważyła opinii Stagiryty określając człowieka jako „Animal rationale”.
Wiemy jednak, że takie określenia obciążają liczne braki” /Tamże, s. 19/.
„Protagoras (V w. przed Vhr.) utrzymywał, że człowiek jest miarą wszystkich
rzeczy. […] Współczesny człowiek, niewątpliwie bardziej niż jego przodkowie,
interesuje się odczytaniem tajemnicy własnej natury, jej miarą i
charakterem. Im bardziej oddalamy się od siebie (w znaczeniu duchowym),
im większa staje się alienacja człowieka i jego redukcja do przedmiotów
nieożywionych, tym wyraźniej wzrasta jego zakłopotanie i zarazem pragnienie
odnalezienia antropologicznej niewiadomej” /aporia, zakłopotanie i
niemożność dojścia do odpowiedzi/ /Tamże, s. 20/. „Tak więc chodzi głównie
o człowieka w wymiarze historiozbawczym, o możliwie pełne odczytanie tych
duchowych darów, w które Stwórca zaopatrzył go w stworzeniu pozwalając
mu uczestniczyć w tajemnicy Swojej osoby /”Swojej osoby”?, raczej powinno
29
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
być: „Swoich osób”/, a zarazem wyznaczył mu konkretną misję do
spełnienia” /Tamże, s. 21.
+ Rachunek sumienia przez gest przeprosin. „Jedna z charakterystycznych
cech naszej epoki jest skłonność współczesnych do przepraszania za błędy
popełnione przez ludzi przeszłości. Postawę taką możemy zaobserwować
wśród polityków, intelektualistów, artystów i, co najmniej równie często,
wśród przedstawicieli Kościołów chrześcijańskich. Nie ma niemal miesiąca,
by prasa nie informowała o kolejnym akcie skruchy czy prośbie o
przebaczenie. Kościół episkopalny w Stanach Zjednoczonych przeprosił za
swoje dotychczasowe stanowisko w stosunku do homoseksualistów i
lesbijek; premier Australii wyraził skruchę z powodu cierpień, jakie
Aborygenom zadali biali kolonizatorzy, a w jego kroki poszedł prezydent
Stanów Zjednoczonych zwracając się o przebaczenie do potomków Indian”
/P. Lisicki, Cudze piersi, „Fronda“ Nr 11/12 (1998), 12-35, s. 12/. „Wydaje
się, że pod koniec XX w. mamy do czynienia z ogromną potrzebą wyjaśniania
zła historii. Motywy takiego postępowania mogą być rozmaite. Jedni wierzą,
że tylko w taki sposób można pokonać demony przeszłości, gwałt, przemoc i
wojny. Przeprosiny byłyby gestem otwierającym przyszłość, sposobem na
walkę z urazami i przesądami. Byłyby swoistym sposobem oczyszczenia
pamięci, być może nawet rachunkiem sumienia. Dla innych publiczne
wyznanie win w mieniu swych przodków jest aktem odwagi moralnej,
rodzajem zadośćuczynienia dla ofiar, wyzwoleniem z zemsty, jawnym
zerwaniem ze złą tradycją. Stanowi prawdziwie nowy początek. Niestety,
mimo że dostrzegam te wszystkie motywy, mimo iż doceniam ich wagę, ba,
niekiedy wręcz gotów byłbym się solidaryzować z przepraszającymi, czuję
coraz większy niepokój. Muszę podkreślić, że powodem tego niepokoju nie
jest, jak wierzę, małoduszna obawa, iż cenione przeze mnie wartości, czyli
Kościół i naród, utracą swój pozytywny wizerunek. Nie jest to jedynie kwestia
dobrego imienia” /Tamże, s. 13/. „tak samo jak nie wierzę, aby ktokolwiek
mógł przeprosić za moje winy, nie czuję się również upoważniony do
przepraszania za winy i grzechy innych!” /Tamże, s.15.
+ Rachunek sumienia przygotowuje do przyjęcia sakramentu pokuty,
przeprowadzony w świetle słowa Bożego. „Formuła rozgrzeszenia używana w
Kościele łacińskim wyraża istotne elementy tego sakramentu: Ojciec
miłosierdzia jest źródłem wszelkiego przebaczenia. Dokonuje On pojednania
grzeszników przez Paschę swojego Syna i dar Ducha Świętego, za
pośrednictwem modlitwy i posługi Kościoła: Bóg, Ojciec miłosierdzia, który
pojednał świat ze sobą przez śmierć i zmartwychwstanie swojego Syna i
zesłał Ducha Świętego na odpuszczenie grzechów, niech ci udzieli
przebaczenia i pokoju przez posługę Kościoła. I ja odpuszczam tobie grzechy
w imię Ojca i Syna, i Ducha Świętego” (KKK 1449). „Pokuta zobowiązuje
grzesznika do dobrowolnego przyjęcia wszystkich jej elementów: żalu w
sercu, wyznania ustami, głębokiej pokory, czyli owocnego zadośćuczynienia
w postępowaniu” (KKK 1450). „Wśród aktów penitenta żal za grzechy zajmuje
pierwsze miejsce. Jest to „ból duszy i znienawidzenie popełnionego grzechu z
postanowieniem niegrzeszenia w przyszłości” (KKK 1451). „Gdy żal wypływa z
miłości do Boga miłowanego nade wszystko, jest nazywany „żalem
doskonałym” lub „żalem z miłości” (contritio). Taki żal odpuszcza grzechy
powszednie. Przynosi on także przebaczenie grzechów śmiertelnych, jeśli
30
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
zawiera mocne postanowienie przystąpienia do spowiedzi sakramentalnej,
gdy tylko będzie to możliwe” (KKK 1452). „Także żal nazywany
„niedoskonałym” (attritio) jest darem Bożym, poruszeniem Ducha Świętego.
Rodzi się on z rozważania brzydoty grzechu lub lęku przed wiecznym
potępieniem i innymi karami, które grożą grzesznikowi (żal ze strachu). Takie
poruszenie sumienia może zapoczątkować wewnętrzną ewolucję, która pod
działaniem łaski może zakończyć się rozgrzeszeniem sakramentalnym. Żal
niedoskonały nie przynosi jednak przebaczenia grzechów ciężkich, ale
przygotowuje do niego w sakramencie pokuty” (KKK 1453). „Do przyjęcia
sakramentu pokuty należy przygotować się przez rachunek sumienia,
przeprowadzony w świetle słowa Bożego. Najbardziej nadają się do tego
teksty, których należy szukać w Dekalogu i w katechezie moralnej Ewangelii
i Listów Apostolskich: w Kazaniu na Górze i pouczeniach apostolskich” (KKK
1454). „Wyznanie grzechów (spowiedź), nawet tylko z ludzkiego punktu
widzenia, wyzwala nas i ułatwia nasze pojednanie z innymi. Przez spowiedź
człowiek patrzy w prawdzie na popełnione grzechy, bierze za nie
odpowiedzialność, a przez to na nowo otwiera się na Boga i na komunię
Kościoła, by umożliwić nową przyszłość” (KKK 1455).
+ Rachunek sumienia Spożywanie chleba lub picie kielicha Pański niegodne,
sprowadza winę wielką. „Pan kieruje do nas usilne zaproszenie, abyśmy
przyjmowali Go w sakramencie Eucharystii: „Zaprawdę, zaprawdę, powiadam
wam: Jeżeli nie będziecie spożywali Ciała Syna Człowieczego i nie będziecie
pili Krwi Jego, nie będziecie mieli życia w sobie” (J 6, 53)” (KKK 1384). „Aby
odpowiedzieć na to zaproszenie, musimy przygotować się do tej wielkiej i
świętej chwili. Św. Paweł wzywa nas do rachunku sumienia: „Kto spożywa
chleb lub pije kielich Pański niegodnie, winny będzie Ciała i Krwi Pańskiej.
Niech przeto człowiek baczy na siebie samego, spożywając ten chleb i pijąc z
tego kielicha. Kto bowiem spożywa i pije, nie zważając na Ciało Pańskie,
wyrok sobie spożywa i pije” (1 Kor 11, 27-29). Jeśli ktoś ma świadomość
grzechu ciężkiego, przed przyjęciem Komunii powinien przystąpić do
sakramentu pojednania” (KKK 1385). „Wobec wielkości tego sakramentu
chrześcijanin może jedynie powtórzyć z pokorą i płomienną wiarą słowa
setnika: Domine, non sum dignus, ut intres sub tectum meum, sed tantum dic
verbo, et sanabitur anima mea – „Panie, nie jestem godzien, abyś przyszedł do
mnie, ale powiedz tylko słowo, a będzie uzdrowiona dusza moja”. W liturgii
św. Jana Chryzostoma wierni modlą się w tym samym duchu: Synu Boży,
pozwól mi dzisiaj uczestniczyć w Twojej uczcie mistycznej. Nie zdradzę
tajemnicy wobec Twych nieprzyjaciół ani nie dam Ci pocałunku Judasza, ale
wołam do Ciebie słowami łotra na krzyżu: Wspomnij o mnie, Panie, w Twoim
Królestwie” (KKK 1386). „Aby przygotować się odpowiednio na przyjęcie
sakramentu Eucharystii, wierni zachowają ustanowiony przez Kościół post.
Postawa zewnętrzna (gesty, ubranie) powinna być wyrazem szacunku,
powagi i radości tej chwili, w której Chrystus staje się naszym gościem” (KKK
1387). „Zgodnie z tym, co oznacza Eucharystia, jest rzeczą właściwą, by
wierni, jeśli tylko są odpowiednio usposobieni, przyjmowali Komunię, gdy
uczestniczą we Mszy świętej. „Zaleca się usilnie ów doskonalszy sposób
uczestniczenia we Mszy świętej, który polega na tym, że po Komunii kapłana
wierni przyjmują Ciało Pańskie z tej samej ofiary” (KKK 1388). „Kościół
zobowiązuje wiernych do uczestniczenia w niedziele i święta w Boskiej liturgii
31
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
i do przyjmowania Eucharystii przynajmniej raz w roku, jeśli to możliwe w
Okresie Wielkanocnym, po przygotowaniu się przez sakrament pojednania.
Ale Kościół gorąco zaleca jednak wiernym przyjmowanie Najświętszej
Eucharystii w niedziele i dni świąteczne lub jeszcze częściej, nawet
codziennie” (KKK 1389). „Dzięki sakramentalnej obecności Chrystusa w
każdej z obu postaci Komunia przyjmowana tylko pod postacią chleba
pozwala otrzymać cały owoc łaski Eucharystii. Ze względów duszpasterskich
ten sposób przyjmowania Komunii świętej ustalił się powszechnie w
obrządku łacińskim. „Ze względu na wymowę znaku Komunia święta nabiera
pełniejszego wyrazu, gdy jest przyjmowana pod obiema postaciami. W tej
bowiem formie ukazuje się w doskonalszym świetle znak Uczty
eucharystycznej”. Jest to forma zwyczajna przyjmowania Komunii w
obrządkach wschodnich” (KKK 1390).
+ Rachunek sumienia w malarstwie Hieronima Boscha Człowiek przychodzi
na świat z grzechem pierworodnym, od początku należy do świata występku.
Przejście do świata cnoty wymaga wysiłku. Większość ludzi nie posiada siły,
aby być ludźmi wolnymi, którzy mogą dokonać wolnego wyboru. Ludzi
zdecydowanych i silnych duchowo jest niestety bardzo niewielu. W
twórczości Boscha pojawia się groźba Sądu Ostatecznego jako sprawiedliwej i
ostatecznej oceny dokonywanej przez Boga. W większości obrazy Boscha
ukazują życie codzienne, sytuację aktualna. Natomiast obraz Sądu stanowi
punkt zwrotny, linię graniczną między opisem rzeczywistości a zapowiedzią
przyszłości. Być może autor nie zamierzał przepowiadać rzeczywistości
przyszłych a jedynie ostrzec i wezwać do zastanowienia nad sobą i dokonania
przemiany Człowieka Masowego w Szlachetnego H69.1 35.
+ rachunek sumienia z czytania Pisma Świętego. Pryscylian dąży do
utworzenia wspólnoty równych, którzy posiadają tego samego duch – Ducha
Chrystusa., ducha prorockiego. Jest to Duch Święty, który wprowadza
równość fundamentalną we wspólnocie. Wszyscy we wspólnocie posiadają
tego samego ducha i wszystkim został dany „sensus scripturae”, czyli
inteligencja wynikająca z Pisma Świętego. Wszyscy posiadają charyzmat
prorocki, który oznacza służbę we wspólnocie, w wolności. Wszyscy
chrześcijanie powinni czytać Pismo Święte, i wszyscy powinni z tego zdawać
sprawę. W1.1 132
+ Rachunek tensorowy Język rachunku tensorowego wykorzystany dla
zbudowana ogólnej teorii względności. Matematyzacja przyrody. Teza o
zróżnicowaniu języka matematycznego. „Język matematyki – będący
podstawowym
językiem
tzw.
nauk
ścisłych,
głównie
nauk
matematycznych, ścisłego przyrodoznawstwa oraz ścisłych nauk
technicznych – jest faktycznie nie jednym (wspólnym, jednolitym)
językiem, lecz stanowi całą grupę języków. Widać to stąd, że różne
działy nauk (np. fizyki), a nawet poszczególne teorie naukowe
posługują się na ogół odmienną aparaturą matematyczną. Na przykład
język przestrzeni Hilberta, którym posługują się pewne standardowe
ujęcia mechaniki kwantowej, różni się znacznie od języka rachunku
tensorowego i geometrii różniczkowej, przy użyciu którego została zbudowana ogólna teoria względności. Co więcej, niekiedy jest tak, że ta
sama teoria jest budowana przy użyciu różnych aparatów
matematycznych (które są równoważne ze sobą lub nie). Na przykład
32
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
mechanika kwantowa posiada dwa równoważne ujęcia matematyczne –
ujęcie falowe (Schrodingera) oraz ujęcie matrycowe (Heisenberga) – a
ponadto może być ujmowana albo w kategoriach przestrzeni Hilberta (i
wtedy mamy trzy równoważne opracowania: matrycowe Heisenberga,
falowe Schrodingera oraz ujęcie Diraca), albo w trzech co najmniej
innych wersjach (m.in. w słynnym ujęciu Feynmana „sumowania po
historiach”), które nie są równoważne matematycznie, ale prowadzą do
tych samych wniosków empirycznych” /J. Such, Matematyka a świat
fizyczny, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E.
Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu,
Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 111-118, s. 116.
+ Rachunek uniwersalny calculus universalis Metoda rachunkowej, która
miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku wszelkich
problemów. Język Leibniza spełniał określone warunki. „Zgodnie z tymi
warunkami, poszczególne proste pojęcia, odpowiadające prostym cechom,
miały być wyrażane przez pojedyncze znaki graficzne, zaś pojęcia złożone –
przez układy znaków. U podstaw tkwiło tu założenie, że cały słownik języka
nauki da się utworzyć kombinatorycznie przez łączenie na różne sposoby
nielicznych pojęć prostych. Tę metodę konstruowania pojęć nazywał Leibniz
ars combinatoria. Była ona częścią ogólniejszej metody rachunkowej, która
miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku wszelkich
problemów. Nazywała się ona: mathesis universalis, calculus universalis, logica
mathematica, logistica. Leibniz wiązał ogromne nadzieje z tym uniwersalnym
językiem graficznym. Najlepiej świadczy o tym następujący cytat z jednej z
jego prac: „A gdy to już nastąpi [tzn. gdy uda się urzeczywistnić ideę języka
uniwersalnego — uwaga moja, R. M.], dwaj filozofowie, ilekroć powstanie
spór, nie będą inaczej rozprawiać, aniżeli dwaj rachmistrze. Wystarczy, jeśli
wezmą pióra do ręki, zasiądą do tablic i jeśli jeden drugiemu powie
(używając,
jeśli
chcecie,
przyjacielskiego
zawołania):
Calculemus
(Porachujmy)!” (cytat pochodzi z pracy bez tytułu, napisanej po roku 1648;
por. G.W. Leibniz, Philosophische Schriften, t. 7, ss. 198-201; patrz antologia,
ss. 95-98)” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo
naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 49/. „Leibniz twierdził też, że „wszystkie
odkrycia w matematyce zawdzięcza swemu udoskonalonemu stosowaniu
symboli, a jego wynalazek rachunku różniczkowego był dlań właśnie tego
przykładem” por. L. Couturat, La logique de Leibniz, F. Alcan, Paris 1901, ss.
84-85; Tamże, s. 50.
+ Rachunek wariacyjny Hilbert Dawid (1862-1943). „Urodził się w Królewcu.
Na tamtejszym uniwersytecie studiował w latach 1880-1884 (z wyjątkiem
drugiego semestru, kiedy to studiował w Heidelbergu). Doktorat uzyskał w r.
1885, a w r. 1886 habilitował się i został docentem prywatnym (Privatdozent),
w 1892 zaś – profesorem tejże uczelni. W 1895 r. przeniósł się do Getyngi,
gdzie został profesorem matematyki. Mieszkał tam do końca życia. Był
niezwykle zdolnym i twórczym matematykiem, pracował po kilka lat nad coraz
to innym działem matematyki, wszędzie uzyskując istotne wyniki. Zajmował się
teorią
niezmienników
algebraicznych,
teorią
liczb
algebraicznych,
podstawami geometrii, rachunkiem wariacyjnym, teorią równań całkowych,
teorią liczb oraz podstawami matematyki” /Murawski R. Filozofia
matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 210.
33
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
+ Rachunek wariacyjny wieku XX Zermelo E. F. F. „Zermelo Ernst Friedrich
Ferdinand (1871-1953). Urodził się w Berlinie. Studiował na Uniwersytecie
Berlińskim, który skończył w 1894 r. Pracował następnie na uniwersytetach
w Getyndze, Zurychu i Freiburgu, gdzie też w r. 1906 został profesorem.
Zajmował się teorią mnogości, rachunkiem wariacyjnym, zastosowaniami
rachunku prawdopodobieństwa w fizyce statystycznej” /Murawski R.
Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 220.
+ Rachunek wektorowy aparatem formalno-matematycznym w psychologii
topologicznej; centralną kategorią jest tzw. przestrzeń hodologiczna
(hodological space). „Człowiek przestrzenny w teorii pola / Przestrzeń,
zdaniem Bergsona, to jednolite i puste środowisko, nieskończenie podzielne,
poddające się obojętnie każdemu sposobowi rozkładania. Innymi słowy, jest
to schemat naszego możliwego działania na rzeczy (H. Bergson, Ewolucja
twórcza, s. 143). W innej swej pracy powiada on, że przestrzeń to tor drogi
raz przebytej i jako taka jest ona nieskończenie podzielna (Zob.: H. Bergson,
Myśl i ruch, s. 115). „Tak więc przestrzeń naszej geometrii i przestrzenność
rzeczy rodzą się nawzajem przez obopólne działanie i oddziaływanie dwóch
członów, których jestestwo jest to samo, ale które idą w przeciwnych
kierunkach. Ani przestrzeń nie jest tak obca naszej naturze, jak to sobie
wyobrażamy, ani też materia nie jest tak całkowicie rozciągła w przestrzeni,
jak to sobie przedstawia nasz umysł i nasze zmysły” (H. Bergson, Ewolucja
twórcza, s. 182). Twierdzenie to zrozumieć można lepiej w świetle stworzonej
w połowie naszego wieku przez Kurta Lewina teorii pola. Pole jest to
struktura formalno-matematyczna (w tym wypadku geometryczna), w której
realizuje się zachowanie. Lewin sądzi bowiem, iż ludzkie zachowanie może
być opisywane w terminach rygorystycznej matematyki (postulat formalizacji
humanistyki)” /J. Leman, Człowiek jako „zwierzę” terytorialne, w: Przestrzeń
w nauce współczesnej, t. 2, red. S. Symiotuk, G. Nowak, Wydawnictwo
Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999, 81-107, s. 101/. „W
przypadku psychologii topologicznej za ów aparat formalno-matematyczny
służy mu rachunek wektorowy, centralną zaś kategorią jest tzw. przestrzeń
hodologiczna (hodological space). Ujmuje ona w całości dążenia motywacyjne
osoby i istniejące poza nią przedmioty jej dążeń. Wszelkie nasze zachowania,
takie jak działanie, myślenie, wartościowanie, da się wyrazić jako zmianę
pewnego stanu pola w danym czasie. Pole nie ma charakteru statycznego,
lecz dynamiczny – nieustannie ulega przekształceniom, rozrasta się o nowe
determinanty, które mają wpływ na zachowanie jednostki lub grupy, gdzie
każdy element (punkt) współdziała z innymi, a zmiana napięcia w jednym z
nich natychmiast rodzi tendencję do usunięcia tej różnicy i odtworzenia
równowagi dynamicznej. Siły, jakie rządzą tymi procesami, są dwojakiego
rodzaju: wynikają z samej struktury pola (kognitywnego) oraz wartościowań
(potrzeb i motywacji). „Pierwszy typ sił, prowadzący do zmiany struktury
kognitywnej, jest bardzo podobny, jeśli nie identyczny, do tych sił, które
rządzą polami perceptualnymi” (K. Lewin, Field Theory in Social Science, New
York 1951, s. 83). One bowiem też wypływają z kognitywnej struktury pola”
/Tamże, s. 102.
+ Rachunek wektorowy Mechanika klasyczna stosuje równania
różniczkowe oraz rachunek wektorowy. Rozwój metod matematycznych w
fizyce. „W toku czterech stuleci rozwoju nowożytnej fizyki stosowano w
34
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
niej rozmaite metody matematyczne. Właściwie każda wielka teoria
wymagała nowych narzędzi matematycznych, co chcę przedstawić na
ważniejszych przykładach. Będzie to zresztą jedynie pobieżny rzut oka
na rozwój metod matematycznych w fizyce. Analizując bliżej
stosowanie matematyki w fizyce, można wskazać na kilka
wyłaniających się tu problemów. Wspomnę od razu, że będę korzystał z
interesującej książki rosyjskiego filozofa nauki Igora Akczurina, który
wyróżnia cztery problemy, związane ze stosowaniem matematyki w fizyce
/I. Akczurin, Jedinslwo jestestwienno-naucznowo znanija, Moskwa 1974/.
Pierwszym problemem jest znalezienie odpowiedniego dla danej teorii
narzędzia matematycznego, drugim – związanej z nim przestrzeni
abstrakcyjnej, trzecim – ustalenie obiektów fizycznych, traktowanych
jako elementarne, czwartym – operacji, które przyporządkowują tym
obiektom wyrażenia matematyczne. A treścią teorii są równania,
opisujące ruch wymienionych obiektów lub stosunki pomiędzy nimi.
Oto najważniejsze przykłady” /W. Krajewski, Platońskie inspiracje a platonizm.
O problemach filozoficznych matematyzacji nowożytnej nauki, w: Między
matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D.
Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo
Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 97-109, s. 101/. Klasyczna
mechanika korzysta z takich narzędzi, jak równania różniczkowe oraz
rachunek wektorowy. Jej elementarnymi obiektami są punkty
materialne (i działające na nie siły). Punkt materialny porusza się w
trójwymiarowej
przestrzeni
euklidesowej.
Położeniu
punktu
przyporządkowana jest trójka liczb rzeczywistych. Był to, jak
wiadomo, genialny wynalazek Kartezjusza, podobnie jak pojęcie
pochodnej i równania różniczkowego były genialnymi wynalazkami
Newtona i Leibniza. Podstawową treścią klasycznej mechaniki punktu
materialnego są prawa Newtona. Później, w wiekach XVIII i XIX,
mechanika klasyczna przybierała nowe formy matematyczne (Lagrange,
Hamilton), ale nie będziemy się na tym zatrzymywać” Tamże, s. 102.
+ Rachunek wystawionego przez Prusa B. społeczeństwu. „Omyłka ukazuje
się drukiem pod koniec roku 1884 w numerach 49-52 „Kraju” – pisma
wychodzącego w Petersburgu. […] cenzura petersburska była liberalniejsza
od warszawskiej. „sens uogólniający” Omyłki obejmuje zagadnienia szersze
niż problemy ewokowane przez powstanie styczniowe, że „dotyczy zagadnień
etycznych, czy szerzej: społeczno-etycznych” (E. Pieścikowski, Geneza
„Omyłki”, w: E. Pieścikowski, Nad twórczością Bolesława Prusa, Poznań
1989, s. 52-66). […] Omyłka jednakże to nie tylko utwór o zawoalowanym
powstaniowym temacie, nie tylko próba ukazania bardziej uniwersalnych
podstaw konfliktu światopoglądowego; to również niezwykle interesujący
tekst nowelistyczny, ukształtowany konsekwentnie według przyjętych, w
ramach konwencji realistycznej, założeń formalnych i o wyrazistej strukturze
narracyjno-kompozycyjnej. To ukształtowanie wspomaga, z jednej strony,
kamuflaż tematyczny, z drugiej natomiast – stanowi wartość suwerenną
utworu, ograniczająca doraźną tendencyjność i zbytnią jednoznaczność
sugestii „języka ezopowego”. Już w powierzchniowej warstwie semantycznej
Omyłki toczy się – istotna z punktu widzenia całości tekstu – „gra” pomiędzy
konkretnością obrazu świata a jego nieokreślonością” /T. Bujnicki, Bolesław
35
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Prus Omyłka (poetyka i konteksty), w: Małe formy narracyjne, red. E. Łoch,
Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin, konferencja
naukowa Nałęczów 1991, 11-23, s. 12/. „Budując zamknięty, zakreślony
ramami percepcji narratora mikroświat domu i najbliższej okolicy, pisarz
celowo usunął zeń wszelkie nazwy topograficzne oraz historyczne nazwiska i
zdarzenia. Wypadki rozgrywają się w jakimś miasteczku, w bliżej
nieokreślonym czasie, postaci podejmują jakieś – niejasne – działania, rodzi
się jakieś niebezpieczeństwo, jakieś oddziały toczą bitwę, tajemniczy starzec
jest, według powszechnej opinii, czyimś szpiegiem. W tej pasji zacierania
śladów widoczna jest konsekwencja tak silna, że aż przekracza ona potrzeby
„mowy ezopowej”, stając się elementem poetyki utworu. Równocześnie
jednak różne, dodatkowo wprowadzane do tekstu aluzje i cytaty (np. pieśni
śpiewane przez kasjera w domu rodzinnym narratora, literatura
„przerabiana” na lekcjach, […] tworzą oczywistą, zwłaszcza dla ówczesnego
czytelnika, sugestię, że tłem zdarzeń jest konkretne i rzeczywiste powstanie
styczniowe. Obraz świata nabiera zatem cech wtórnej konkretności i
realności, stając się zarazem znakiem szerszym i na swój sposób
stypizowanym.
Staje
się
–
jedną
z
wielu
możliwych,
choć
zindywidualizowanych, sytuacji powstaniowych. Sytuacja ta odnosi również
utwór do innych kontekstów, związanych z ważnymi przez cały okres
zaborów sporami o granice realizmu politycznego, „mierzenia zamiarów na
siły” i z romantyczna wiarą w sukces przy najbardziej nie sprzyjających
okolicznościach. Omyłka, utwór szczególnie gorzki w swojej wymowie, jest
próbą literackiego rachunku wystawionego przez Prusa społeczeństwu;
obnażeniem werbalnego, bezrefleksyjnego i emocjonalnego „patriotyzmu”,
którego efekty mogą być groźne i niszczące” /Tamże, s. 13.
+ Rachunek z czynów przed Bogiem muszą zdać wszyscy ludzie. „Lękajmy się
przeto, gdy jeszcze trwa obietnica wejścia do Jego odpoczynku, aby ktoś z
was nie mniemał, iż jest jej pozbawiony. Albowiem i myśmy otrzymali dobrą
nowinę, jak i tamci, lecz tamtym słowo usłyszane nie było pomocne, gdyż nie
łączyli się przez wiarę z tymi, którzy je usłyszeli. Wchodzimy istotnie do
odpoczynku my, którzy uwierzyliśmy, jak to powiedział: Toteż przysiągłem w
gniewie moim: Nie wejdą do mego odpoczynku, aczkolwiek dzieła były
dokonane od stworzenia świata. Powiedział bowiem [Bóg] na pewnym
miejscu o siódmym dniu w ten sposób: I odpoczął Bóg w siódmym dniu po
wszystkich dziełach swoich. I znowu na tym [miejscu]: Nie wejdą do mego
odpoczynku. Wynika więc z tego, że wejdą tam niektórzy, gdyż ci, którzy
wcześniej otrzymali dobrą nowinę, nie weszli z powodu [swego]
nieposłuszeństwa, dlatego Bóg na nowo wyznacza pewien dzień – „dzisiaj” –
po upływie dłuższego czasu, mówiąc przez Dawida, jak to przedtem zostało
powiedziane: Dziś, jeśli głos Jego usłyszycie, nie zatwardzajcie serc waszych.
Gdyby bowiem Jozue wprowadził ich do odpoczynku, nie mówiłby potem o
innym dniu. A zatem pozostaje odpoczynek szabatu dla ludu Bożego. Kto
bowiem wszedł do Jego odpoczynku, odpocznie po swych czynach, jak Bóg
po swoich. Śpieszmy się więc wejść do owego odpoczynku, aby nikt nie szedł
za tym samym przykładem nieposłuszeństwa. Żywe bowiem jest słowo Boże,
skuteczne i ostrzejsze niż wszelki miecz obosieczny, przenikające aż do
rozdzielenia duszy i ducha, stawów i szpiku, zdolne osądzić pragnienia i
myśli serca. Nie ma stworzenia, które by było przed Nim niewidzialne,
36
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
przeciwnie, wszystko odkryte i odsłonięte jest przed oczami Tego, któremu
musimy zdać rachunek” (Hbr 4, 1-13).
+ Rachunek zasług i win nie istnieje. „U Blake’a trzy osoby Trójcy Świętej
stają się trzema aspektami jednego Boga – Jezusa. Schodząc między ludzi,
na ziemię, pozostawał On przez cały czas Ojcem, zaś po ukrzyżowaniu
przeobraził się w miłosiernego, odpuszczającego grzechy Jehowę (to imię
Boskie nie odnosi się w tekstach Blake’a do Boga Starego Testamentu). Duch
Święty okazuje się natomiast emanacją Jezusa, duchowym światłem,
źródłem nadprzyrodzonej mocy, która płynie od Boga ku człowiekowi.
Teologia Blake’a wykorzystuje zasadniczo dwie kategorie: Bóg-człowiek i Bógpoza człowiekiem” /E. Kozubska, J. Tomkowski, Mistyczny świat Williama
Blake’a, Wydawnictwo warsztat Specjalny, Milanówek 1993, s. 47/. Tylko
pierwszy jest prawdziwym Bogiem, drugi (Bóg tego świata, Bóg Starego
Testamentu, „Niczyj-Ojciec”, Urizen i wszelki Bóg, który karze za grzechy) jest
zawsze uzurpatorem bądź tworem ludzkiej iluzji. Wezwanie Blake’a powtarza
zatem apele wielkich mistrzów mistyki niemieckiej: Johanna Taulera,
Sebastiana Francka, Valentina Weigla, Angelusa Silesiusa […] Absolutne
prawo zatem nie istnieje, podobnie jak rachunek zasług i win. Jehowa spisał
wprawdzie dziesięć przykazań, lecz powodowany miłosierdziem, ukrył je
przed ludzkością. Posłużył się nimi natomiast Bóg fałszywy – „Bóg tego
świata”. W wizji autora Księgi Urizena kamienne tablice dekalogu
przypominają grobowce albo „drzwi śmierci” wiodące do wnętrza grobu.
Surowe prawo kłóci się z istotą życia, które dąży niezmiennie do wolności, do
likwidacji wszelkich ograniczeń. […] Impuls zostaje udzielony przez Boga, ale
nie powinniśmy sądzić, że przychodzi z zewnątrz: „jesteś Człowiekiem, Bóg
jest niczym więcej” /Tamże, s. 48.
+ Rachunek zbiorów Indywiduum to dowolny przedmiot nie będący zbiorem.
„Sposób rozumienia indywiduum jest ściśle powiązany z koncepcją ogólnych
właściwości przedmiotów abstrakcyjnych (uniwersalia). Dyskutuje się też
problem sposobu urzeczywistnienia indywiduum w sensie jednostkowej
realizacji wzoru gatunkowego oraz bytowego uszczegółowienia w obrębie
określonego gatunku (tzw. zasada jednostkowienia), a także kwestię natury
podstawowych indywiduów oraz sposobu, w jaki tworzą one tzw. indywidua
złożone. W filozofii języka poprzestaje się na określeniu indywiduum jako
odniesienia podmiotu (logicznego) zdania, ponieważ wbrew nominalizmowi
nie udało się wykazać, że można zdania orzekające o abstraktach przełożyć
na zdania orzekające o indywiduach rozumianych jako konkretne bytyprzedmioty. Stałe języka oznaczające indywiduum to stałe indywiduowe (w
językach formalnych symbole a, b, c, ...). W teorii typów B. Russela
(obejmującej rachunek zbiorów i teorię relacji) indywidua są obiektami nie
będącymi ani sądami, ani funkcjami propozycjonalnymi, lecz stanowiącymi
ich nie dające się wyeliminować składniki albo inaczej (unikając terminologii
niedostatecznie odróżniającej przedmioty od odnoszących się do nich
wyrażeń) indywidua nie są relacjami, a więc nie stanowią też relacji
jednoargumentowych (zbiorów lub właściwości). W rachunku zbiorów
indywiduum to dowolny przedmiot nie będący zbiorem” /T. Szubka,
Indywiduum, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL,
Lublin 1997, 184-185, kol. 185.
37
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
+ Rachunek zbiorów w postaci w pełni sformalizowanej teorii zwanej dziś
algebrą Boole’a. „Początków pewnych przynajmniej działów teorii mnogości
szukać należy jednak znacznie wcześniej. I tak na przykład pewne elementy
algebry zbiorów znaleźć można w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibniza,
którego pomysły rozwijali m. in. Johann Heinrich Lambert (1728-1777) oraz
Leonard Euler (1707-1783). Euler podał w szczególności geometryczną
ilustrację stosunków między zbiorami. William Hamilton (1788-1856) i
Augustus De Morgan (1806-1878) próbowali ująć w sposób formalny relacje,
zaś George Boole (1815-1864) jest autorem ujęcia rachunku zbiorów w
postaci w pełni sformalizowanej teorii zwanej dziś algebrą Boole’a (ma ona
zresztą różne interpretacje, niekoniecznie jako algebra zbiorów). Rachunek
relacji w połączeniu z algebrą zbiorów rozwijali też Charles Sanders Peirce
(1839-1914) i Ernst Schroder (1841-1902). Z ogólnym pojęciem zbioru (rozumianym ontologicznie) mamy do czynienia explicite dopiero w pierwszej
połowie XIX wieku. Pojawia się ono mianowicie u Bernarda Bolzana w tomie I
jego Wissenchaftslehre (1837), a później w Paradoksach nieskończoności
(1851) (por. rozdział 1.11). Pewne zaawansowane już rozważania o zbiorach
nieskończonych znaleźć można w pracach Richarda Dedekinda (por. rozdział
1.13) i Paula Du Bois Reymonda (1831-1889) dotyczących analizy. Wszystkie
te badania były jednak tylko fragmentaryczne i dopiero Cantor stworzył coś,
co można było nazwać teorią mnogości. Posługiwał się on przy tym
intuicyjnym tylko pojęciem zbioru, a więc pojęciem niejednoznacznym i
nieprecyzyjnym. Co więcej, okazuje się, że intuicje wiązane z pojęciem zbioru
były różne u różnych matematyków. Następująca anegdota, o której
wspomina Oskar Becker, świadczy o tym dobitnie. „Dedekind wyraził się w
odniesieniu do pojęcia zbioru następująco: wyobraża on sobie zbiór jak
zamknięty worek, który zawiera zupełnie określone przedmioty; przedmiotów
tych jednak nie widzimy i nie wiemy o nich nic, poza tym, że istnieją i są
określone. W pewien czas później Cantor sformułował swój pogląd na zbiory:
uniósł on swą ogromną figurę, podniesionym ramieniem zatoczył wielki łuk i
kierując swój wzrok w nieokreślony punkt powiedział: «Ja wyobrażam sobie
zbiór jako przepaść»„ (por. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher
Entwicklung, s. 316)“ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN
Warszawa 1995, s. 170.
+ Rachunek zdań formalizowany w ramach intuicjonizmu, N. Kołmogorow
(1925) i Walerij I. Gliwienko (1928). Po roku 1928 Brouwer przejawiał raczej
niewielką aktywność matematyczną. „Prawdopodobnie było to skutkiem
konfliktu w łonie komitetu redakcyjnego czasopisma „Mathematische
Annalen” – por. w tej sprawie artykuł D. van Dalena The War of the Frogs and
the Mice, or the Crisis of the „Mathematische Annalen”). Dzieło kontynuowali
jego uczniowie, przede wszystkim Maurits Joost Belinfante i Arend Heyting, a
potem uczniowie Heytinga. I tak Belinfante zajmował się intuicjonistyczną
teorią funkcji zespolonych, Heyting intuicjonistyczną geometrią rzutową i
algebrą, uczniowie zaś Heytinga – intuicjonistyczną topologią, teorią miary,
teorią przestrzeni Hilberta i geometrią afiniczną. Dla doktryny
intuicjonistycznej szczególne znaczenie miały prace Heytinga i jego wysiłki
prowadzące do wyjaśniania idei Brouwera i ich popularyzacji. Bez tego
intuicjonizm zmarłby pewnie śmiercią naturalną w latach trzydziestych.
Zainteresowania
następnych
pokoleń
badaczy
zajmujących
się
38
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
intuicjonizmem dotyczyły jednak – wbrew intencjom Heytinga – nie tyle
realizacji Brouwera programu rekonstrukcji matematyki, ile raczej zagadnień
metamatematycznych. […] Podstawową kwestią, która wymagała rozwiązania,
była sprawa zbudowania systemu logiki dostosowanego do filozoficznych tez
intuicjonizmu. Andriej N. Kołmogorow (1925) i Walerij I. Gliwienko (1928)
podali formalizacje fragmentów intuicjonistycznego rachunku zdań, zaś w roku
1930 Arend Heyting skonstruował pierwszy całościowy sformalizowany
system tego rachunku. Umożliwiło to w szczególności porównanie logiki
klasycznej (arystotelesowskiej) i logiki intuicjonistycznej” /R. Murawski,
Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa
1995, s. 108.
+ Rachunek zdań implikacyjno-negacyjny, w którym dedukcja twierdzeń z
przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i odbywała się według
precyzyjnie na początku określonych reguł wnioskowania, Frege G.
„Powstanie logiki matematycznej związane było z matematyzacją logiki, tzn. z
coraz intensywniejszym, i coraz bardziej owocnym, stosowaniem wzorowanej
na symbolice matematycznej techniki symbolicznej do zagadnień logiki.
Towarzyszyło temu znaczne rozbudowywanie i wzbogacanie tradycyjnej logiki
arystotelesowskiej, będącej przede wszystkim logiką nazw. Prace twórców
nowoczesnej logiki, do których należeli Augustus De Morgan (1806-1871),
George Boyle (1815-1864), Charles Sanders Peirce (1839-1914), Ernst
Schroder (1841-1902) doprowadziły do stworzenia algebry logiki (tak nazywano w drugiej połowie dziewiętnastego i na początku dwudziestego wieku
logikę formalną uprawianą na wzór algebry liczb). Z drugiej strony,
wspomnieć trzeba o pracach logicznych G. Fregego i B. Russella, które należą
do nurtu niealgebraicznego. Właśnie Frege uważany jest za prekursora i
jednego z głównych współtwórców nowoczesnej logiki formalnej. Jego
podstawowe dzieło logiczne Begriffsschrift, eine der arithmetischen
nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) otworzyło nową epokę
w logice formalnej (choć przez współczesnych, zwłaszcza przez przedstawicieli
nurtu algebraicznego, np. E. Schrodera czy Johna Venna, zostało przyjęte
źle). Praca ta zawierała pierwszy w dziejach sformalizowany system
aksjomatyczny, a mianowicie implikacyjno-negacyjny rachunek zdań (w którym
dedukcja twierdzeń z przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i
odbywała się według precyzyjnie na początku określonych reguł
wnioskowania), oraz po raz pierwszy w sposób pełny poddawała analizie
kwantyfikatory i formułowała dla nich odpowiednie aksjomaty. Wszystkie te
prace, należące zarówno do nurtu algebraicznego jak i do niealgebraicznego,
dostarczały niezbędnego aparatu technicznego, na podstawie którego mógł
się rozwinąć logicyzm” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 84.
+ Rachunek zdań intuicjonistyczny jest zawarty w systemie klasycznym.
„System intuicjonistyczny rachunku zdań jest zawarty w systemie
klasycznym. […] A. N. Kołmogorow (1925), Kurt Gödel (1933) i Gerhard
Gentzen (1933, wynik opublikowany dopiero w 1965) dowiedli pewnych
twierdzeń o zanurzeniu logiki klasycznej w logikę intuicjonislyczną. Ważne
okazały się też – zwłaszcza dla teorii dowodu logiki intuicjonistycznej –
zbudowane przez G. Gentzena (1935) rachunki sekwencyjne LK i LJ.
Pozwoliły
one
też
na
strukturalne
wyróżnienie
klasycznego
i
39
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
intuicjonistycznego rachunku logicznego. Dla intuicjonistycznego rachunku
zdań zbudowano też różne semantyki. W roku 1932 K. Gödel udowodnił, że
systemu tego nie można oprzeć na macierzach skończenie wartościowych, zaś
w roku 1935 Stanisław Jaśkowski podał adekwatną macierz nieskończenie
wartościową. W roku 1938 Alfred Tarski zaproponował interesującą
topologiczną interpretację intuicjonistycznego rachunku zdań. Na uwagę
zasługuje też interpretacja dowodowa Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa z
początku lat trzydziestych. Według niej, znaczenie wyrażenia  jest dane
przez wyjaśnienie, co stanowi dowód , przy czym pojęcie dowodu zdania
złożonego określa się poprzez wyjaśnienie, co to znaczy podać dowód jego
podformuł” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo
naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 109/. Wspomnieć też tu należy o
pochodzącej z lat czterdziestych interpretacji Stephena C. Kleene’ego, która
wskazuje na związki między pojęciem funkcji obliczalnych (rekurencyjnych) i
logiką intuicjonistyczną (nazywa się ją interpretacją realizowalności –
realizability interpretation) oraz o modelach Betha (1956-59) i modelach
Kripkego (1965)” /Tamże, s. 110.
+ Rachunek zdań Leśniewski Stanisław (1886-1939). „Urodził się w
Sierpuchowie (Rosja). Studiował filozofię na uniwersytetach we Lwowie (pod
kierunkiem K. Twardowskiego), Lipsku, Zurychu, Heidelbergu i Monachium.
Doktoryzował się we Lwowie w 1912 r. W latach 1919-1939 był profesorem
filozofii matematyki i logiki na Uniwersytecie Warszawskim. Był jednym z
głównych reprezentantów warszawskiej szkoły logicznej. Stworzył kilka
oryginalnych systemów logiki (prototetyka, ontologia i mereologia), będących
rozszerzeniami lub ujęciami alternatywnymi klasycznych teorii mnogości,
rachunku zdań i rachunku nazw” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys
dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 213.
+ Rachunek zdań New Foundations System matematyczny Russela B.
rozwinięty przez Quine’a W. Można w nim rozwinąć rachunek zdań, teorię
relacji, arytmetykę i pewne fragmenty klasycznej teorii mnogości. „Po roku
1931, czyli dacie opublikowania wyników Gödla o niezupełności, następuje
pewien zastój w filozofii matematyki. Ów okres stagnacji trwa do końca lat
pięćdziesiątych. Powstają co prawda w tym okresie nowe koncepcje, ale nie są
one już tak znaczące jak logicyzm, intuicjonizm czy formalizm. Powiedzieć tu
trzeba przede wszystkim o pracach Willarda Van Ormana Quine’a (ur. 1908),
Haskella B. Curry’ego (1900-1982), Kurta Gödla (1906-1978) i Ludwiga
Wittgensteina (1889-1951). […] A. Willard Van Orman Quine zajmuje się
filozofią nauki, jest autorem wielu prac z zakresu semiotyki oraz twórcą
oryginalnego ujęcia logiki i teorii mnogości, opartego na pewnych założeniach
logicystycznych. W pracy New Foundations for Mathematical Logic (1937)
zaproponował mianowicie nowy system teorii mnogości. U jego podstaw leżą
dwie idee zapobiegania antynomiom logicznym: Zermela idea ograniczenia
możliwości tworzenia zbiorów „bardzo dużych” (piszemy o niej obszerniej w
Dodatku I, poświęconym filozofii teorii mnogości) oraz Russella idea typizacji
wyrażeń języka (por. teorię typów omówioną w rozdziale 1). W systemie tym,
zwanym New Foundations (NF), można rozwinąć rachunek zdań, teorię
relacji, arytmetykę i pewne fragmenty klasycznej teorii mnogości” /R.
Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN,
Warszawa 1995, s. 137/. W roku 1940 Quine ogłosił system Mathematical
40
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
Logic (ML), będący rozwinięciem systemu NF. Jeśli chodzi o kwestie filozofii
matematyki sensu stricte, to Quine głosi, że kryteria akceptacji czy odrzucania
teorii matematycznych są analogiczne jak dla teorii fizycznych. Zdaje on sobie
oczywiście sprawę z tego, że w matematyce nie ma eksperymentów. Podkreśla
jednak, że matematykę należy rozważać nie w oderwaniu od innych nauk, ale
jako element ogółu teorii wyjaśniających rzeczywistość. Jest ona tam
niezbędna, zatem istnieją jej obiekty, takie jak zbiory, liczby, funkcje itp. –
podobnie jak istnieją na przykład elektrony (jako jedne z obiektów fizyki
niezbędnych do jej uprawiania). Ten holistyczny pragmatyzm natrafia
oczywiście na rozmaite trudności. Quine twierdzi jednak, że całą naukę
trzeba rozważać jako jedną wielką teorię wyjaśniającą świat, a każdą teorię
wchodzącą w jej skład należy oceniać na podstawie jej zdolności i
przydatności do wyjaśniania wrażeń zmysłowych /Tamże, s. 138.
+ Rachunek zdań rozwijany być może w systemie podanym przez Quine’a W.
„Po roku 1931, czyli dacie opublikowania wyników Gödla o niezupełności,
następuje pewien zastój w filozofii matematyki. Ów okres stagnacji trwa do
końca lat pięćdziesiątych. Powstają co prawda w tym okresie nowe koncepcje,
ale nie są one już tak znaczące jak logicyzm, intuicjonizm czy formalizm.
Powiedzieć tu trzeba przede wszystkim o pracach Willarda Van Ormana
Quine'a (ur. 1908), Haskella B. Curry'ego (1900-1982), Kurta Gödla (19061978) i Ludwiga Wittgensteina (1889-1951). O koncepcjach H. B. Curry'ego i
o tzw. formalizmie ścisłym mówiliśmy już wyżej (w poprzednim rozdziale).
Opiszemy więc teraz tylko trzy pozostałe koncepcje. Willard Van Orman
Quine zajmuje się filozofią nauki, jest autorem wielu prac z zakresu
semiotyki oraz twórcą oryginalnego ujęcia logiki i teorii mnogości, opartego
na pewnych założeniach logicystycznych. W pracy New Foundations for
Mathematical Logic (1937) zaproponował mianowicie nowy system teorii
mnogości. U jego podstaw leżą dwie idee zapobiegania antynomiom logicznym:
Zermela idea ograniczenia możliwości tworzenia zbiorów „bardzo dużych”
(piszemy o niej obszerniej w Dodatku I, poświęconym filozofii teorii mnogości)
oraz Russella idea typizacji wyrażeń języka (por. teorię typów omówioną w
rozdziale 1). W systemie tym, zwanym New Foundations (NF), można
rozwinąć rachunek zdań, teorię relacji, arytmetykę i pewne fragmenty
klasycznej teorii mnogości /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów,
PWN Warszawa 1995, s. 137.
+ Rachunek zdań System intuicjonistycznego rachunku zdań utworzony
przez Heytinga A. nie został nigdy uznany przez Brouwera i szkołę
holenderską za ortodoksyjną kodyfikację logiki intuicjonistycznej. „Ta postawa
sceptyczna ma swe źródło w tezie o zasadniczej niemożliwości wyczerpania
kiedykolwiek ogółu wszystkich procesów myślowych, które mogą być
traktowane jako uprawnione. Związana jest też z przekonaniem, że
jakiekolwiek przedstawienie ludzkiej aktywności matematycznej w postaci
systemu sformalizowanego z jego statycznym charakterem jest w sposób
istotny nieadekwatne, gdyż ta pierwsza jest czymś dynamicznym i nigdy nie
zamkniętym. Żaden więc system sformalizowany nie może być zupełnym i
adekwatnym
opisem
matematyki
intuicjonistycznej.
Matematyka
intuicjonistyczna jest znacznie uboższa niż matematyka klasyczna.
Odpadają w niej spore fragmenty analizy i cała prawie teoria mnogości. Z
drugiej strony, jest ona znacznie bardziej skomplikowana – a w konsekwencji
41
o. prof. Dr hab.
Piotr Liszka CMF
mniej przydatna do zastosowań. Pod adresem intuicjonizmu formułuje się też
inne zarzuty. W szczególności zarzuca się to, że używane przez
intuicjonistów pojęcie intuicji jest mętne i nieprecyzyjne, że wyprowadzanie z
intuicji „dwujedności” praw arytmetyki jest właściwie pseudouzasadnieniem,
czy też to, że odrzucenie matematyki klasycznej oparte jest na arbitralnej
zmianie znaczeń terminów logicznych i matematycznych. Intuicjonizm nie ma
wielu konsekwentnych wyznawców – niemniej jednak wywarł on i nadal
wywiera duży wpływ na badania nad podstawami matematyki. Okazuje się
też, że logika intuicjonistyczna może być użytecznym narzędziem w różnych
działach matematyki, na przykład w teorii toposów czy w teoretycznej
computer science” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów,
Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 111.
42