docWydziaª Zarz¡dzania Matematyka ‚wiczenia Spis tre±ci
download 
Reklamacja Transkrypt
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka ‚wiczenia Spis tre±ci
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Spis tre±ci
1
Logika i zbiory
1
2
Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej
3
3
Ci¡g i granica ci¡gu
6
4
Granica i ci¡gªo±¢ funkcji
8
5
Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala
10
6
Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji
12
7
Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii
13
8
Caªki nieoznaczone
15
9
Caªki oznaczone
17
10 Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta
18
11 Szeregi liczbowe
19
12 Przestrze« wektorowa
20
13 Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki
22
14 Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy
25
15 Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i jednorodne
26
16 Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elementarnych, rozwi¡zania bazowe
27
17 Ukªady nierówno±ci liniowych
28
18 Funkcje wielu zmiennych
30
19 Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient
31
20 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych
33
21 Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe
34
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 1. Logika i zbiory
Zadanie 1.1.
liczbowej.
Dla podanych zbiorów A i B wyznaczy¢ A ∪ B, A ∩ B, A \ B. Wyniki zaznaczy¢ na osi
3x3
4x + 16
a) A = x ∈ R : 2
−
=0
B = {x ∈ R : |x − 1| + |x − 5| > 8}
x −1
x+1
)
(
r
√
1
=2
B = x ∈ R : log2 (x − 1) − 2 log (x − 1) > 0
b) A = x ∈ R : 3 log x + 2 log
x
√
√
B = x∈R: x+1− x−1=1
o
n
1−x
d) A = {x ∈ R : |x − 3| + |x + 4| = 9} B = x ∈ R : 21 |x| ≤ 1
c) A = {x ∈ R : ||x + 1| + 2| = 2}
e) A = {x ∈ R : cos 3x = cos x}
B = {x ∈ R : cos2 2x = 1}
f) A = {x ∈ R : 3 sin x = 2 cos2 x} B = {x ∈ R : sin x − cos 2x = 0}
1
1+x
g) A = x ∈ R : x <
B= x∈R:
>1
x
1−x
x2 + 1
x2
h) A = x ∈ R :
>
B = {x ∈ R : |x + 2| > 3}
x
x+1
(
)
(x + 3)2 (x2 + x + 1)
i) A = x ∈ R :
≥0
B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ 5}
(4 − x) x
j) A = x ∈ R : logx−2 (x − 1) > 1
Zadanie 1.2.
a)
^
Oceni¢ warto±¢ logiczn¡ ka»dego ze zda«, a nast¦pnie napisa¢ jego negacj¦:
x = 2x
b)
x∈R
d)
^
x∈N
g)
^
x∈R
j)
^
x∈N
3x + 1
≥0
2x + 1
e)
_
x∈R
_
|x + 1|
≥
0
h)
x2 + 1
m∈N
^ _
x∈C− y∈N
Zadanie 1.3.
B = {x ∈ R : |2x − 1| < |x + 3|}
x≤y
k)
x+2
x2
≥
x+1
x+1
c)
_
x∈N
_
−2x2 + x − 4
≤
0
f)
−3x2 − 2
x∈C
_
m2 + n2 = 10
n∈N
_
^
y∈N
x∈C−
i)
1
1
≥
x+1
x+2
2x2 − 4x + 2
≤0
−2x2 − 3
^
_
x∈R
y∈R+
y = x2 − 4
x≤y
W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory A × B oraz B × A, je±li:
a) A = {x ∈ R : x = 1, 2, . . .}
B = {y ∈ R : y = 0}
1
1
Logika i zbiory
b) A = {y ∈ R : y ≤ 2} B = {x ∈ R : x > 2}
c) A = {x ∈ R : |x − 2| > 3} B = {y ∈ R : |y + 2| ≤ 3}
x2 − 2x + 1
d) A = x ∈ R :
≥0
B = {y ∈ R : 0 < |y| < 3}
4x − x2
16 − x2
e) A = {y ∈ R : 1 < |y| < 5} B = x ∈ R : 3
x + 27
2y − 1
2
<1
f) A = {x ∈ C : log2 (x − 1) < 3} B = y ∈ R :
y+1
g) A = {x ∈ C : log2 (x + 1) + log2 (x − 1) < 3}
B = (−1, 2)
o
n
x3 − x2 − 4x + 4
B= x∈R:
≤0
h) A = t ∈ R : log 1 (− |1 − t| + 4) < −1
3
x−1
Zadanie 1.4.
W prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych zaznaczy¢ zbiory punktów:
A = {(x, y) : 2x − y − 2 > 0}
B = {(x, y) : x + 3y + 6 ≤ 0}
C = {(x, y) : x − 2y < 0}
D = {(x, y) : x − y ≥ 4 ∧ 2x − y < 6}
E = {(x, y) : 2x + y ≥ 2 ∧ 4x + 2y ≤ 12}
F = {(x, y) : x + 2y > 0 ∧ x < −2}
G = {(x, y) : |x| − 1 < y}
I = {(x, y) : y ≤ 3 − |x − 2|}
H = {(x, y) : |y − 1| + x > 3}
J = (x, y) : 21 x + |y − 2| ≤ 2
K = {(x, y) : |y − 1| − 2 < 3x}
L = {(x, y) : |x − 1| < y}
M = {(x, y) : |x| − |y − 2| ≤ 2}
N = {(x, y) : |2x + 4| − |y| = 4}
O = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 4}
P = {(x, y) : |y − 3| < 2}
Q = {(x, y) : |1 − x| ≥ 3}
R = {(x, y) : |x − 3| ≥ 2}
S = {(x, y) : |y + 1| < 3}
T = {(x, y) : x2 − y 2 ≤ 0}
Zadanie 1.5.
i B:
Zaznaczy¢ w prostok¡tnym ukªadzie wspóªrz¦dnych sum¦, iloczyn i ró»nic¦ zbiorów A
a) A = {(x, y) : |x + 2| < 4}
B = {(x, y) : |x − 1| + y ≥ 3}
b) A = {(x, y) : x2 + y 2 − 2x − 4y ≤ 0}
c) A = {(x, y) : |x| + x = y + |y|}
Obliczy¢:
6
13
3·13!
,
,
,
15!
2
11
B = {(x, y) : x − 4y ≥ 0}
B = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1} .
Zadanie 1.6.
(−1)13! ,
3 P
3
P
k=1 i=1
ki,
3 P
5
P
15
P
k=7
5,
5
P
k=2
5k −
2
k
,
4
P
k=0
k
− 21 ,
5
Q
i=2
ii ,
6
Q
i=0
i2 (i − 1),
3
Q
sin kπ ,
k=0
(3k 2 + 2j).
k=1 j=1
Zadanie 1.7.
Korzystaj¡c z dwumianu Newtona i trójk¡ta Pascala poda¢ wzór na (a + b)6 .
2
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 2. Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej
Zadanie 2.1.
Dla funkcji
Zadanie 2.2.
Dana jest funkcja
1−x
f (x) =
1+x
1
1
znale¹¢: f (0), f (−x), f (x + 1), f (x) + 1, f x , f (x) .
(
f (x) =
2x
dla |x| ≤ 2
x − 1 dla |x| > 2
2
Obliczy¢: f (−1), f (0), f (2), f (−8), f (8).
Dane s¡ funkcje f (x) = x3 − x oraz g (x) = sin 2x. Obliczy¢: f g
g (f (2)), f (f (f (1))).
Zadanie 2.3.
Zadanie 2.4.
π
12
, g (f (1)),
Znale¹¢: f (f (x)), g (g (x)), f (g (x)), g (f (x)), je»eli f (x) = x2 oraz g (x) = 2x .
Wyznaczy¢ dziedziny funkcji:
√
x2
b) f (x) = 4 1 − x2
a) f (x) =
x+1
r
1+x
1
c) f (x) = √
d) f (x) = (x − 2)
1−x
x2 − 4x
√
1
1
e) f (x) = 2 + x − x2 + √
f) f (x) = e x2 −x−2
x2 − 3x
√
1
+ x+2
g) f (x) =
h) f (x) = log |x|
log (1 − x)
Zadanie 2.5.
i) f (x) = log (sin x)
j) f (x) = ln (ex − e)
2x
l) f (x) = arc sin
1+x
x
n) f (x) = 1 + 2
π
− (arc sin x)2
6
k) f (x) = logx 2
m) f (x) = arc cos
√
2x
1 + x2
3 − 2x
p) f (x) = arc sin (1 − x) + log (log x)
5
Zadanie 2.6. Czy funkcje f i g okre±lone nast¦puj¡co:
√
a) f (x) = x2 + 1 i g (z) = z 2 + 1
b) f (x) = x2 i g (z) = z
√
d) f (x) = xx i g (z) = 1
c) f (x) = |x| i g (z) = z 2
o) f (x) =
3 − x + arc sin
e) f (x) = 1 i g (z) = sin2 z + cos2 z
f) f (x) = 1 i g (z) = tg z · ctg z
s¡ równe?
Zadanie 2.7.
Dane s¡ funkcje:
A) f (x) = x3
B) f (x) = sin x
C) f (x) =
1
dla x 6= 0
x
Naszkicowa¢ wykresy funkcji:
a) x 7→ f (x)
b) x 7→ −f (x)
c) x 7→ f (−x)
d) x 7→ f (x) − 1
e) x 7→ f (x + 1)
f) x 7→ f (2 − x) + 1
g) x 7→ |f (x)|
h) x 7→ f (|x|)
3
2
Zadanie 2.8.
Odwoªuj¡c si¦ do wykresów poda¢ zbiory warto±ci nast¦puj¡cych funkcji:
a) f (x) = x −
1 2
2
+3
c) f (x) = |1 − |x − 2|| + 3
Zadanie 2.9.
Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej
b) f (x) = ln (2 − x) + 1 dla x < 2
d) f (x) = 1 − e2−x
Na podstawie wykresów poda¢ wªasno±ci funkcji:
a) f (x) = |x|
b) f (x) = |x| + 1
c) f (x) = |x − 2|
d) f (x) = − |x + 1|
e) f (x) = 2 − |x + 1|
f) f (x) = |4 − x2 |
g) f (x) = x2 − 3x
h) f (x) = (x − 1)2 − 4
i) f (x) = 2x+1
j) f (x) = 2x − 2
k) f (x) = 3x−2 − 1
l) f (x) = 1 −
m) f (x) = log3 (x + 2)
n) f (x) = log 1 (−x) + 1
o) f (x) = tg x −
p) f (x) = −2 sin x
(
x + 1 dla x < 0
s) f (x) =
1 − x2 dla x ≥ 0
q) f (x) = sin 2x
r) f (x) = 2 + sin 2x
Zadanie 2.10.
√
1 + x2
g) f (x) = 1 + cos 2x
j) f (x) =
sin x
x3
Zadanie 2.11.
2 + x2
x2
b) f (x) = x |x|
c) f (x) =
e) f (x) = 3x − 3−x
f) f (x) = x log x2
h) f (x) = sin2 x
i) f (x) = |sin x|
k) f (x) = sin x3
Okre±li¢ funkcje zªo»one f ◦ f ,
a) f (x) = x2 , g (x) = 2x
Zadanie 2.12.
π
2
Wyja±ni¢, które z poni»szych funkcji s¡ parzyste, a które nieparzyste:
a) f (x) = (x − 1)2
d) f (x) =
2
2 x
3
f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g , je»eli:
b) f (x) = 2 + cos x, g (x) =
√
x
Z jakich funkcji zªo»ona jest funkcja:
2 5
a) f (x) = (1 − 3x )
d) f (x) = ln
x2
x
+1
1
b) f (x) =
(1 − x2 )4
c) f (x) =
e) f (x) = sin 2x
f) f (x) = sin2 x
q
3
(4 + 3x)2
4
2
Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej
Znale¹¢ funkcje odwrotne do nast¦puj¡cych funkcji i sporz¡dzi¢ wykresy obu funkcji
w jednym ukªadzie wspóªrz¦dnych:
Zadanie 2.13.
√
a) f (x) = 3x + 5
b) f (x) = x2 dla x ≤ 1
c) f (x) =
d) f (x) = 3x+2 − 1
e) f (x) = log2 (x + 3)
f) f (x) = 1 + log 1 x
2x + 3
2
5
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 3. Ci¡g i granica ci¡gu
Napisa¢ kilka pierwszych wyrazów ci¡gu (an ) okre±lonego nast¦puj¡co:
(−1)n 1 + (−1)n
(−1)n
a) an = 2
b) an = n
c) an =
+
n
2
3
n+1
n
nπ
d) an = (−1)
·
e) an = −n (2 + (−1) ) f) an = sin 2
n+1
n
h) an = 1 + n sin nπ
i) an = 1 +
cos nπ
g) an = (−1)n + sin nπ
2
2
2
n+1
Zadanie 3.1.
Zadanie 3.2.
Obliczy¢ pi¡ty wyraz ci¡gu (an ) , je±li suma jego n pierwszych wyrazów wynosi 4n2 −3n.
Zadanie 3.3.
Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gów o wyrazach ogólnych an + bn , an − bn , an · bn oraz
an
,
bn
je±li:
a) an = 2n2 + 3n − 1, bn = 2n2 + 3n b) an = 3n2 − 7, bn = 2n2 + 4
1
n+1
c) an = n, bn =
d) an =
, bn = n2
n
n
Czy w powy»szych prypadkach mo»na korzysta¢ z twierdzenia o granicy sumy, ró»nicy, iloczynu i
ilorazu ci¡gów?
Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):
Zadanie 3.4.
a) lim (n2 + 5n − 6)
n→∞
6n3 − 1
n→∞ 3n3 + 2n − 4
n−1
g) lim 2
n→∞ n + 2n − 1
3
2n + 3
j) lim
n→∞
n+1
d) lim
1 − 2n
√
n→∞ 2 +
n
r
9n2 + 4n
p) lim
n→∞
n2 + 3
√
s) lim
4n2 + 9n − 2 − 2n
m) lim
n→∞
v) lim 2
1
n
n→∞
y) lim
√
n
n→∞
2n + 3n
sin n
n+1
n
n−1
ae) lim
n→∞
n+2
2
n2
n +9
ah) lim
n→∞
n2
ab) lim
n→∞
b) lim (−2n7 + 3n2 − 4)
n→∞
n2 − 2
n→∞
n
3
n + 2n − 1
h) lim
n→∞
n4 + n
e) lim
1 + 2 + 3 + ... + n
n→∞
(3n − 1)2
√
2+ n
n) lim
n→∞ 1 − 2n
k) lim
q) lim
√
n→∞
t) lim
n→∞
√
3
2n − 1 −
√
n3 + 5 − n
n−7
n2 + 3n
n→∞ n2 − 1
−3n3 + 1
f) lim
n→∞ n2 + 4
(1 − 2n)3
i) lim
n→∞ (2n + 3)2 (1 − 7n)
c) lim
2 + 4 + 6 + . . . + 2n
n→∞
(1 − 9n2 )
√ 2
(3 − n)
o) lim
n→∞
5 + 4n
l) lim
r) lim 3n −
n→∞
√
9n2 + 1
n
u) lim e n+1
n→∞
n−1
2n+1 − 3n+2
x) lim
n→∞
3n+2
q n
n
aa) lim n 21 + 23 +
n→∞
n→∞
√
3
n2 sin n
n
ac) lim 2
sin (3n + 1)
ad) lim
n→∞ n + 1
n→∞
n+1
n+1
2n
2
n+4
af) lim 1 +
ag) lim
n→∞
n→∞
n+1
n
1
1
1
+√
+ ... + √
ai) lim √
n→∞
n2 + 1
n2 + 2
n2 + n
4
−5
w) lim 2n
n→∞ 2
−7
√
z) lim n 4n2 + n + 5
3 n
5
6
3
Ci¡g i granica ci¡gu
Poda¢ wzór na procent skªadany. W którym banku nale»y zªo»y¢ roczn¡ lokat¦ terminow¡, je±li w Banku I dopisuje si¦ 21% co póª roku, natomiast w Banku II dopisuje si¦ 10% co
kwartaª?
Zadanie 3.5.
Zaªó»my, »e fundusz wyj±ciowy 40 000 zª podlega przez 5 lat oprocentowaniu prostemu,
a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Jakiego kapitaªu mo»na si¦ spodziewa¢ po upªywie tego okresu?
Jaki byªby kapitaª w przypadku oprocentowania skªadanego?
Zadanie 3.6.
Niech roczna stopa procentowa wynosi 5%. Po ilu latach odsetki od kapitaªu wyj±ciowego 4000 zª w oprocentowaniu prostym wynios¡ 1000 zª?
Zadanie 3.7.
Odsetki od kapitaªu wyj±ciowego 5400 zª oprocentowanego w systemie prostym przez
9 miesi¦cy wynosz¡ 360 zª. Wyznaczy¢ roczn¡ stop¦ procentow¡.
Zadanie 3.8.
Niech roczna stopa procentowa wynosi 10%. Po ilu latach kapitaª pocz¡tkowy potroi
si¦, je±li oprocentowanie jest:
Zadanie 3.9.
a) proste,
b) skªadane?
(1 ) Do pewnego banku wpªacono 12 000 zª na 3 lata. Jak du»e odsetki wypªaci bank po
tym okresie, je±li stopa procentowa w pierwszym roku wynosiªa 18%, natomiast w latach nast¦pnych
zostaªa zmniejszona do 15%?
Zadanie 3.10.
Pewien starszy pan otrzymaª spadek w wysoko±ci 20 000 zª i zdeponowaª go w banku.
Po 12 latach zgromadzony w banku kapitaª, ów pan podarowaª wnuczce. Jaki du»y posag otrzymaªa
wnuczka, je±li stopa procentowa w banku byªa zmienna i wynosiªa w pierwszych czterech latach 18%,
w nast¦pnych pi¦ciu latach 15%, a przez ostatnie trzy lata byªa na poziomie 10%?
Zadanie 3.11.
1W
zadaniach 3.10 3.11 przyjmujemy, »e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu.
7
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 4. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji
Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice (o ile istniej¡):
√
(x − 1) 2 − x
8x3 − 1
b)
lim
a) lim
2
x→1
x2 − 1
x→ 21 6x − 5x + 1
√
√
√
1 + 2x − 3
x + 13 − 2 x + 1
d) lim √
e) lim
x→4
x→3
x2 − 9
x−2
Zadanie 4.1.
cos x
x→ 2 π − 2x
√
√
1 + x + x2 − 1 − x + x2
j) lim
g) limπ
x→∞
m) lim x ctg 3x,
x→0
√
p) lim
x→0
cos x − 1
x2
q) limπ
x→ 4
d) f (x) =
x+1
1
, x0 = 1 e) f (x) = 2
, x0 = 2
x−1
x −4
1
g) f (x) = 4 x2 −4 , x0 = 2
x+1
x→1 x − 1
b) f (x) =
d) f (x) =
1
, x0 = 3
3−x
1
h) f (x) = e 4−x2 , x0 = −2
b) lim x [x]
x→0
r) lim
c) f (x) =
1
, x0 = 3
(3 − x)2
1
f) f (x) = 2 x−1 , x0 = 1
i) f (x) =
x
1
1 + ex
, x0 = 0
|x − 1|3
x→1 x3 − x2
1
c) lim
d) lim e 1−x2
x→1
Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji f i poda¢ rodzaje nieci¡gªo±ci, je»eli:
2x + 3
dla x ≤ 0
(x − 2)2 dla x > 0
(
l) lim x sin x1
x→∞
2x−5
3x − 1
o) lim
x→∞
2x + 1
Obliczaj¡c granice jednostronne zbada¢, czy istniej¡ granice:
a) lim
a) f (x) =
sin 5x
x→0 sin 3x
x2
2
x +1
i) lim
x→∞
x2 − 2
sin 5x − sin 3x
x→0
sin x
cos x − sin x
cos 2x
1
, x0 = 3
x−3
(
f) lim
1 − cos x
x→0
x2
√
√
k) lim
x+3− x+1
x→∞
x+1
2x + 3
n) lim
x→∞
2x + 1
h) lim
a) f (x) =
Zadanie 4.4.
x→1
1
3
−
1 − x 1 − x3
Obliczy¢ granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 , je±li:
Zadanie 4.2.
Zadanie 4.3.
c) lim
sin x
x
dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
b) f (x) =
3x
(
e) f (x) =
x − 1 dla x < 0
dla x ≥ 0
cos x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
(
c) f (x) =
0
(
f) f (x) =
x
e 1−x dla x 6= 1
dla x = 1
arctg x1 dla x 6= 0
0
dla x = 0
Sprawdzi¢, czy mo»na dobra¢ warto±ci parametrów a i b tak, aby funkcja f : R → R
byªa ci¡gªa, je»eli:
Zadanie 4.5.
8
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
(
a) f (x) =
c) f (x) =
2
b) f (x) =
dla x > 0
(x − a)
(
dla x ≤ 0
2x + 8
dla
−a
x
2x + 3
2
x ≤ −1
dla −1 < x ≤ 1
b (x − 2) + 3 dla
x>1
cos πx
2
dla x ≤ 1
a |x − 1| dla x > 1
1
2 + e x dla x < 0
sin ax
d) f (x) =
dla x > 0
3x
b
dla x = 0
9
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 5. Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala
Zadanie 5.1.
Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji:
a) f (x) = −2x2 + 3x + 1
Zadanie 5.2.
b) f (x) = x−2
c) f (x) = e−x
d) f (x) =
1
sin x
Obliczy¢ pochodne nast¦puj¡cych funkcji:
1) f (x) = 3
2) f (x) = x4 + 3x2 −
5x − 1
3 − 2x
√
7) f (x) = x 1 + x2
1
3
10) f (x) = x + 2 ex
x
√
13) f (x) = 2 x − 3 ln x + 1
4) f (x) =
16) f (x) = log3 x
19) f (x) =
√
x cos x
1
x
+
√
x
x2 − 1
x2 + 1
√
1
8) f (x) = ( x + 1)( √ − 1)
x
5) f (x) =
x3
2
−1
9) f (x) = x2 e
12) f (x) =
14) f (x) = x ln x
17) f (x) = sin x + cos x
18) f (x) = x3 sin x
sin x
x4 + 4
21) f (x) =
22) f (x) = arc sin x + arc cos x
q
25) f (x) = 1−x
1+x
√
1− x
√
28) f (x) = cos
1+ x
3
sin x
31) f (x) =
1 + cos x
23) f (x) = x arc sin x
√
26) f (x) = ln(ex + 1 + ex )
34) f (x) = (2x + 1) 22x+1
35) f (x) = (1 +
37) f (x) = arc sin x2
6) f (x) =
x
4x
ln x
15) f (x) =
1 + x2
11) f (x) = 10x
20) f (x) =
3) f (x) = 2x3 − x2
29) f (x) = (2x3 − 1)5
32) f (x) = cos3 4x
√
4
√
x) tg ( x)
√
38) f (x) = arc sin 4 1 − 5x
sin x − cos x
sin x + cos x
24) f (x) = x + arctg x
2
27) f (x) = e(x −3x−4)
5
1 + x2
30) f (x) =
1+x
√
4x2 + 2
33) f (x) =
3x4
36) f (x) = sin 2x cos2 x
39) f (x) = arctg
2x
1 − x2
Obliczy¢ pochodne f 0 , f 00 , f 000 dla podanych funkcji:
√
a) f (x) = x ln x
b) f (x) = (x2 + x + 1) cos x
c) f (x) = x2 + 1
Zadanie 5.3.
Zadanie 5.4.
Sprawdzi¢, »e funkcja y speªnia warunek:
a) y = ex sin x,
y 00 − 2y 0 + 2y = 0
b) y = ln2 x − 2 ln x,
1
2
y 00 + y 0 − 2 = 0
x
x
10
5
Pochodna funkcji. Reguªa de l'Hospitala
Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢ podane granice:
1
x −1
x
a) lim 2
b) lim+ x ln x
c) lim x e − 1
x→1 x − 1
x→−∞
x→0
Zadanie 5.5.
3
ex − x − 1
d) lim
x→0
x2
e) lim
1 − cos x
x→0
x2
h) lim
ex
x→+∞ x
x→0
g) lim
j) lim
m) lim+
x→1
1
x
−
x − 1 ln x
ln (1 + x)
x
f) lim
x→e
ln x − 1
x−e
sin x
x→0 x cos x
sin x
x→0 x
i) lim
k) lim
ln x
x→+∞ x
ln x
l) lim √
x→+∞
x
n) lim+ xsin x
o) lim− (sin x)tg x
x→0
x→ π2
11
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 6. Badanie przebiegu zmienno±ci funkcji
Zadanie 6.1.
Znale¹¢ asymptoty wykresów nast¦puj¡cych funkcji:
1
1 − x2
x3 + x2
d) f (x) = 2
x −4
√
1 + x2
g) f (x) =
x
a) f (x) =
Zadanie 6.2.
x
x2
c) f (x) = 2
2x + 3
x +1
√
x−3
e) f (x) = √
f) f (x) = 1 + x2 + 2x
x2 − 9
b) f (x) =
h) f (x) =
d) f (x) =
(1 − x)2
2x
e) f (x) = x −
b) f (x) = x − ln(1 + x)
√
x
c) f (x) =
x2
x
+4
f) f (x) = ex + e−x
c) f (x) = (x2 − 3) e−x
Znale¹¢ najwi¦ksze i najmniejsze warto±ci funkcji na wskazanych przedziaªach:
a) f (x) = x2 − 2x + 3, x ∈ [−2, 5]
√
c) f (x) = x − 2 x, x ∈ [0, 5]
e) f (x) = 2 sin x + sin 2x, x ∈ 0, 32 π
Zadanie 6.5.
b) f (x) = x4 + 4x − 2
Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci nast¦puj¡cych funkcji:
a) f (x) = xe−3x
Zadanie 6.4.
i) f (x) = x2 e−x
Wyznaczy¢ ekstrema funkcji:
a) f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x − 14
Zadanie 6.3.
sin x
x
b) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x − 8, x ∈ [−3, 6]
d) f (x) = x2 ln x, x ∈ [1, e]
Wyznacza¢ punkty przegi¦cia, przedziaªy wypukªo±ci i wkl¦sªo±ci funkcji:
a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2
b) f (x) =
x2 − 5x + 6
x+1
c) (x) = x + sin 2x
d) f (x) = xe−x
e) f (x) =
ln x
x
f) f (x) =
Zadanie 6.6.
x4 x3
−
+ x2
12
3
Zbada¢ przebieg zmienno±ci i sporz¡dzi¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji:
a) f (x) = x3 − 3x2 + 4
b) f (x) = (x − 1)2 (x + 2)
x3
d) f (x) =
x−1
ln x
g) f (x) =
x
√
e) f (x) = x 1 − x2
h) f (x) = e−x
2
x
1 − x2
√
f) f (x) = x − x
c) f (x) =
i) f (x) =
ex
x+1
12
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 7. Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii
Zadanie 7.1.
Zbada¢ przebieg zmienno±ci funkcji logistycznej
a
y=
gdzie a, b, c > 0, x ∈ hx0 , ∞) .
1 + be−cx
Naszkicowa¢ wykres krzywej logistycznej.
Zadanie 7.2.
Zbada¢ zale»no±¢ popytu y od dochodu x stosuj¡c:
a) dla dóbr podstawowych funkcj¦ Törnquista pierwszego rodzaju
x
x+b
y=a
gdzie a, b > 0, x ∈ hx0 , ∞) ,
b) dla dóbr wy»szego rz¦du funkcj¦ Törnquista drugiego rodzaju (c oznacza minimalny dochód)
y=a
x−c
x+b
gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) ,
c) dla dóbr luksusowych funkcj¦ Törnquista trzeciego rodzaju
y = ax
x−c
x+b
gdzie a, b, c > 0, x ∈ h0, ∞) .
Poda¢ interpretacj¦ ekonomiczn¡ wynikaj¡c¡ z wykresów tych funkcji.
Zadanie 7.3.
Zbada¢ przebieg zmienno±ci:
a) funkcji Pareta (x 0 oznacza minimalny dochód)
f (x) =
a
(x − x0 )b
gdzie a, b > 0, x ∈ hx0 , ∞) ,
b) prognostycznej funkcji Gomperteza
f (x) = abc
x
gdzie a, b, c > 0
Przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 100, zysk rmy wynosi
f (x) = 144x − x2 − 400 zª (144 zª to bezpo±redni zysk na ka»dej jednostce, lecz koszty reklamy i koszty
staªe powoduj¡ strat¦ x2 + 400 zª ). Firma produkuje obecnie x = 70 jednostek towaru i na ka»dej
jednostce ma zysk f (70)/70 = 4780/70 ≈ 68.29 zª. Czy opªaca si¦ jej zwi¦kszy¢ produkcj¦? Ile wynosi
warto±¢ kra«cowa zysku dla x = 70? Wyznaczy¢ funkcj¦ kra«cow¡ zysku.
Zadanie 7.4.
Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 200, wynosi k(x) = 60x − 0.25x3/2 + 80
zª. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x − 0.03x2 zª. Poda¢ funkcje: kkr (x) kosztu kra«cowego, ukr (x)
utargu kra«cowego oraz zkr (x) zysku kra«cowego. Ile wynosi koszt kra«cowy, utarg kra«cowy oraz
zysk kra«cowy dla x = 100?
Zadanie 7.5.
Zadanie 7.6.
Wyznaczy¢ elastyczno±¢ funkcji:
a) y = 3x − 6
b) y = 1 + 2x − x2
c) y = 2x2 + 3x − 2
d) y = 120 − 0.4x2
e) y = e−x
f) y = x ln x
g) y = x − 6 dla x = 10
h) y = 1 + 2x + 21 x2 dla x = 1
13
7
Zastosowanie rachunku ró»niczkowego w ekonomii
Zadanie 7.7. Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji ka»dej tony wynosi
4700 − 2x zª. Poda¢ elastyczno±¢ kosztu produkcji ze wzgl¦du na wielko±¢ produkcji. Jak wpªynie
zwi¦kszenie obecnej produkcji 86 ton o ka»dy procent na zmniejszenie kosztów produkcji ka»dej tony?
Zadanie 7.8.
Na podstawie okresu 1960 1970 oszacowano kilka wariantów funkcji popytu na obuwie:
y = 0.502 + 0.25x
y = e−0.83 x0.86
y = 1.86 + 0.127t
gdzie x, y , t oznaczaj¡ odpowiednio dochód realny netto na jednego mieszka«ca w tys. zª w roku t,
zu»ycie obuwia w parach na jednego mieszka«ca w roku t, czas (t = 1 dla 1960 roku). Na podstawie
modelu liniowego obliczy¢ elastyczno±¢ dla rocznego dochodu 10000 zª.
Funkcja popytu na pomidory ma posta¢ y = 120 − 0.4x2 , gdzie x oznacza cen¦
pomidorów w zª na kg, natomiast y popyt miesi¦czny w kg na osob¦. Wyznaczy¢ elastyczno±¢ popytu
dla ceny maksymalizuj¡cej utarg.
Zadanie 7.9.
Pewna rma mo»e wyprodukowa¢ x sztuk pewnego towaru miesi¦cznie przy koszcie
produkcji sztuki po 130 − 0.01x zª, za± ka»d¡ sztuk¦ mo»na sprzeda¢ w cenie 800 − 0.5x zª. Ponadto
staªe miesi¦czne koszty rmy wynosz¡ 90000 zª. Firma jest w stanie wyprodukowa¢ miesi¦cznie co
najwy»ej 650 sztuk. Przy jakiej miesi¦cznej produkcji zysk jest maksymalny i ile wynosi?
Zadanie 7.10.
Jakie wymiary powinien mie¢ walec o podstawie koªowej, aby zminimalizowa¢ koszty
materiaªu na jego wykonanie? Walec ma mie¢ pojemno±¢ 8800 cm3 . Na wyci¦cie kóª na obie podstawy
trzeba przeznaczy¢ odpowiednie kwadratowe kawaªki materiaªu. Cena materiaªu na obie podstawy
jest o 10% wy»sza ni» koszt materiaªu na powierzchni¦ boczn¡.
Zadanie 7.11.
14
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 8. Caªki nieoznaczone
Zadanie 8.1.
Wyznaczy¢ t¦ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f (x) =
punkt A(1, −1).
Zadanie 8.2.
Z
a)
W oparciu o wªasno±ci caªek obliczy¢:
3
Z √
√
1
3
2
e)
3 x + 3 − 2x x dx
x
Z q p
√
i)
x x xdx
m)
3
(x2 − 1)
b)
dx
x
√
Z √
x3x+ 4x
f)
dx
x2
Z x
2 − 5x
j)
dx
10x
Z
x
n)
sin2 dx
2
Z
2
(x − 3x + 2x) dx
Z
ln x
, x > 0, do wykresu której nale»y
x
cos 2x
dx
cos x − sin x
Z
x
c)
dx
1−x
Z 2 √
x − x
√
g)
dx
3
x
Z −2x
e
−4
dx
k)
e−x + 2
Z
o)
ctg2 xdx
Stosuj¡c metod¦ podstawiania obliczy¢ caªki:
Z
Z
Z 3x
xdx
xdx
e dx
b)
a)
c)
6
2
2
1+x
1 + e6x
(x + 3)
d)
Z
x4
dx
x2 + 1
h)
Z
√
4
l)
Z
e3x − 1
dx
ex − 1
p)
Z
dx
sin x cos2 x
3x dx
2
Zadanie 8.3.
e)
Z
i)
Z
√
x x − 3dx
m)
Z
dx
√
x x2 − 2
sin xdx
3 + 2 cos x
f)
Z
j)
Z
n)
Z
√
3x + 1dx
xdx
√
x2 − 9
sin x cos xdx
Obliczy¢ caªkuj¡c przez cz¦±ci:
Z
Z
a) x cos xdx
b) x2 ex dx
Z
Z
ln xdx
2
e) x ln xdx
f)
x2
Z
Z
i) x2 sin xdx
j) e2x sin xdx
√
g)
Z
k)
Z
x3 dx
√
1 − x8
o)
Z
cos ln x
dx
x
x 1+
x2 dx
x3 dx
d)
Z
h)
Z
ex
dx
x2
l)
Z
e−4x dx
√
4 + e−4x
p)
Z
q
(1 − x2 )3
1
2
xe−x dx
Zadanie 8.4.
c)
Z
x
e cos xdx
Z
xdx
g)
sin2 x
Z
xdx
k)
cos2 x
Obliczy¢ nast¦puj¡ce caªki:
Z
2
cos xdx
b)
sin2 xdx
d)
Z
h)
Z
l)
Z
x sin x cos xdx
(x − 1) ex
dx
x2
xe−3x dx
Zadanie 8.5.
a)
Z
e)
Z
2
x ln (1 + x ) dx
Z p
2 + ln |x|
f)
dx
x
c)
Z
g)
Z
5
sin x cos xdx
xdx
x4 + 1
d)
Z
cos xdx
√
1 + sin x
h)
Z
x2 dx
√
1 − x6
15
8
Zadanie 8.6.
Caªki nieoznaczone
Dana jest funkcja kosztów kra«cowych produkcji
KK (x) = 0.2x + 11
gdzie x oznacza wielko±¢ produkcji. Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztów caªkowitych, je»eli koszt caªkowity
wyprodukowania 10 sztuk wyrobu wynosi 260 zª.
Zaªó»my, »e funkcja kosztu kra«cowego przy produkcji opon w ci¡gu dnia zale»y od
wielko±ci produkcji x wedªug wzoru
Zadanie 8.7.
f (x) = 10 − 0.4x + 0.09x2 , gdzie x > 0.
Wyznaczy¢ funkcj¦ kosztu przeci¦tnego produkcji opon, je»eli koszty staªe ponoszone w ci¡gu dnia
wynosz¡ 2000 jednostek pieni¦»nych.
16
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 9. Caªki oznaczone
Zadanie 9.1.
Obliczy¢ caªki oznaczone:
a)
Z2
dx
2
x +4
b)
−1
0
π
2
e)
Z1
Z
c)
3
cos xdx
f)
Z
Z1
xe−x dx
d)
Zπ
0
π
4
−π
2
Zadanie 9.2.
dx
√
4 − x2
x dx
cos2 x
g)
Z2
0
1
dx
x2
h)
Ze
1
0
x2 cos xdx
ln x
dx
x
1
Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = x3 − 2x2 − 3x, x = −1, x = 2 i osi¡ OX
b) y =
1
, x = −1, x = 1 i osi¡ OX
1 + x2
c) y = x2 , y 2 = x
d) y = x3 , y = 4x
e) y = 10x , y = 100, y = 10, x = 0
f) y = ex , y = e−x , x = 1
g) y = x2 − 4, y = 4 − x2
x2
1
,
y
=
1 + x2
2
a
i) y = 2 , x = a, x = 2a, y = 0 (a > 0)
x
Zadanie 9.3. Obliczy¢ warto±ci ±rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaªach:
h √ i
x
a) f (x) = sin3 x, x ∈ [0, π] b) g(x) = ex , x ∈ [−2, 2] c) h(x) = √
, x ∈ 0, 22
1 − x2
Zadanie 9.4. Do magazynu nadchodzi towar, przy czym ilo±¢ towaru nadchodz¡cego w jednostce
czasu okre±lona jest funkcj¡ ci¡gª¡ czasu f (t). Obliczy¢ przyrost zapasu w magazynie w odst¦pie
czasu od T1 do T2 .
h) y =
Zapas pewnego wyrobu w magazynie zmniejsza si¦ w czasie t równomiernie z ilo±ci Q
jednostek w momencie pocz¡tkowym, do 0 w momencie ko«cowym. Obliczy¢ ±redni¡ wielko±¢ zapasu
wyrobu w magazynie.
Zadanie 9.5.
Zadanie 9.6.
Przedsi¦biorstwo nabyªo urz¡dzenie, które zapewnia zysk
1 2
Z (t) = 120 − t , t > 0,
5
gdzie t oznacza liczb¦ lat eksploatacji urz¡dzenia. Koszty zwi¡zane z utrzymaniem urz¡dzenia w stanie
sprawno±ci wzrastaj¡ z czasem, przy czym wzrost ten okre±la funkcja
K (t) = t2 .
Obliczy¢ ª¡czny zysk osi¡gni¦ty z urz¡dzenia w okresie jego eksploatacji.
17
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 10. Caªki niewªa±ciwe. Funkcje gamma i beta
Zadanie 10.1.
a)
Z1
Obliczy¢ caªki niewªa±ciwe:
xdx
√
1 − x2
b)
0
f)
k)
Z3
π
xdx
√
x2 − 4
c)
Z2
2
Z∞
0
Z∞
2
g) xe−x dx
dx
x2
0
0
Z∞
Z∞
Z2
−∞
xdx
x4 + 1
m)
3
−∞
dx
x
n)
−1
−∞
Zadanie 10.2.
0
Z∞
dx
dx
e)
2
2
1+x
x +9
√
Z∞
Z0
−x
h) e sin xdx i)
e−x dx
3
(arctg x)2
dx l)
1 + x2
d)
tg xdx
Z∞
Z1
j)
Z−1
dx
x3
−∞
xdx
ln x2
−1
Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a) y = e−x i osiami OX , OY
x
b) y =
i osi¡ OX
1 + x4
1
c) y = p
, y = 0, x = 0, x = 3
3 x
−1
3
1
, y = 0, x = 0, x = 2
|x − 1|
8
e) y = 2
, y = 0, x = 0
x +4
f) y = ln x, y = 0, x = 0, x = e
q
g) y = 3 (x + 1)2 , y = 0, x = 0
d) y =
h) y =
1
, x = 1 i osiami ukªadu wspóªrz¦dnych
x3
Zadanie 10.3.
Czy pole obszaru zawartego mi¦dzy wykresami funkcji y = 2x , y =
jest sko«czone?
Zadanie 10.4.
a)
d)
Z∞
xe
− x2
Z∞
5
b) x 2 e−x dx
dx
√
x xe−3x dx
e)
0
g)
3
2
x (1 − x) dx
h)
0
1
j)
Z3
0
i osi¡ OX
Z∞
c) x6 e−x dx
0
Z∞
f)
x5 e−4x dx
0
1
2
1
2
Obliczy¢:
0
Z∞
Z1
1
x−
x5 (1 − 3x)8 dx
k)
Z1
0
Z∞
√
x 3 xe−2x dx
0
1
2
1
2
x (1 − x) dx
i)
Z1
0
0
Z5
Z1
0
x5 (5 − x)12 dx
l)
x6 (1 − x)4 dx
x3 (1 − x)5 dx
0
18
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 11. Szeregi liczbowe
Wykaza¢, »e nast¦puj¡ce szeregi s¡ zbie»ne oraz wyznaczy¢ ich sumy:
∞ 3n + 2n
∞
P
P
1
b)
a)
6n
n=2
n=1 (n + 1) (n + 2)
Zadanie 11.1.
Zadanie 11.2.
s¡ rozbie»ne:
Korzystaj¡c z warunku koniecznego zbie»no±ci szeregów uzasadni¢, »e podane szeregi
∞
P
n+2
a)
n=1 n + 100
∞
P
n
b)
n=2 ln n
c)
∞
P
n=2
r
n
n
1000
d)
∞
P
n=1
1
1−
n
n
Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:
√
∞
∞ 2n + 1
∞
∞
∞
P
P
P
P
P
n
n+1
1
1
√
b)
n
sin
e)
a)
c)
tg
d)
2
n
3
2
n
n
n=1
n=1 3 − 1
n=1 n + 1
n=1
n=2 n − 3
Zadanie 11.3.
Zadanie 11.4.
a)
∞
P
n
3
3
n=1 n
Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:
∞ 3n − 2n
∞
∞ (n!)(3n)!
∞ (2n)!
P
P
P
P
π
b)
c)
n
tg
d)
e)
n
n
2
2n
2n
n=1 5 − 4
n=2
n=1 [(2n)!]
n=1 n
Korzystaj¡c z kryterium Cauchy'ego zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:
n
n2
n
∞
∞
∞ (n − 5)n
P
P
P
2n + 1
arctg n
n−1
n
√
b)
c)
d)
π
3n + 1
n
π
nn
n=2
n=1
n=1
Zadanie 11.5.
a)
∞
P
n=1
19
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 12. Przestrze« wektorowa
Zadanie 12.1.
Wyznaczy¢ wektor x ∈ R3 , je»eli:
a) x = 2a1 − 3a2 + 12 a3
b) x = a3 − a2 + 2a1
gdzie: a1 = (3, −1, 2), a2 = (−5, 1, −2), a3 = (2, −8, 4)
Zadanie 12.2.
Obliczy¢ wektor x = 2a − 3b + 7c, je»eli:
a) a = (4, −1), b = (3, 2), c = (5, −6)
b) a = (4, 0, −7, 6), b = (3, 2, −18, 7), c = (1, −3, −2, 2)
Zadanie 12.3.
Czy wektor b mo»na zapisa¢ jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów a1 i a2 , je»eli:
a) b = (3, 4), a1 = (1, 2), a2 = (−1, 2)
b) b = (2, 7), a1 = (3, 1), a2 = (−6, −2)
Napisa¢ x = (3, −4, 2) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0),
e3 = (0, 0, 1). Czy mo»na przedstawi¢ e3 jako kombinacj¦ liniow¡ e1 , e2 i x?
Zadanie 12.4.
Przedstawi¢ wektor y = (4, 1, 0, 6) jako kombinacj¦ liniow¡ wektorów: e1 = (1, 0, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)?
Zadanie 12.5.
Zadanie 12.6.
Udowodni¢, »e dane wektory s¡ liniowo niezale»ne:
a) x1 = (2, 7), x2 = (−3, 1)
b) x1 = (1, 3, 1), x2 = (2, 1, 1), x3 = (2, 0, 1)
c) x1 = (1, 1, 1, 1), x2 = (1, 2, 1, 2), x3 = (1, 1, 0, 0)
Zadanie 12.7.
Zbada¢ liniow¡ zale»no±¢ wektorów:
a) x1 = (3, 4), x2 = (−1, 2)
b) x1 = (3, −2, −3), x2 = (1, 2, 1), x3 = (5, 2, −1)
c) x1 = (2, 0, 0, 0), x2 = (−3, 1, 0, 0), x3 = (0, 4, 3, 0), x4 = (4, 2, 1, −7)
Zadanie 12.8.
Wykaza¢, »e wektory:
a) x1 = (0, 2, 1), x2 = (2, 1, 0), x3 = (2, 4, 32 )
b) x1 = (−6, 1, 2), x2 = (3, 2, −1), x3 = (−9, −5, 3)
nie tworz¡ bazy w przestrzeni R3 .
Zadanie 12.9.
Udowodni¢, »e wektory:
a) x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, −1, 0), x3 = (0, 0, 1)
b) x1 = (1, 1, 1), x2 = (1, 1, 0), x3 = (1, 0, 0)
tworz¡ baz¦ w przestrzeni R3 .
Zadanie 12.10.
Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora x = (1, 0, 0) w bazie utworzonej z wektorów:
a) b1 = (1, 1, 1), b2 = (0, 1, 1), b3 = (0, 0, 1)
b) b1 = (1, 1, 0), b2 = (1, −1, 0), b3 = (0, 0, 1)
20
12
Zadanie 12.11.
Przestrze« wektorowa
Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora:
a) x = (4, 2, 0)
b) y = (0, −1, 2)
w bazie utworzonej z wektorów: b1 = (1, 0, 0), b2 = (2, 1, 0), b3 = (3, 2, 1).
Zadanie 12.12.
Obliczy¢ iloczyny skalarne podanych par wektorów:
a) u = (3, 1), v = (2, 1)
b) u = (−1, 5, 2), v = (3, 0, 7)
c) u = (1, 0, 3, 4), v = (8, 5, 0, 1)
d) u = e1 − e2 + e3 , v = 3e1 − 2e3 , gdzie e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Zadanie 12.13.
Obliczy¢ dªugo±ci nast¦puj¡cych wektorów:
a) u = (2, 4, 3)
√ √
b) v = (1, − 3, 5)
c) w = (8, 2, 0, 1)
−→
d) P Q, gdzie P = (1, 2, 3), Q = (4, 6, 15)
Zadanie 12.14.
Czy podane wektory s¡ ortogonalne:
a) x = (1, 1, 0), y = (1, −1, 0)
b) x = (2, −1, 0), y = (1, 0, 1)
c) x = (1, 2, 3, 4), y = (−4, 1, −2, 1)
d) x = (1, 0, −1, 1), y = (3, 1, 3, 0)
Zadanie 12.15.
ortogonalne.
Dobra¢ parametr m tak, aby wektory x = (m, m, 1, 0) i y = (m, 3, 2, 25) byªy
21
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 13. Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki
Wyznaczy¢ macierze A + B , 2A, 2A − B i A − αB ,
"
#
"
#
0 7
3
1
−2 4
a) A =
B=
b) A = 1 0
0 −2
3 5
−2 12
Zadanie 13.1.
"
c) A =
1 −3
"
a) A =
#
"
B=
4 −2
3
Zadanie 13.2.
0
gdzie α ∈ R, za±:
1
−2 1 3
4 B= 0 7 4
3
1 3 2
"
#
"
#
√ #
2
α 1−α
−α 7 + 2α
√
d) A =
B=
1 5 − 3
−3
4
0
3α
2 2
Obliczy¢ (je»eli istniej¡) nast¦puj¡ce iloczyny: A · B , A · B T , B · A, B · AT , gdzie:
1 −3
0
4 −2
3
#
B=
−2 1 3
"
b) A =
0 7 4
1 3 2
3
1
0 −2
#
"
B=
−2 4
#
3 5
Rozwi¡za¢ równanie (ukªad równa«) macierzowe:
"
#
7
0
X +Y =
"
#
"
#
1 −2
1 −4 −2
3 −5 2
a) 2
+X =
b)
"
#
3
7
0
1 −11 3
1
4
2X + 3Y = 5 −1
Zadanie 13.3.
Zadanie 13.4.
7
0
a) 1 −1
Obliczy¢ nast¦puj¡ce wyznaczniki:
1 3 −2
b) 2 4
5
−1 0 −2
c) 7 0 −3 2
2 0
0 4 −4 0
0 0
5 1
0 1
Obliczy¢ wyznaczniki sprowadzaj¡c do postaci trójk¡tnej:
0
−2 4 1 1
3
−2
1 3 1 1
2 −1
4 b) 2 1 4 0 −1 −3 −5
1
−1 2 0 3 −2
1 Zadanie 13.5.
−1
−3
a) 0
1
Zadanie 13.6.
Obliczy¢ poni»sze wyznaczniki korzystaj¡c z rozwini¦cia Laplace'a (a, b, c, d ∈ R):
1 −2
0
0
0
1
3
5
a) 2
4
−1
−1
−2
2
0
1 b) 2 −1
3
0
1
0 −1
1
3
0
1
2
3 −1 −1 −2
0
3
1
2
3 0 −1 −1 1 a
0
c) 1
−5
1 b 2 −1 0 c
3 d 0
1 3 0
22
13
Zadanie 13.7.
Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki
Rozwi¡za¢ równania:
2 x + 2 −1 a) 1
1
−2 = 0
5 −3
x 1+x
1
1
1
1
1−x
1
1
b) 1
1+x
1
1
1
1
1
1−x
=0
Przedsi¦biorstwo wytwarza trzy wyroby w ilo±ciach odpowiednio P1 = 100000 jednostek, P2 = 300000 jednostek, P3 = 200000 jednostek. Do produkcji zu»ywane s¡ materiaªy 1, 2, 3, a
macierz¡ norm ich zu»ycia jest macierz
0, 3 0, 1 0, 0
M = 0, 2 0, 3 0, 2 .
Zadanie 13.8.
0, 1 0, 0 0, 1
Obliczy¢ wektor zu»ycia poszczególnych materiaªów w przedsi¦biorstwie.
Wektorem planowanej produkcji jest P = (100000, 300000, 200000). Przy produkcji
zatrudnieni s¡ robotnicy zaliczani do kategorii 1, 2, 3, 4, 5, 6. Macierz¡ norm pracochªonno±ci jest
macierz
5 1 0
6 0 10
10 4 3
N =
.
0 1 5
10 10 0
0 5 20
Zadanie 13.9.
Obliczy¢ wektor zatrudnienia Z poszczególnych kategorii robotników (w roboczogodzinach).
W przedsi¦biorstwie przemysªowym wytwarza si¦ z pi¦ciu surowców S1 , S2 , S3 , S4 i S5
dwa póªfabrykaty H1 i H2 . Póªfabrykaty w nast¦pnym stadium procesu produkcyjnego s¡ przerabiane
na wyroby gotowe G1 , G2 , G3 i G4 . Macierz¡ norm zu»ycia surowców do produkcji póªfabrykatów jest
macierz S , a macierz¡ norm zu»ycia póªfabrykatów do produkcji poszczególnych wyrobów gotowych
jest macierz H , gdzie:
4 6
"
#
2 4
8
4
6
1
S=
H=
,
0 6
2 6 4 5
2 0
Zadanie 13.10.
10 4
Okre±li¢ planowane zu»ycia surowców, je»eli planowana produkcja towarowa przedsi¦biorstwa obejmuje
wyroby gotowe i póªfabrykaty, a planowane ich wielko±ci s¡ dane w postaci nast¦puj¡cych wektorów
wielko±ci produkcji:
100
"
#
400
200
P =
,
G=
500
100
300
23
13
Macierze, dziaªania na macierzach. Wyznaczniki
gdzie G jest wektorem planowanej wielko±ci produkcji wyrobów gotowych, a P jest wektorem póªfabrykatów przeznaczonych na sprzeda».
24
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 14. Macierz odwrotna. Rz¡d macierzy
Wyznaczy¢ (o ile istnieje) macierz odwrotn¡ do macierzy:
"
#
2
1 3
1 −1 0
1 2 3
0
2 5
a)
b) 2
c) 0 1 5
d)
3 1
0
1
1 1
1 2 3
(z denicji)
−1
Zadanie 14.1.
0 0 4
0 0 1
2 0 0
0 1 0
Rozwi¡za¢ równania macierzowe (X jest macierz¡ o 2 wierszach i 2 kolumnach, Y o
3 wierszach i 2 kolumnach):
"
# "
#
"
# "
#
−1
1
−2 −1
1 3
5 6
a) X ·
=
b) 3 · X +
=
·X
3 −4
3
4
−2 1
7 8
Zadanie 14.2.
c)
1
2
5 −4 · Y = 0 −1
−2 −3
3
2
1
4
Zadanie 14.3.
a)
1 −1
1
Obliczy¢ rz¦dy macierzy za pomoc¡ wyznaczników:
2 6 0
"
b)
1 3 0
−1 3 1
1 3 2 5
2 1 0 2
#
3 −2
c) 4
1
1
3
5 −1
2 −1 −3
d)
5
1 −1
7
7
9
2 −4 0
1 −2 0
Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy metod¡ przeksztaªce«
2
1
1 −1
0 2 1
1 2 5
1
c)
b) 3
a) 2 4 10
1
1 3 2
1
−1 −3 −1 1 0
3 6 15
1
1
Zadanie 14.4.
4 1
elementarnych:
1 1 1
3 1 1
1 4 1
1 1 5
2 3 4
1 1 1
4
7
1
25
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 15. Ukªady równa« liniowych: Cramera, niejednorodne i
jednorodne
Rozwi¡za¢ metod¡ wyznaczników nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:
x1 − 3x2 + 5x3 = −4
− x1 + 2x2 − x3 = 2
b)
2x1 + 5x2 − x3 =
3
3x1 − x2 + x3 = 12
2x1 + 8x2 − 3x3 = 12
− x1 − x2 + 3x3 = −4
x2 − 3x3 + 4x4 = 0
5x1 − 3x2 + 7x3 = 0
x
− 2x3
= 0
1
d)
− 4x1 + x2 − 5x3 = 0
3x1 + 2x2
− 5x4 = 2
x1 − x2 + x3 = 0
4x
− 5x3
= 0
1
Zadanie 15.1.
a)
c)
Zadanie 15.2.
a)
Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:
1 −1
1
x1
−2
1 −3
2 x2 =
−1
2 −1
x3
0
1
"
b)
3 −8
"
c)
1 −2
1
5
2 −3
#
x1
x2 =
x3
"
0
#
0
5 −7
2
1
4
3
#
5
−3
x1
"
x2 =
x3
#
2
1
3
x
3 2 −5 1 0
d)
3 4 −9 x2 = 9
x3
5 2 −8
0
Znale¹¢ rozwi¡zanie ogólne i dwa ró»ne rozwi¡zania szczególne ukªadu równa« liniowych:
+ 2x3 + x4 = 0
− x1
2x1 − x2 + x3 − x4 = 0
2x − x
+ 2x3 − x4 = 0
1
2
b)
− x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0
x1 + 2x2 − x3
= 0
x1 + 2x2
+ x4 = 0
2x + x
+ 3x
= 0
Zadanie 15.3.
a)
1
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
c)
2x1 − 3x2 + 4x3 + x4 = 0
4x1 − x2 + 8x3 + 7x4 = 0
2
3
x1 − x2 + 2x3 = −3
d)
x2 + x3 = −2
x1 − 2x2 + x3 = −1
26
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 16. Ukªady równa« liniowych: metoda operacji elementarnych, rozwi¡zania bazowe
Rozwi¡za¢ metod¡ operacji elementarnych
− 2x2
= −2
x1 + 3x2
b)
2x2 + x3 =
1
x1 + x2
− x3 =
1
2x2
Zadanie 16.1.
a)
x1
c)
x1
x1
a)
= 2
− 2x1 + 4x2 + x3 = 3
− x1
Zadanie 16.2.
(
− 2x2
x1
2x1
+ 2x2 + x3 = 1
nast¦puj¡ce ukªady równa« liniowych:
− x3
= 8
− 3x3 = 2
+ x3
= 5
0
x1 + x2 + x3 =
d)
2x1 − x2 − x3 = −3
x1 − x2 + x3 =
0
Znale¹¢ dowolne rozwi¡zanie bazowe ukªadu równa« liniowych:
0
x1 − x2 + x3 + 2x4 =
− x2 + x3 − x4 = −1
b)
− x1 + 2x2 + x3
=
1
+ x2 − 3x3 + x4 =
5
− 2x2
+ 3x4 = −2
+ x3 + x4
=
5
− 2x1
c)
x1 + x2 − x3
= −2
3x1
+ 2x3
+ x5 = −2
=
1
x1 − 2x2
d)
2x2 + x3 = −1
x1
+ x3 =
0
Znale¹¢ wszystkie rozwi¡zania bazowe nast¦puj¡cych ukªadów
(
x1 + x2 + x3
x1 − 2x2
+ 3x4 = 2
a)
b)
−2x1 + 2x2 + 3x3
−2x1 + 4x2 + x3 + x4 = 3
−x1 + 3x2 + 4x3
Zadanie 16.3.
c)
− 5x2
+ 6x2
x1 − 7x2
8x2 + x3
+ x5 = 3
+ x4
= 3
= 2
= 1
d)
x1
+ x2
+ x3
równa« liniowych:
=
1
= −1
=
0
= 3
− 2x1 + 2x2 + 3x3 = 3
− x1
+ 3x2 + 4x3 = 6
27
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 17. Ukªady nierówno±ci liniowych
Zadanie 17.1.
a)
x1
3x1
x1
3x1
x1
d)
Zaznaczy¢ w ukªadzie wspóªrz¦dnych zbiory rozwi¡za« ukªadów:
+ x2 ≥ 1
x1 − 2x2
1 −2
4
"
#
+ 2x2 ≤ 6
x1 + x2
−1 −1 x1
2
b)
≤
− 2x2 ≤ 4
1
6 c) x1 + x2
0
x2
+ 2x2 ≥ 6
x1
0 −1
0
≤ 6
x2
x1 + x2
#
"
x1 − 2x2
−1 −1
x1 ≤ 2 e)
x1
1
0 x2
6
x2
0
1
3
1 −2
Zadanie 17.2.
4
≥ 2
≤ 4
≥ 5
≤ 5
≤ 6
≤ 3
x1 + x2 ≤ 4
f)
x1 − x2 ≥ 3
x2 ≥ 1
≤ 2
≥ 0
≥ 0
Rozwi¡za¢ gracznie i algebraicznie nast¦puj¡ce ukªady nierówno±ci liniowych:
x1 + x2
x −x
1
2
a)
x1
x2
≤ 10
≤
6
≥
0
≥
0
2
4
3
3
b) 5
1
0
−1
0 −1
180
"
#
180
x1
≤
x
200
2
0
0
Wyznaczy¢ ukªad nierówno±ci, którego rozwi¡zaniem jest zbiór:
#
"
#
" #
" #
" #
x1
x
0
3
0
1
∈ R2 :
= α1
+ α2
+ α3
∧ α1 + α2 + α3 = 1 ∧ αi ≥ 0
x2
x2
0
0
3
Zadanie 17.3.
("
a)
)
dla i = 1, 2, 3
" #
" #
" #
("
#
"
#
" #
0
6
4
0
x1
x
1
∧ α1 + α2 + α3 +
+ α4
+ α3
+ α2
b)
∈ R2 :
= α1
2
6
0
0
x2
x2
)
+ α4 = 1 ∧ αi ≥ 0 dla i = 1, 2, 3, 4
Zadanie 17.4.
Poda¢ analityczny opis zbioru rozwi¡za« ukªadu nierówno±ci:
5x1 + 3x2
6x1 + 4x2 + 3x3
5x2 + 4x3
x1
x2
x3
≤ 150
≤ 120
≤ 200
≥
0
≥
0
≥
0
28
17
Ukªady nierówno±ci liniowych
Przedsi¦biorstwo przemysªu metalowego produkuje dwa wyroby I i II, do których produkcji zu»ywa stal, drewno, tworzywo sztuczne, energi¦ elektryczn¡ oraz prac¦ ludzk¡. Normy zu»ycia
tych czynników produkcji oraz ich zasoby znajduj¡ce si¦ w posiadaniu przedsi¦biorstwa przedstawia
poni»sza tabelka
Zadanie 17.5.
Czynnik
Jednostka
Zasoby
Normy zu»ycia czynników
produkcji
miary
czynnika
I
II
Stal
kg
8000
20
40
Drewno
kg
6400
40
16
Tworzywo sztuczne
kg
6000
30
20
Praca ludzka
roboczo-godz.
1400
10
2
Energia elektryczna
kWh
12500
50
25
Wyznaczy¢ zbiór dopuszczalnych planów produkcji przedsi¦biorstwa.
Zadanie 17.6. Zakªad wytwarza dwa produkty P i W zu»ywaj¡c trzy surowce S1 , S2 , S3 . Normy
zu»ycia surowców na jednostk¦ produktu oraz zasoby surowców podane s¡ w nast¦puj¡cej tabelce
Zu»ycie surowca
Surowiec
na jednostk¦ produktu
Zasoby
P
W
surowca
S1
2
1
30
S2
1
1
25
S3
5
1
60
Wyznaczy¢ zbiór dopuszczalnych planów produkcji zakªadu oraz obliczy¢ ilo±ci niewykorzystanych
surowców przy takich planach produkcji, które s¡ wierzchoªkami zbioru wszystkich dopuszczalnych
planów produkcji.
29
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 18. Funkcje wielu zmiennych
Zadanie 18.1.
Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji z = f (x, y) i przedstawi¢ j¡ gracznie:
a) f (x, y) = p
c) f (x, y) =
1
1
x−y
√
d) f (x, y) = x2 − 1
√
√
f) f (x, y) = x + y
p
h) f (x, y) = x2 + y 2 − 1 + ln (4 − x2 − y 2 )
b) f (x, y) =
x2 + y 2
√
xy
p
e) f (x, y) = x2 − y 2
g) f (x, y) = ln (4 + 4x − y 2 )
i) f (x, y) = arc sin xy
Zadanie 18.2.
Wyznaczy¢ dziedzin¦ i warstwice funkcji:
a) f (x, y) = x2 + y 2
b) f (x, y) = y − x2
d) f (x, y) = xy
e) f (x, y) =
c) f (x, y) =
x2
y
+ y2
9 − x2 − y 2 f) f (x, y) = y 2
p
1
1
g) f (x, y) = 1 − x − y
2
3
Zadanie 18.3.
a)
Wykaza¢, »e nie istniej¡ nast¦puj¡ce granice:
xy
b)
2
(x, y)→(0, 0) x + y 2
lim
Zadanie 18.4.
a) lim
x→0
y→1
x2
c)
(x, y)→(0, 0) x2 + y 2
lim
2x2 + y 2
d)
(x, y)→(0, 0) x2 − y 2
lim
x6
(x, y)→(0, 1) y 2 − 1
lim
Pokaza¢, »e:
1
=1
x + y2
b) lim
x→0
y→0
4
4
x −y
=0
x2 + y 2
2
c) lim
x→0
y→2
q
x2 + (y − 2)2 + 1 − 1
2
x2 + (y − 2)
=
1
2
2
x3
ex +y − 1
d) lim
=
0
e)
lim
=1
x→0 x2 + y 2
x→0
x2 + y 2
y→0
y→0
Zadanie 18.5.
w tym punkcie:
Stwierdzi¢, czy podane funkcje mo»na tak okre±li¢ w punkcie (0, 0), aby byªy ci¡gªe
p
1
9 + x2 + y 2 − 3
1
2
2 x2 +y2
b)
f
(x,
y)
=
x
sin
c)
f
(x,
y)
=
(1
+
x
+
y
)
x2 + y 2
x2 + y 2
ex+y − 1
1
x2
d) f (x, y) =
e) f (x, y) = sin 2
f)
f
(x,
y)
=
x+y
x + y2
x2 + y 2
x4
g) f (x, y) = 2
x + y2
a) f (x, y) =
30
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 19. Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient
Zadanie 19.1.
Wyznaczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:
a) f (x, y) = x3 y + 2xy
c) f (x, y) =
x2
y
+ y2
b) f (x, y) = ex (cos x + x sin y)
d) f (x, y) =
x−y
x+y
2
e) z = xy
f) z = exy
p
g) z = ln x + x2 − y 2
h) z = arc tg
i) f (x, y, z) = x2 y 2 z 4 + 3xy
j) f (x, y, z) = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex
k) f (x, y, z) = ln (x + y + z)
l) f (x, y, z) = sin (x2 + y 2 + z 2 )
m) u = ex (x2 + y 2 + z 2 )
n) u = ex sin yz
y
x
Znale¹¢ elastyczno±ci cz¡stkowe wzgl¦dem ka»dej zmiennej funkcji:
p
2
a) f (x, y) = x3 y + 2xy b) f (x, y) = x2 + y 4 + 2x sin y c) f (x, y) = exy
Zadanie 19.2.
Zadanie 19.3.
Funkcja produkcji pewnego przedsi¦biorstwa jest postaci
z = 2, 08x0,54 y 0,46 ,
gdzie z jest warto±ci¡ produkcji przedsi¦biorstwa w mln zª, x wielko±ci¡ funduszu pªac zatrudnionych
przy produkcji w mln zª, a y warto±ci¡ produkcyjnego maj¡tku trwaªego w mln zª.
a) Obliczy¢ elastyczno±¢ cz¡stkow¡ funkcji produkcji wzgl¦dem wielko±ci funduszu pªac oraz wzgl¦dem wielko±ci produkcyjnego maj¡tku trwaªego.
b) Jak zmieni si¦ warto±¢ produkcji, je»eli zwi¦kszymy tylko zatrudnienie, które spowoduje wzrost
funduszu pªac o 4%?
Zadanie 19.4.
Obliczy¢ wszystkie pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du funkcji:
a) f (x, y) = x3 + xy 2 − 5xy 3 + y 5 b) f (x, y) = xy +
x2
y3
x
c) f (x, y) = xy
x
e) z = ln
y
d) f (x, y) = e y
g) f (x, y, z) = exyz
h) u = e3x+4y cos 5z
Zadanie 19.5.
f) z = arc tg xy
Dana jest funkcja z = xey + yex . Wykaza¢, »e
∂3z ∂3z
∂3z
∂3z
+
=
x
+
y
.
∂x3 ∂y 3
∂x∂y 2
∂x2 ∂y
31
19
Pochodne cz¡stkowe. Pochodna kierunkowa i gradient
Obliczy¢ pochodn¡ funkcji z = x2 y + y 2 w punkcie P0 (1, 1) w kierunku póªosi P0 S o
k¡tach kierunkowych α = 31 π , β = 16 π .
Zadanie 19.6.
Znale¹¢ pochodn¡ funkcji u = xy 2 z 3 w punkcie P0 (3, 2, 1) w kierunku od danego
punktu do punktu P1 (5, 4, 2).
Zadanie 19.7.
Zadanie 19.8.
Znale¹¢ gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x, y) = x2 y 3 − x sin y,
P0 (−2, 0)
y
√
b) f (x, y) = x y + √ ,
P0 41 , 9
x
p
c) z = x2 − y 2 ,
P0 (−5, 3)
d) z = ln(x2 + y 2 ),
P0 (3, −4)
e) f (x, y, z) = x3 + 3xyz + yz 3 ,
10
f) f (x, y, z) = (3x2 y + z 4 ) ,
P0 (5, −2, 1)
P0 (−1, 0, 1)
g) u = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex ,
Zadanie 19.9.
P0 (−1, 1, 0)
Obliczy¢ pochodne kierunkowe funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
a) z = x2 + y 2 ,
P0 (−3, 4), u =
b) z = sin x cos y ,
5
,
13 13
h
√ i
P0 (0, π), u = − 12 , 23
c) f (x, y) = arc tg xy ,
12
P0 (1, 1), u = [1, 1]
d) f (x, y, z) = xy 2 + z 2 − xyz ,
e) f (x, y, z) =
z−x
,
z+y
P0 (1, 1, 2), u = [1, 2, 1]
P0 (1, 0, −3), u = − 67 , 37 , − 27
f) u = ln (x2 + y 2 + z 2 ),
g) u = exyz ,
Zadanie 19.10.
P0 (1, 2, 1), u = [2, 4, 4]
h
√ i
P0 (−1, 1, −1), u = 21 , − 43 , 43
Sprawdzi¢, czy dla funkcji f (x, y) = ln
√
x+
√ y zachodzi to»samo±¢
[x, y] ◦ grad f (x, y) = 12 .
Zadanie 19.11.
Wyznaczy¢ wektor b =
1
2
det Hf (−1, 1) grad f (1, −1) dla funkcji f (x, y) =
y
.
x2
32
20
Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych
Zestaw 20. Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych
Zadanie 20.1.
Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema:
a) f (x, y) = 4x2 y + 8x2 − 31 y 3
b) f (x, y) = 3x3 + 3x2 y − y 3 − 15x
c) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy
p
e) f (x, y) = 2 − 3x2 + y 2
d) f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2
√
f) f (x, y) = (x2 + y) ey
g) f (x, y) = (2x + y 2 )ex
h) f (x, y) = ex−y (x2 − 2y 2 )
i) f (x, y) = sin x + cos y + cos(x − y), gdzie 0 ≤ x, y ≤ π
j) u = 2x2 + y 2 + 2z − xy − xz
k) u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln( 22 − x − y − z)
l) u = x2 − y 2 − z 2 + yz + x + y
Zadanie 20.2.
Znale¹¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji:
a) z = x2 + y 2 − xy + x + y w obszarze x, y ≤ 0, x + y ≥ −3
b) z = x2 − 2y 2 w obszarze x2 + y 2 ≤ 36
c) z = sin x + sin y + sin(x + y) w prostok¡cie 0 ≤ x ≤ π2 , 0 ≤ y ≤
π
2
d) z = xy − x(x + 1) − y(y + 1) w trójk¡cie ograniczonym przez proste x = 0, y = 0, x + y = −4
e) z = x3 + y 3 − 3xy w obszarze 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2
f) z = e−x
2 −y 2
(2x2 + 3y 2 ) w kole x2 + y 2 ≤ 4
g) z = x2 + 3y 2 − x + 18y − 4 w obszarze 0 ≤ x ≤ y ≤ 4
Firma mo»e wyprodukowa¢ dziennie x hektolitrów substancji, któr¡ sprzedaje po
60 zª oraz y hektolitrów substancji, która sprzedaje po 100 zª za hektolitr. Koszty produkcji wynosz¡
(40x+60y +x2 +2y 2 ) zª. Przy jakim wyborze x oraz y zysk b¦dzie najwi¦kszy i ile wyniesie? Rozwa»y¢
dwa warianty:
Zadanie 20.3.
a) gdy daje si¦ wyprodukowa¢ co najwy»ej 8 hektolitrów pierwszej substancji oraz 15 hektolitrów
drugiej,
b) gdy w sumie daje si¦ wyprodukowa¢ 17 hektolitrów obu substancji.
Przedsi¦biorstwo mo»e wytwarza¢ tygodniowo towar X w ilo±ci x ≤ 40 oraz towar Y
w ilo±ci y ≤ 35 lecz w sumie co najwy»ej 70 jednostek. Przedsi¦biorstwo sprzedaje towar X po 570 zª za
jednostk¦, za± towar Y w cenie 790 zª. Koszty produkcji wynosz¡ (370x + 450y + 4x2 − 2xy + 10y 2 + 600)
zª. Jakie ilo±ci obu towarów maksymalizuj¡ zysk i ile on wynosi przy zaªo»eniu, »e przedsi¦biorstwo
podj¦ªo wcze±niej zobowi¡zanie dostarczania:
Zadanie 20.4.
a) po co najmniej 20 jednostek ka»dego z towarów,
b) w sumie co najmniej 55 jednostek obu towarów?
33
Wydziaª Zarz¡dzania Matematyka wiczenia
Zestaw 21. Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe
Zadanie 21.1.
Wyznaczy¢ ekstrema warunkowe funkcji:
a) f (x1 , x2 ) = x1 x2 przy warunku x1 + x2 = 1
b) f (x1 , x2 ) = −x21 + 4x22 przy warunku x21 + x22 = 1
c) f (x1 , x2 ) = −x21 + 4x22 przy warunku x2 = x21 + 1
d) f (x1 , x2 ) = cos2 x1 + cos2 x2 przy warunku x2 − x1 = π4 , gdzie − π8 ≤ x1 , x2 ≤
e) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2 + x3 przy warunku
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
π
8
=1
f) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x22 x33 przy warunku x1 + 2x2 + 3x3 = a, x1 , x2 , x3 , a > 0
g) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 − 2x2 + 2x3 przy warunku x21 + x22 + x23 = 1
Firma wytwarza i sprzedaje produkt X po 80 zª oraz produkt Y po 25 zª. Planuje wyda¢ na produkcj¦ 12 500 zª dziennie. Przy wytwarzaniu x jednostek produktu X i y jednostek
produktu Y koszt produkcji wynosi (128x + 40y − 0, 4x2 + 0, 2xy − 0, 035y 2 + 660) zª. Ile nale»y wytwarza¢ ka»dego z produktów aby zmaksymalizowa¢ zysk?
Zadanie 21.2.
Zadanie 21.3.
ograniczeniach
Znale¹¢ metod¡ graczn¡ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji z = 2x1 + 3x2 przy
3x1 + x2
x1 + 2x2
3x1 + 2x2
x1
x2
Zadanie 21.4.
Zadanie 21.5.
≤ 18
≤ 20
≤ 24
≥0
≥0
Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji f (x1 , x2 ) = 3x1 − x2 na zbiorze
"
"
#
#
7
2
1
x
1
x1
2
S=
∈ R : −2
≤ 3 ∧ x 1 , x2 ≥ 0
1
x2
x2
1
2 −5
Znale¹¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji z = x1 + 2x2 przy ograniczeniach
2x1 + x2
x1 + 3x2
x1 − x2
x1 + x2
x1
x2
≥2
≥3
≤6
≤5
≥0
≥0
Fabryka mebli produkuje stoªy i szafy biblioteczne u»ywaj¡c dwóch ró»nych gatunków
drewna. Fabryka posiada zapasy drewna odpowiednio w ilo±ci: 730 m3 pierwszego gatunku i 560 m3
drugiego gatunku. Na wytworzenie jednego stoªu zu»ywa si¦ 0, 18 m3 drewna pierwszego gatunku i 0, 08
m3 drewna drugiego gatunku, na szaf¦ za± odpowiednio: 0, 09 m3 oraz 0, 28 m3 drewna okre±lonych
gatunków.
Zadanie 21.6.
34
21
Ekstrema warunkowe. Programowanie liniowe
a) Wyznaczy¢ program produkcji, przy którym ª¡czna ilo±¢ wytworzonych stoªów i szaf b¦dzie
najwi¦ksza.
b) Przyjmijmy, »e cena stoªu wynosi 70 zª, szafy 240 zª. Okre±li¢ program produkcji, przy którym
utarg ze sprzeda»y tych wyrobów b¦dzie najwi¦kszy.
Do wyrobu ubra« i pªaszczy chªopi¦cych zakªad krawiecki zu»ywa trzy surowce podstawowe: materiaª, podszewk¦ i watolin¦. Zu»ycie ka»dego z surowców na 1 sztuk¦ odpowiedniego
wyrobu, aktualny stan zapasów tych surowców oraz uzyskiwane ceny hurtowe za 1 sztuk¦ wyrobu
podaje nast¦puj¡ca tabelka:
Zadanie 21.7.
Zu»ycie surowca
Surowiec
na jednostk¦ wyrobu
Zapasy surowca
Ubranie
Pªaszcz
Materiaª
1
2
180
Podszewka
2
2
240
Watolina
0
2
140
Cena jednostki wyrobu w zª
80
130
Wyznacz takie rozmiary produkcji, aby zakªad osi¡gn¡ª najwi¦kszy zysk
Zgodnie ze wskazaniami lekarza dieta zalecona pacjentowi skªada si¦ m.in. z w¡troby
i soku z marchwi. Dzienne spo»ycie tych produktów powinno dawa¢ nie mniej ni» 240 kcal i nie wi¦cej
ni» 20 g biaªka. Wiadomo, »e 100 g w¡troby dostarcza organizmowi 120 kcal i 20 g biaªka, natomiast
100 g marchwi daje 20 kcal i zawiera 1 g biaªka. Ponadto, cena 1 kg w¡troby wynosi 6 zª, a cena 1 kg
marchwi 2 zª. Jakie ilo±ci produktów musi dziennie kupi¢ pacjent tak, aby wypeªni¢ zalecenia lekarza
i jednocze±nie wyda¢ na te diet¦ najmniej pieni¦dzy?
Zadanie 21.8.
Ziemniaki i zbo»a sªu»¡ce jako pasze dla trzody chlewnej zawieraj¡ trzy skªadniki
od»ywcze: S1 , S2 , S3 . Skªadnika S1 powinno by¢ jak najwi¦cej w mieszance otrzymywanej z tych pasz,
natomiast nadmierne ilo±ci skªadników S2 i S3 s¡ szkodliwe. Zawarto±¢ poszczególnych skªadników
od»ywczych w ka»dej z pasz, zapotrzebowanie na ka»dy z tych skªadników oraz ceny pasz podaje
poni»sza tabelka:
Zadanie 21.9.
Skªadnik od»ywczy
Cena
Zawarto±¢ skªadnika
Zapotrzebowanie
od»ywczego w 1 kg paszy
na skªadnik
Ziemniaki
Zbo»a
od»ywczy
S1
4
6
24 (min)
S2
8
6
48 (max)
S3
3
12
36 (max)
4
3
1 kg paszy w zª
Wyznacz takie ilo±ci pasz, aby koszt ich zakupu byª najmniejszy.
35
