#14. Zadania z analizy B, ćwiczenia 19/03, kolokwium 26/03 1

#14. Zadania z analizy B, ćwiczenia 19/03, kolokwium 26/03
2
1. Udowodnij, że funkcja f (x) = β1 (1 + x)β − x − β−1
2 x jest ściśle rosnąca (malejąca) dla
x > −1, jeśli β > 2 (1 < β < 2).
2. Rozwiń podane funkcje we wzór Maclaurina z resztą Rn w postaci Peano:
√
1 + x + x2
sin x
3
2x−x2
(n
=
5),
e
(n
=
6),
sin x3 (n = 13),
log
(n = 6).
1 − x + x2
x
√
P∞
P∞
P∞ −1/2 √2
k 1/2
3. Udowodnij, że k=0 1/2
= 0,
= 2,
= 2 .
k=0 (−1)
k=0
k
k
k
4. Oszacuj błąd bezwzględny przybliżeń:
x2
xn
+ ··· +
2!
n!
1
x3
(|x| ¬
),
tg x ≈ x +
3
10
5. Oblicz granice
ex ≈ 1 + x +
cos x − e
lim
x→0
x4
−x2
2
,
sinh(tg x) − x
,
x→0
x3
lim
(0 ¬ x ¬ 1),
√
1+x≈1+
ex sin x − x(1 + x)
,
x→0
x3
lim
1 − (cos x)sin x
,
x→0
x3
lim
sin x ≈ x −
x x2
−
2
8
x3
6
(|x| ¬
1
),
2
(0 ¬ x ¬ 1).
√
√
√
lim x3/2
x+1+ x−1−2 x ,
x→∞
1
1
lim
−
.
x→0 x
sin x
6. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcje sin x cos x, sin2 x, cosh2 x.
7. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcje arsh x i arc cos x.
π
k
P∞
−1/2
= 2.
8. Pokaż, że n=0 (−1)
2k+1
k
9. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją monotoniczną. Pokaż, że f ma wszędzie granice jednostronne.
10. Udowodnij, że jeśli f : R → [0, ∞) jest parzystą funkcją podaddytywną, to
|f (x) − f (y)| ¬ f (x − y),
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
x, y ∈ R.
Pokaż, że funkcja x → |x|α , gdzie 0 < α ¬ 1, jest lipschitzowska na przedziale [1, ∞).
Pokaż, że funkcja f (x) = xα dla α > 1 jest lipschitzowska na przedziale [0, 1].
Sprawdź, że funkcja x → xx na przedziale (0, 1) jest podaddytywna.
Przypomnij dowód równoważności definicji ciągłości Cauchy’ego i Heinego i zaadaptuj go
do przypadku jednostajnej ciągłości.
Oblicz
log(2n + xn )
lim
,
x > 0.
n→∞
n
Dana jest ciągła funkcjia f : R → R. Pokaż, że f jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego ciągu xn → 0 ciąg funkcyjny fn (x) = f (xn + x) jest zbieżny
jednostajnie do f .
√
Pokaż bezpośrednio, nie korzystając z twierdzenia Weierstrassa, że funkcję x → x można
aproksymować jednostajnie wielomianami na odcinku [1/2, 3/2]. W tym celu rozwiń tę
funkcję w szereg Taylora wokół 1.
Niech f : (a − , b + ) będzie funkcją
różniczkowalną
w sposób ciągły. Udowodnij, że ciąg
ilorazów różnicowych fn (x) = n f (x + n1 ) − f (x)
jest zbieżny jednostajnie do f 0 na [a, b].