x - Uniwersytet Jagielloński

POCHODNE
dr Sławomir Brzezowski
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego
Uniwersytet Jagielloński
Zawarte w tym opracowaniu materiały przeznaczone są do wspomagania pracy studentów w czasie
zajęć laboratoryjnych w I Pracowni Fizycznej IF UJ.
Bez pojęcia pochodnej nie da się uprawiać fizyki, z czego przyrodnicy zdali sobie sprawę juŜ w wieku XVII – tak
więc moŜna powiedzieć, Ŝe jest to temat bardzo stary. NiŜej znajdą Państwo krótki, wykład o pochodnych. Pochodna
przedstawiona jest poglądowo; za kilka miesięcy Wasz wykladowca matematyki zapewne przedstawi to zagadnienie bardziej
eleganckim językiem.
Wyobraźmy sobie funkcję f ( x ) , którą da się opisać gładkim wykresem. Pod pojęciem „gładki”
przyjmiemy prowizorycznie wykres o „płynnych zakrętach”, pozbawiony ostrych załamań (bo matematycy
ujmują to inaczej).
Spróbujmy teraz zdefiniować jakąś wielkość, która będzie zdawała sprawę z szybkości zmieniania się
wartości funkcji f ( x ) , gdy zmienia się x . Przesuwamy się więc wzdłuŜ osi x o niewielki odcinek ∆x i
obserwujemy, jak zmienia się wartość funkcji. Niech przyrost funkcji nad odcinkiem
Na podstawie rysunków moŜemy stwierdzić, Ŝe iloraz
∆x wyniesie ∆f .
∆f
jest duŜy tam, gdy wykres funkcji stromo się
∆x
x , gdzie wykres jest prawie poziomy (prawy rysunek).
∆f
Chcąc uchwycić ilościowo nachylenie wykresu nad wybranym punktem x , naleŜy obliczyć wielkość
dla
∆x
bardzo małego przedziału ∆x zawierającego punkt x , a najlepiej rozwaŜyć granicę
podnosi (lewy rysunek), i jest mały w tych okolicach osi
lim
∆x →0
∆f
f ( x + ∆x ) − f ( x ) df
= lim
≡
.
∆
x
→
0
∆x
∆x
dx
df
po prawej stronie ostatniej równości jest uzasadnionym umownym znakiem drukarskim
dx
∆f
zastępującym pełny zapis granicy ilorazu
, stojący po stronie lewej: w rachunku róŜniczkowym, którego
∆x
elementy tu poznajemy, symbol „ d ” umieszczony przed dowolną wielkością oznacza bowiem nieskończenie
∆f
mały przyrost tej wielkości. Występującą w definicji pochodnej wielkość
nazwano ilorazem róŜnicowym.
∆x
df
Zamiast symbolu
uŜywa się często zapisu f ′ .
dx
Symbol
Oczywiście przejście graniczne ∆x → 0 wykonać naleŜy w ten sposób, aby zmierzający do zera
przedział ∆x wciąŜ zawierał w sobie punkt x . MoŜna się na przykład umówić, aby przedział ∆x rozciągał się
od punktu x do punktu x + ∆x . RozwaŜając (w wyobraźni) coraz mniejsze przedziały ∆x , zrozumiemy, Ŝe
dr Sławomir Brzezowski
2
szukana granica równa jest tangensowi kąta
poniŜej).
ϕ
nachylenia stycznej do wykresu funkcji nad punktem x (rysunek
df
nazywamy pochodną funkcji f ( x ) po zmiennej x . Pochodna funkcji f
dx
teŜ jest funkcją zmiennej x , co łatwo stwierdzić patrząc na rysunek: nachylenie wykresu nad punktem x zaleŜy
RozwaŜaną tu granicę
od wyboru tego punktu.
Zanim udowodnimy kilka poŜytecznych twierdzeń pomocnych w obliczaniu pochodnych, znajdziemy
pochodne kilku prostych funkcji.
Zacznijmy od funkcji stałej:
f ( x) = C .
Wykres tej funkcji jest oczywiście prostą linią poziomą. Kąt
kaŜdej wartości x ), czyli pochodna ze stałej wynosi zero (bo
Obliczmy teraz pochodną funkcji liniowej
ϕ
wynosi więc w tym wypadku zero (dla
tg 0 = 0 ).
f ( x ) = ax + b .
Wykres funkcji jest w tym przypadku linią prostą (zwykle nachyloną). Kąt nachylenia stycznej do
wykresu tej funkcji (styczna pokrywa się tu z wykresem funkcji) jest wszędzie taki sam i jego tangens – jak
wiemy ze szkoły – wynosi a . JuŜ tylko dla ćwiczenia obliczamy:
[a(x + ∆x ) + b] − [ax + b] = a .
d (ax + b )
′
≡ (ax + b ) = lim
∆
x
→
0
dx
∆x
W szczególności dla funkcji
f ( x ) = x otrzymamy
Obliczmy jeszcze pochodną z funkcji
df
= x′ = 1 .
dx
x2 :
( x + ∆x ) − ( x 2 )
d ( x2 )
x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 − x 2
2 x∆x − ∆x 2
2 ′
≡ ( x ) = lim
= lim
= lim
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0
dx
∆x
∆x
∆x
(
)
= lim 2 x − ∆x = 2 x
2
∆x → 0
i pochodną dowolnej potęgi
f ( x ) = x n dla naturalnego wykładnika n :
(x )′ = lim (x + ∆∆xx)
n
n
∆x →0
dr Sławomir Brzezowski
− xn
x n + nx n−1∆x + ∆2 − x n
= nx n−1 .
∆x →0
∆x
= lim
3
Umownym symbolem ∆ oznaczyliśmy sumę wszystkich składników wyraŜenia
dwóch jawnie wypisanych. Obliczając iloczyn
2
( x + ∆x ) n , oprócz
( x + ∆x ) n = ( x + ∆x )( x + ∆x )...( x + ∆x )
łatwo się przekonać, Ŝe składniki wyraŜenia ∆ są proporcjonalne do przyrostu ∆x podniesionego do drugiej
lub wyŜszej potęgi, co prowadzi do powyŜszego wyniku. MoŜna pokazać, Ŝe wyprowadzony przez nas wzór
2
( x n )′ = nx n −1
jest prawdziwy dla dowolnych (niekoniecznie naturalnych) liczb n , czyli na przykład
′
′
1 −3
1
 1 
−1
.

 = x 2 =− x 2 =−
 x
2
2x x
( )
Na koniec obliczymy pochodne funkcji sinus i kosinus:
sin ( x + ∆x ) − sin x
sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x
(sin x )′ = ∆lim
= lim
x →0
∆x →0
∆x
∆x
sin ∆x
1 − cos ∆x 

= lim cos x
− sin x
.
∆x → 0 
∆x
∆x 
Musimy więc zbadać dwie granice:
lim
δ →0
sin δ
δ
oraz
lim
δ →0
1 − cos δ
δ
.
Zacznijmy od tej pierwszej. Jak wiadomo, dla małego kąta
wyraŜonego w mierze łukowej. Dlatego
lim
δ →0
sin δ
δ
δ
jego sinus upodabnia się do samego kąta
= 1.
Dla obliczenia drugiej granicy posłuŜymy się rysunkiem, na którym pokazano fragment wykresu funkcji
cos δ w okolicy punktu δ = 0 . Szukamy granicy stosunku długości dwóch odcinków
lim
β →0
AB
= lim tgβ = 0 .
BC β →0
Ostatecznie mamy więc:
(sin x)′ = cos x .
Podobne rozumowanie prowadzi do wzoru
(cos x)′ = − sin x .
Pominiemy wyprowadzenia następujących pochodnych:
dr Sławomir Brzezowski
4
(a x )′ = a x ln a ,
( x x )′ = x x ( ln x + 1) ,
( ln x ) ′ =
1
.
x
Przejdźmy teraz do funkcji bardziej skomplikowanych. Okazuje się, Ŝe obliczanie pochodnych takich
funkcji moŜliwe jest po udowodnieniu dodatkowych trzech ogólnych wzorów.
1. Pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych tych funkcji
(f
′
+ g ) = f ′ + g′ .
Dowód:
Obliczamy granicę ilorazu róŜnicowego
d ( f + g)
[ f ( x + ∆x) + g( x + ∆x)] − [ f ( x) + g( x) ]
= lim
∆x → 0
dx
∆x
= lim
∆x →0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
g( x + ∆x ) − g( x ) df dg
,
+ lim
=
+
∆x →0
dx dx
∆x
∆x
c.b.d.o.
2. Pochodna iloczynu funkcji ma postać (tzw. wzór Leibniza)
[ f (x )g (x )]′ =
f ′g + fg ′ .
Dowód:
Badamy granicę ilorazu róŜnicowego
lim
∆x → 0
w liczniku
f ( x + ∆x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g ( x )
=
dodajemy zero
∆x
= lim
f ( x + ∆x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g ( x + ∆x ) + f ( x ) g ( x + ∆x ) − f ( x ) g( x )
∆x
= lim
f ( x + ∆x) − f ( x)
g( x + ∆x) − g( x) df ( x)
dg( x)
,
g( x + ∆x) + lim f ( x)
=
g( x) + f ( x)
∆x →0
∆x
∆x
dx
dx
∆x → 0
∆x →0
c.b.d.o.
3. Pochodna funkcji złoŜonej. (Przykład: funkcja
g( x ) = x 2 z funkcją f ( g ) = sin g )
dr Sławomir Brzezowski
5
sin( x 2 ) jest złoŜeniem funkcji potęgowej
[ f (g (x ))]′ = df
dg
.
dg dx
Dowód:
Obliczamy granicę
∆f
∆f ∆g
∆f
∆g df dg
= lim
= lim
lim
=
,
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆g ∆x
∆g → 0 ∆g ∆x → o ∆x
dg dx
lim
c.b.d.o.
[sin(x )]′ = [cos(x )][2 x] = 2 x cos(x ) ) .
2
(Na przykład
2
2
Korzystając z wyŜej wyprowadzonych wzorów moŜna latwo pokazać, Ŝe
′
 f ( x) 
f g′ − fg ′

 =
.
g2
 g ( x) 
Wystarczy potraktować ułamek po lewej stronie jako iloczyn dwóch funkcji: funkcji
f ( x ) i funkcji
1
−1
, z zastosowaniem zasad roŜniczkowania funkcji złoŜonej w odniesieniu do funkcji ( g ( x )) .
g (x )
Jako ćwiczenie naleŜy napisac sobie kilka coraz bardziej skomplikowanych funkcji i obliczyć ich
pochodne. Okaze się, Ŝe kilka podanych tu wzorow wystarczy do obliczenia pochodnej kaŜdej funkcji.
Przyklad:
Obliczamy pochodną funkcji
f (x ) =
1
a x . Na wstępie analizujemy strukturę funkcji. Mamu tu
2 + sin 2 x
iloczyn dwóch funkcji (tego ułamka i funkcji wykładniczej), a sam ułamek jest funkcją złoŜoną. Przystępujemy
do róŜniczkowania. Do iloczynu stosujemy wzor Leibnitza:
′
′
df
1
1

 x
≡ f '= 
a x . W pierwszym składniku pozostało doliczyć pochodną
a +
2
2
2 + sin x
dx
 2 + sin x 
( )
′
1


x ′

 , w drugim – pochodną a .
2
 2 + sin x 
( )
Na tę drugą znajdziemy wyŜej gotowy przepis
(a x )′ = a x ln a .
′
1


2
Pozostaje obliczyć pochodną 
 , czyli 2 + sin x
2
 2 + sin x 
((
)
Najbardziej „zewnętrzną” funcją jest podnoszenie do potęgi -1, tak więc:
((2 + sin
2
x
)
−1
)′ = (−1)(2 + sin
dr Sławomir Brzezowski
2
x
) (2 + sin x )′ .
−2
2
6
−1
)′ . Mamy tu funkcję złoŜoną.
(
)′
Pozostaje obliczyć pochodną 2 + sin x . Mamy tu sumę dwóch funcji: jedna jest stałą (ta dwójka),
druga – kwadratem sinusa. Jak juŜ wiemy, pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych:
2
(2 + sin x )′ = 2′ + (sin x )′
2
2
Pierwsza z tych pochodnych wynosi zero, druga jest znowu pochodną funkcji złoŜonej. Najbardziej
zewnętrzne jest podnoszenie do kwadratu, czyli
(sin x )′ = 2(sin x ) (sin x )′ = 2 sin x cos x .
1
2
Wystarczy teraz wszystko podstawić na swoje miejsce:
(
df
≡ f ′ = (−1) 2 + sin 2 x
dx
) (2 sin x cos x )a
−2
x
+
1
a x ln a .
2
2 + sin x
Jak to zwykle bywa przy róŜniczkowaniu, taki „surowy” wzór na pochodną funkcji wyjściowej, moŜe być
przekształcony do bardziej czytelnej postaci. W tym przypadku moŜemy go na przykład zapisać tak:
 ln a
df
sin 2 x 
≡ f ′ = ax 
−
.
2
2
2
dx
2
+
sin
x
2
+
sin
x


(
)
Mając pochodną funkcji moŜemy łatwo obliczyć jej przyrost (róŜniczkę)
jakiejś wartości
df =
df , gdy zmienna x rośnie od
x do x + dx :
df
dx (wartość pochodnej w punkcie x pomnoŜona przez przyrost dx ).
dx
Dla małego (ale nie nieskończenie małego) przyrostu ∆x podobny wzór na przyrost funkcji:
∆f =
df
∆x
dx
daje oczywiście wynik przybliŜony.
W przypadku funkcji wielu zmiennych f ( x1 , x 2 ,..., xn ) zmianę wartości funkcji, wywołaną przez
przejście od kompletu wartości zmiennych x1 , x2 ,..., x n do wartości zmienionych
(x1 + dx1 ), (x2 + dx2 ), ..., (xn + dxn ) , oblicza się w zaskakujaco prosty sposób. Obliczamy pochodną tej
x1 (traktując pozostałe zmienne, jak stałe – jest to tak zwana pochodna cząstkowa po
∂f
zmiennej x1 , oznaczana symbolem
) i tak obliczoną pochodną (wzięta w punkcie x1 , x2 ,..., x n ) mnoŜymy
∂x1
∂f
przez przyrost dx1 , do tego dodajemy
dx2 i tak dalej, czyli
∂x2
funkcji po zmiennej
df =
∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + .. +
dxn .
∂x1
∂x2
∂xn
dr Sławomir Brzezowski
7
Tak więc jeŜeli na przykład chcemy wyliczyć zmianę objętości walca
V (r , h ) = πr 2 h , gdy promień
podstawy zmieni się o dr , a wysokość o dh , to
dV =
∂V
∂V
dr +
dh = (2πrh )dr + πr 2 dh .
∂r
∂h
( )
Dla przyrostów małych, ale nie nieskończenie małych, odpowiedni wzór
∆V =
∂V
∂V
∆r +
∆h = (2πrh )∆r + πr 2 ∆h
∂r
∂h
( )
daje wynik przybliŜony.
dr Sławomir Brzezowski
8