Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªkowanie funkcji

dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
7 marca 2016
Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Caªkowanie funkcji wymiernych.
Informacje pomocnicze:
Denicja 1. (uªamki proste)
Wyra»enia postaci
A
, gdzie A, d, e ∈ R, n ∈ N
(dx + e)n
nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju.
Wyra»enia postaci
Bx + C
, gdzie B, C, a, b, c ∈ R, k ∈ N, oraz ∆ = b2 − 4ac < 0
2
k
(ax + bx + c)
nazywamy uªamkami prostymi drugiego rodzaju.
Przypomnijmy znan¡ ju» denicj¦:
Denicja 2. Funkcj¡ wymiern¡ nazywamy iloraz dwóch wielomianów:
f (x) =
Pn (x)
Qm (x)
gdzie Pn (x) jest wielomianem stopnia n, a Qm (x) to wielomian stopnia m. Ponadto je»eli n < m, to
tak¡ funkcj¦ nazywamy funkcj¡ wymiern¡ wªa±ciw¡.
Twierdzenie 3.
Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ wªa±ciw¡ postaci:
W (x) =
Pn (x)
,
Qm (x)
gdzie
(1)
n<m
mo»na w sposób jednoznaczny rozªo»y¢ na sum¦ uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.
Algorytm rozkªadania na uªamki proste funkcji wymiernej wªa±ciwej:
1. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) =
P (x)
Q(x)
zgodnie z wªasno±ci¡:
wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y¢ na iloczyn wielomianów rzeczywistych
co najwy»ej drugiego stopnia;
rozkªadamy do postaci:
Q(x) = qm (x − e1 )n1 (x − e2 )n2 · · · (x − el )nl · (x2 + b1 x + c1 )k1 . . . (x2 + br x + cr )kr ,
gdzie δi = b2i − 4ci < 0 dla i = 1, 2, ...., r.
2. Wspóªczynnik qm przyjmujemy, »e jest równy 1. Mo»na tak zrobi¢, o ile podzielimy licznik i
mianownik wyra»enia W (x) przez qm .
1
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
7 marca 2016
3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast¦puj¡cy sposób na sum¦ uªamków prostych pierwszego i
drugiego rodzaju:
P (x)
pn xn + pn−1 xn−1 + . . . + p1 x + p0
W (x) =
=
Q(x)
(x − e1 )n1 (x − e2 )n2 · · · (x − el )nl · (x2 + b1 x + c1 )k1 . . . (x2 + br x + cr )kr
A1
A2
B1
B2
An1
Bnl
+
+
.
.
.
+
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
=
x − e1 (x − e1 )2
(x − e1 )n1
x − el (x − el )2
(x − el )nl
C1 x + D1
C2 x + D2
Ck x + Dk1
+ 2
+ 2
+ ··· + 2 1
2
x + b1 x + c1 (x + b1 x + c1 )
(x + b1 x + c1 )k1
E2 x + F2
E1 x + F1
Ek x + Fkr
+ 2
(2)
+ ··· + 2
+ ··· + 2 r
2
x + br x + cr (x + br x + cr )
(x + br x + cr )kr
4. Aby wyznaczy¢ wspóªczynniki A1 , A2 , . . . , B1 , B2 , . . . C1 , D1 , . . . , Ekr , Fkr nale»y sprowadzi¢ praw¡
stron¦ (2) do wspólnego mianownika, a nast¦pnie porówna¢ licznik otrzymanego wyra»enia z
wielomianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych.
5. Caªki uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju wyliczmy jak poni»ej.
Uwaga 4. Je»eli W (x) =
oraz stopie« wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli¢ wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia
otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt¦ z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa¢:
P (x)
Q(x)
R(x)
P (x)
= Z(x) +
.
Q(x)
Q(x)
(3)
Obliczanie caªki uªamków prostych pierwszego rodzaju
Obliczanie caªek uªamków prostych pierwszego rodzaju wykonujemy przez podstawianie:
Z
ax + b = t A
A
1
A 1 1−n A 1
dx =
dt =
t
=
(ax + b)1−n dla n 6= 1.
n
n
adx = dt
(ax + b)
a
t
a 1−n
a 1−n
R 1
dx = a1 ln |ax + b| + c.
Dla n = 1 stosujemy wzór ax+b
Z
Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju
Z
Ax + B
dx,
+ bx + c)n
(4 = b2 − 4ac < 0).
(ax2
Powy»sz¡ caªk¦ przedstawiamy w postaci:
Z
Ax + B
dx = C
2
(ax + bx + c)n
Z
2ax + b
dx +
2
(ax + bx + c)n
Z
(ax2
D
dx.
+ bx + c)n
Pierwsz¡ caªk¦ liczymy stosuj¡c podstawienie ax2 + bx + c = t, a drug¡ sprowadzamy do postaci
kanonicznej
Z
D
b
4
p=−
dx,
[a(x − p)2 + q]n
nast¦pnie wykonuj¡c podstawienie x − p =
2a
pq
| a | · t, mamy
Z
D
dt.
(t2 + 1)n
2
,
q=−
4a
;
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
7 marca 2016
T¡ caªk¦ (dla n ≥ 2) liczymy stosuj¡c wzór indukcyjny (patrz Przykªad 6):
Z
1
t
1
1
2n − 3
· 2
dt =
+
dt.
2
n
n−1
2
(t + 1)
2n − 2 (t + 1)
2n − 2
(t + 1)n−1
R
R
Wyprowadzimy tzw. wzory redukcyjne na cosn xdx oraz sinn xdx :
Z
Przykªad 5.
n−1
0
f
=
cos
x
g
=
cos
x
=
cosn xdx = cosn−1 x cos xdx = 0
n−2
f = −(n − 1) cos
x · sin x g = sin x R
R
= sin x cosn−1 x+(n−1) cosn−2 x sin2 xdx = sin x cosn−1 x+(n−1) cosn−2 x(1−cos2 x)dx,
zatem
Z
Z
Z
n
n−1
n−2
cos xdx = sin x cos
x + (n − 1) cos
xdx − (n − 1) cosn xdx,
R
R
wi¦c
Z
n
n
n−1
Z
x + (n − 1)
cosn−2 xdx,
n−1
1
cos xdx = sin x cosn−1 x +
n
n
cosn−2 xdx,
cos xdx = sin x cos
ostatecznie
Z
n
Z
Post¦puj¡c analogicznie otrzymamy:
Z
n−1
1
sin xdx = − cos x sinn−1 x +
n
n
n
Z
sinn−2 xdx.
Przykªad 6. Wyprowadzimy wzór indukcyjny na obliczenie caªki
R
=
=
=
=
R
dx
.
(x2 +1)n
x = tg t R
R
1
1
=
= cos2n−2 tdt =
2 t+1)n · cos2 t dt =
1
(tg
dx = cos2 t dt
Z
Z
1
n−1
n
n−1
=
cos xdx = sin x cos
x+
cosn−2 xdx =
n
n
R
1
2n−3
2n−3
2n−4
sin t cos
t + 2n−2 cos
tdt =
2n−2
R
1
2n−3
2n−2
2n−4
cos
t tg t + 2n−2 cos
tdt =
2n−2
R
1
1
2n−3
1
1
tg
t
+
dt =
2n−2 (1+tg2 t)n−1
2n−2
(1+tg2 t)n−1 cos2 t
R
1
x
2n−3
1
+ 2n−2
dx.
2n−2 (1+x2 )n−1
(1+x2 )n−1
dx
(x2 +1)n
Z
dx
1
x
2n − 3
=
+
(x2 + 1)n
2n − 2 (1 + x2 )n−1 2n − 2
Z
1
dx,
(1 + x2 )n−1
n≥2.
Otrzymali±my tutaj tzw. wzor indukcyjny za pomoc¡ którego sprowadzimyRobliczenia z pot¦gi n do
1
n − 1. Post¦pujemy tak, a» otrzymamy potg¦ 1. Wówczas stosujemy wzór 1+x
2 dx = arctg x + c.
2
2
2
sin t
sin t+cos t
1
2
W obliczeniach skorzystali±my z: tg t + 1 = cos2 t + 1 = cos2 t = cos2 t .
3
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
Przykªad 7. Oblicz:
7 marca 2016
x4 +x3 +1
dx.
x3 +x2
R
Tutaj stopie« wielomianu w liczniku jest wi¦kszy od stopnia wielomianu w mianowniku,
wi¦c zgodnie z uwag¡ ze strony 2 najpierw nale»y podzieli¢ (x4 + x3 + 1) : (x3 + x2 ) = x i reszty 1.
Zatem mo»na zapisa¢:
Rozwi¡zanie:
1
x4 + x3 + 1
=x+ 3
,
3
2
x +x
x + x2
R
R 1
R 1
R 4 3 +1
1 2
x dx + x3 +x
dx.
wi¦c x x+x
3 +x2 dx =
2 dx = 2 x +
x3 +x2
R 1
Obliczymy teraz caªk¦ x3 +x2 dx. W tym celu rozkªadamy mianownik na czynniki
x3 + x2 = x2 (x + 1), a funkcj¦ podcaªkow¡ na uªamki proste:
1
x3 +x2
=
A
x
+
B
x2
+
C
x+1
=
Ax(x+1)+B(x+1)+Cx2
x2 (x+1)
=
(A+C)x2 +(A+B)x+B
.
x2 (x+1)
St¡d
x2 : 0 = A + C
x1 : 0 = A + B,
x0 : 1 = B.
Rozwi¡zuj¡c powstaªy ukªad mamy: B = 1, A = −1, C = 1, wi¦c
R
1
dx
x+1
= − ln |x| −
1
x
R
1
x3 +x2
dx =
R
−1
dx
x
+
R
1
dx
x2
+
+ ln |x + 1| + c.
Wobec tego, ostatecznie:
1 2
1
x 4 + x3 + 1
dx
=
x
−
ln
|x|
−
+ ln |x + 1| + c.
x3 + x2
2
x
R
2 −5
Oblicz caªk¦ x2x+2x+5
dx.
Z
Przykªad 8.
Poniewa» stopnie« licznika jest wi¦kszy równy (tutaj oczywi±cie równy) stopniowi
mianownika najpierw dzielimy x2 − 5 przez x2 + 2x + 5 otrzymuj¡c:
Rozwi¡zanie:
Z
x2 − 5
dx =
x2 + 2x + 5
Z
2x + 10
1− 2
dx = x −
x + 2x + 5
Z
2x + 10
dx.
x2 + 2x + 5
Nast¦pnie, poniewa» ∆ < 0, dokonujemy przeksztaªce« w taki sposób aby w liczniku otrzyma¢ pochodn¡ mianownika plus pewna liczba (w otrzymanej caªce):
Z
2x + 10
dx =
2
x + 2x + 5
Z
2x + 2 + 8
dx =
x2 + 2x + 5
Z
2x + 2
dx +
2
x + 2x + 5
Z
x2
8dx
= I1 + I2 .
+ 2x + 5
0
(x)
Pierwsz¡ caªk¦ liczymy z wykorzystaniem wzoru ff (x)
dx = ln |f (x)| + c, a drug¡ zgodnie z metod¡
opisan¡
R wcze±niej dla uªamka prostego drugiego rodzaju:
R
I1 =
I2 = 8
2x+2
dx
x2 +2x+5
R
dx
x2 +2x+5
= ln |x2 + 2x + 5| + c;
√
x + 1 = 4t ⇒ t = x+1 R
dx
2 =
= 8 (x+1)2 +4 = dx = 2dt
R 2dt
R dt
= 8 4t2 +4 = 4 t2 +1 = 4 arctg t + c = 4 arctg x+1
+ c.
2
Ostatecznie sumuj¡c wyniki, mamy:
Z
x2 − 5
x+1
dx = x − ln |x2 + 2x + 5| − 4 arctg
+ c.
2
x + 2x + 5
2
4
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
7 marca 2016
Metoda Ostrogradskiego
P (x)
Rozwa»my caªk¦ rzeczywistego wyra»enia wymiernego wªa±ciwego postaci Q(x)
dx. Metod¦ Ostrogradskiego stosujemy w przypadku, gdy wielomian Q(x) posiada w rozkªadzie na czynniki skªadniki
(niekoniecznie musz¡ to by¢ pierwiastki) wielokrotne. Wówczas mo»emy zapisa¢:
R
Z
P (x)
P1 (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
Z
P2 (x)
dx,
Q2 (x)
(4)
gdzie Q1 (x) jest najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem wielomianu Q(x) oraz wielomianu pochodnej
Q0 (x), natomiast wielomian Q2 (x) wyznaczamy z:
Q2 (x) :=
Q(x)
.
Q1 (x)
Wielomiany P1 (x), P2 (x) o wspóªczynnikach nieoznaczonych, których stopnie s¡ o jeden mniejsze
odpowiednio od wielomianów Q1 (x) i Q2 (x) wyznaczamy ró»niczkuj¡c równanie (4).
Przykªad 9. Oblicz caªk¦
Z
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 12
dx.
(x + 1)2 (x2 + 1)2
Poniewa» Q(x) = (x + 1)2 (x2 + 1)2 , wi¦c Q0 (x) = 2(x + 1)(x2 + 1)2 + (x + 1)2 (x2 + 1)4x.
Zatem najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem Q(x) i Q0 (x) jest Q1 (x) = (x + 1)(x2 + 1), natomiast
Rozwi¡zanie:
Q2 (x) = (x + 1)(x2 + 1).
Wówczas ze wzoru (4) mamy:
Z
Ax2 + Bx + C
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 12
dx
=
+
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
Z
Dx2 + Ex + F
dx.
(x + 1)(x2 + 1)
(5)
W celu wyznaczenia staªych A, ..., F ró»niczkujemy:
(2Ax + B)(x + 1)(x2 + 1) − (Ax2 + Bx + C)(3x2 + 2x + 1) Dx2 + Ex + F
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 12
=
+
.
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
Porównuj¡c liczniki dostajemy:
4x4 +4x3 +16x2 +12x+12 = (2Ax+B)(x3 +x2 +x+1)−(Ax2 +Bx+C)(3x2 +2x+1)+(Dx2 +Ex+F )(x3 +x2 +x+1).
St¡d z przyrównania wspóªczynników przy odpowiednich pot¦gach prawej i lewej strony otrzymujemy
ukªad:


D = 0;





−A + D + E = 4;



−2B + D + E + F = 4;

A − B − 3C + D + E + F = 16;





2A − 2C + E + F = 12;



B − C + F = 12,
A = −2,





B = 2,



C = −4,

D = 0,





E = 2,



F = 6.
=⇒
Zatem z (5) mamy:
Z
−2x2 + 2x − 4
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 12
dx =
+
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
5
Z
2x + 6
dx.
(x + 1)(x2 + 1)
(6)
dr Krzysztof ›yjewski
Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 .lic.
2x+6
2x+6
Obliczamy (x+1)(x
2 +1) dx rozkªadaj¡c na uªamki proste (x+1)(x2 +1) =
Porównuj¡c wspóªczynniki otrzymujemy a = 2, b = −2, c = 4, wi¦c
R
Z
2x + 6
dx =
(x + 1)(x2 + 1)
Z
2
dx +
x+1
Z
a
x+1
7 marca 2016
+ xbx+c
2 +1 =
(a+b)x2 +(b+c)x+a+c
.
(x+1)(x2 +1)
Z
Z
−2x + 4
2x
dx
dx = 2 ln |x + 1| −
dx + 4
=
2
2
2
x +1
x +1
x +1
2 ln |x + 1| − 2 ln |x2 + 1| + 4 arctg x + c. (7)
Ostatecznie z (6)-(7) wynika:
Z
4x4 + 4x3 + 16x2 + 12x + 12
−2x2 + 2x − 4
+ 2 ln |x + 1| − 2 ln |x2 + 1| + 4 arctg x + c
dx
=
(x + 1)2 (x2 + 1)2
(x + 1)(x2 + 1)
Zadania
1. ObliczR caªki z funkcji wymiernych:
(a)
2x
dx;
x+1
(b)
R
x+2
dx;
x2 −2x
(c)
R
1
dx;
x(x+1)2
8x+2
dx;
2x2 +4x+3
(d)
R
x2
dx;
x2 +2x−3
(e)
R
3
dx;
x2 +4x+7
(f )
R
(g)
R
x(x+2)
dx;
x2 +2x+3
(h)
R
2x5 +6x3 +6
dx;
x4 +3x2
(i)
R
2x2 +x−4
dx;
x3 −x2 −2x
(j)
R
x2
dx;
(x+2)2 (x+4)2
(k)
R
3x2 −8x+3
dx;
(l)
R
7x2 +7x−176
dx;
x3 −9x2 +6x+56
x2 +x−1
dx;
(x2 +4x+4)2
(n)
R
2x4 −2x2 +4x−1
dx;
2x3 −x−1
(o)
R
2x3 +x2 +5x+1
dx;
(x2 +3)(x2 −x+1)
(r)
R
(s)
R
x3 −6x2 +11x−5
dx;
(x−2)4
(u)
R
R
(m)
(p)
R
(t)
R
4x3 −7x2 +4x+72
dx;
x4 +64
6x+4
(x2 +10x+29)3
dx;
x3 −9x2 +6x−54
x2 +1
x4 −5x2 +4
dx;
2x4 +4x3 −3x2 +2x−2
dx.
(x3 +1)2
6