Rachunek prawdopodobie«stwa

Rachunek prawdopodobie«stwa
‚wiczenia 9
Denicja 1.
Ša«cuchem Markowa o zbiorze stanów S ⊂ R nazywamy ci¡g zmiennych losowych
X0 , X1 , X2 , . . . taki, »e
P (Xn = xn |Xn−1 = xn−1 , Xn−2 = xn−2 , . . . , X0 = x0 ) = P (Xn = xn |Xn−1 = xn−1 ) = pn−1,n
dla ka»dego n > 0 i ci¡gu stanów x0 , x1 , . . . , xn ∈ S .
Denicja 2 (macierz przej±cia).
macierz P = (pi,j )i,j∈S .
Twierdzenie 1.
Macierz¡ przej±cia (w jednym kroku) ªa«cucha Markowa nazywamy
Wiersze macierzy przej±cia ªa«cucha Markowa sumuj¡ si¦ do 1.
Denicja 3
macierz
Pk
(macierz przej±cia). Macierz¡ przej±cia (w k krokach) ªa«cucha Markowa nazywamy
= (pki,j )i,j∈S .
Denicja 4.
Rozkªad prawdopodobie«stw na przestrzeni stanów S nazywany jest stacjonarnym wtedy
i tylko wtedy, gdy speªniony jest warunek
πP = π,
gdzie π jest takim wektorem wierszowym, »e
X
πi = 1.
i
Je±li rozkªad pocz¡tkowy π0 jest stacjonarny, to ka»dy kolejny rozkªad πn równie» jest stacjonarny.
Zadanie 1. W pewnym mie±cie ka»dy dzie« jest sªoneczny albo deszczowy. Po dniu sªonecznym
dzie« sªoneczny nast¦puje z prawdopodobie«stwem 0.7, a po dniu deszczowym z prawdopodobie«stwem 0.4.
Narysuj ªa«cuch markowa oraz wyznacz macierz przej±cia dla niego.
Zadanie 2.
W pewnym mie±cie ka»dy dzie« jest sªoneczny albo deszczowy. Po dniu sªonecznym
dzie« sªoneczny nast¦puje z prawdopodobie«stwem 0.7, a po dniu deszczowym z prawdopodobie«stwem 0.4.
W poniedziaªek padaªo. Stwórz prognoz¦ na wtorek, ±rod¦ i czwartek.
Oznaczenia: stan 1 = dzie« sªoneczny, 2 = deszczowy.
Zadanie 3.
W pewnym mie±cie ka»dy dzie« jest sªoneczny albo deszczowy. Po dniu sªonecznym
dzie« sªoneczny nast¦puje z prawdopodobie«stwem 0.7, a po dniu deszczowym z prawdopodobie«stwem 0.4.
Meteorolodzy przewiduj¡ 80% szans na deszcz w poniedziaªek. Stwórz prognoz¦ na wtorek, ±rod¦
i czwartek.
Oznaczenia: stan 1 = dzie« sªoneczny, 2 = deszczowy.
Zadanie 4.
Czy ªa«cuch powy»szego zadania jest stacjonarny i dlaczego.
1
2
Zadanie 5.
Znajd¹ rozkªad stacjonarny dla ªa«cucha markowa z powy»szych zada«.
Zadanie 6.
Szczeni¦ czarnego psa jest czarne z prawdopodobie«stwem 0.6 i br¡zowe z prawdopodobie«stwem 0.4. Szczeni¦ br¡zowego psa jest czarne z prawdopodobie«stwem 0.2 i br¡zowe
z prawdopodobie«stwem 0.8. (zakªadamy, »e umaszczenie psa dziedziczy si¦ tylko po ojcu, nie po
matce). (a) napisz macierz przej±cia dla tego ªa«cucha Markowa. (b) Reksio jest br¡zowym pieskiem.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jego dziadek byª czarny?
Zadanie 7.
Narysuj ªa«cuch markowa dla macierzy przej±cia.


0.3 0.5 0.2
 0.6 0 0.4 
0 0.4 0.6
Zadanie 8.
Dla ªa«cucha markowa z poprzedniego zadania oblicz rozkªad X2 dla rozkªadu pocz¡tkowego [1, 0, 0]. Oraz na komputerze x10 .
Zadanie 9.
Wyznacz rozkªad stacjonarny dla ªa«cucha markowa z poprzedniego zadania.
Zadanie 10. Komputer mo»e by¢ albo w stanie ¹aj¦ty¡lbo "wolny". B¦d¡c w zaj¦tym mo»e
w ka»dej minucie si¦ zwolni¢ z prawdopodobie«stwem 0.2 i pozosta¢ zaj¦tym w kolejnej minucie z
prawdopodobie«stwem 0.8. B¦d¡c wolnym, mo»e sta¢ si¦ w nast¦pnej minucie zaj¦ty z prawdopodobie«stwem 0.1, a tym samym pozosta¢ w kolejnej minucie wolnym z prawdopodobie«stwem 0.9.
Pocz¡tkowy stan X0 jest wolny. Niech Xn b¦dzie stanem urz¡dzenia po n minutach. (a) Znajd¹
rozkªad X2 . (b) Znajd¹ rozkªad stacjonarny Xn i zinterpretuj go.