Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa rok 1996/1997

Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa
rok 1996/1997
egzaminator: Jerzy Ombach
przedmiot semestralny
I termin
zad.1. Dziecko otrzymaªo w prezencie
n
jednakowych klocków sze±ciennych szczel-
nie wypeªniaj¡cych pudeªko. Po zako«czonej zabawie dziecko ka»dorazowo wkªada
klocki do pudeªka zbieraj¡c je na chybiª - traª. Jakie jest prawdopodobie«stwo
pn ,
»e po trzykrotnym u»yciu klocków przynajmniej jeden z nich znajdzie si¦ w miejscu,
na którym byª w chwili wr¦czania prezentu? Znajd¹
limn→∞ pn .
zad.2. W Kolorowej Ksi¦dze czytamy: Mjr A. przesªuchiwany stwierdziª, »e zwer-
bowany agent D. w trakcie rozmowy z nim i z kapitanem B. na Minorce przyznaª, i» posªanka Alexis byªa szpiegiem. Zezna« tych nie potwierdziª pªk C., który
o±wiadczyª, »e kpt. B. powiedziaª mu, i» agent D. w tej rozmowie zaprzeczyª jakoby
posªanka Alexis byªa szpiegiem. Kapitana B. nie udaªo si¦ przesªucha¢. Bior¡c pod
uwag¦, »e ocerowie zwykli mówi¢ prawd¦ z prawdopodobie«stwem
prawdopodobie«stwem
0, 6,
0, 8, za± agenci z
oce« prawdopodobie«stwo zdarzenia, i» posªanka Alexis
istotnie byªa szpiegiem.
zad.3. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Ka»dy
z nich mo»na skierowa¢ do jednego z dwóch rejonów, w których mo»e, z prawdopodobie«stwem odpowiednio
1
1
3 i 6 , znajdowa¢ si¦ poszukiwany rozbitek. Ka»dy
helikopter wykrywa znajduj¡cego si¦ w rejonie poszukiwania rozbitka z prawdopodobie«stwem
q = 1−
√
10
0, 5
i dokonuje tego niezale»nie od pozostaªych helikopterów.
Rozstrzygnij, jak nale»y rozdzieli¢ helikoptery pomi¦dzy rejony poszukiwa«, »eby
prawdopodobie«stwo znalezienia rozbitka byªo jak najwi¦ksze.
zad.4. Zmienna losowa
ξ
ma rozkªad normalny
N (0, 1),
za± zmienna losowa
η
dana
jest wzorem
η=
ξ,
−ξ,
gdy
gdy
|ξ| < 1
.
|ξ| ≥ 1
a) Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej
b) Rozstrzygnij, czy suma
zad.5.
ξ+η
η.
ma rozkªad normalny.
Prawdopodobie«stwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi
0, 05.
Ile
detali powinna wyprodukowa¢ fabryka, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej
0, 9
przynajmniej
100
spo±ród nich nie byªo wybrakowanych.
a) Podaj oszacowanie w oparciu o nierówno±¢ Czebyszewa.
b) Podaj oszacowanie w oparciu o centralne twierdzenie graniczne.
Pomocnicza tabela:
p = 0, 95, ζn = √np−100
np(1−p)
:
n 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115
ζn 0, 31 0, 73 1, 15 1, 56 1, 97 2, 37 2, 77 3, 17 3, 57 3, 96
Ponadto przyjmujemy
Φ−1 (0, 9) = 1, 28, gdzie Φ jest dystrybuant¡ rozkªadu N (0, 1).
1
II termin
zad.1. Towarzystwo zªo»one z 8 par maª»e«skich dzieli si¦ na 4 grupy po 4 osoby
dla odbycia spaceru ªódk¡.
a) Na ile sposobów mo»na to zrobi¢ tak, aby w ka»dej ªódce znalazªy si¦ 2 panie
i 2 panów?
b) W ilu przypadkach dany m¦»czyzna znajdzie si¦ w ªódce ze swoj¡ »on¡?
Uwaga: ªódki nie s¡ numerowane.
zad.2.
Dziewi¦¢ kul (trzy biaªe, trzy czerwone i trzy czarne) ustawiamy losowo
w ci¡g.
Oblicz prawdopodobie«stwo tego, »e »adne dwie kule tego samego koloru
nie b¦d¡ staªy obok siebie.
Uwaga: kule tego samego koloru traktujemy jako nierozró»nialne.
zad.3.
W czasie lotu z Warszawy do Auckland pasa»erowie trzykrotnie zmienia-
j¡ samolot.
Prawdopodobie«stwa zagini¦cia baga»u w trzech kolejnych miejscach
przesiadki wynosz¡ odpowiednio:
40%, 20% i 10%.
W Auckland okazaªo si¦ »e mój
baga» nie dotarª ze mn¡ do miejsca przeznaczenia. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e utkn¡ª w drugim z portów lotniczych?
zad.4.
η = ξ/(ξ 2 + 1),
odcinku [−5, 5].
Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej losowej
zmienn¡ losow¡ posiadaj¡c¡ rozkªad jednostajny na
gdzie
ξ
jest
zad.5. W wyborach prezydenckich w Mongonii uczestniczy dwóch kandydatów. Za-
kªadaj¡c, »e pierwszego kandydata popiera
ν%
gªosuj¡cych, jak wiele osób trzeba
przebada¢ w sonda»u przedwyborczym, »eby z co najmniej
ν% z bª¦dem nie wi¦kszym ni» 4, 5%.
−1 (0, 975) = 1, 96, gdzie Φ jest
Przyjmujemy Φ
95%
prawdopodobie«-
stwem okre±li¢ liczb¦
Uwaga:
N (0, 1).
2
dystrybuant¡ rozkªadu