Lista zada« nr 4 dla studentów Biotechnologii In».

Lista zada« nr 4 dla studentów Biotechnologii In».
1. Rzucamy kostk¡ tak dªugo a» wypadnie szóstka. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e ilo±¢ rzutów b¦dzie
wi¦ksza ni» 5.
2. Na niesko«czon¡ szachownic¦ o boku kwadratu 4 cm rzucamy monet¦ o ±rednicy 2 cm. Jakie s¡ prawdopodobie«stwa zdarze«, A - moneta caªkowicie zmie±ci si¦ w jednym z kwadratów, B - moneta przetnie
najwy»ej jeden bok kwadratu?
xi
pi
−5
0, 1
−2
0, 2
0
1
3 8
.
0, 1 0, 2 c 0, 1
Wyznaczy¢: a) staª¡ c, b) dystrybuant¦ i jej wykres, c) prawdopodobie«stwa P (X = 2), P (X < 3),
P (X ≥ 0), P (−2 ≤ X < 3), d) warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦.
3. Dana jest funkcja prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X :
4. Rzucamy trzy razy monet¡. Niech zmienna losowa X b¦dzie liczb¡ wyrzuconych orªów. Sporz¡dzi¢ tabel¦
rozkªadu prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Wyznaczy¢ jej dystrybuant¦, warto±¢ oczekiwan¡,
wariancj¦ oraz P (1 ≤ X < 3) korzystaj¡c z dystrybuanty.
5. Prawdopodobie«stwo tego, »e statystyczny student nie jst przygotowany do ¢wicze« wynosi 31 . Prowadz¡cy
¢wiczenia wybiera przypadkowo 4 osoby. Niech X oznacza ilo±¢ osób spo±ród wybranych, które nie s¡ przygotowane do ¢wicze«. Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej X . Wyznaczy¢ dystrybuant¦, warto±¢ oczekiwan¡
oraz P (X ≥ 2).


x
dla 0 ≤ x ≤ 1
2 − x dla 1 < x ≤ 2 . a) Naszkicuj wykres g¦sto±ci.

0
dla pozost. x
b) Wyznaczy¢ wzór dystrybuanty i narysowa¢ jej wykres. c) Obliczy¢ E(X) i D2 (X).
c sin x dla 0 ≤ x ≤ π3
7. Dobra¢ tak staª¡ c aby funkcja f (x) =
byªa g¦sto±ci¡, a nast¦pnie wyznaczy¢
0
dla pozost. x
jej dystrybuant¦ i P ( π6 ≤ x ≤ π4 ).
3 2 9
− 4 x + 2 x − 6 dla 2 ≤ x ≤ 4
8. Funkcja g¦sto±ci zmiennej losowej X jest okre±lona nast¦puj¡co: f (x) =
.
0
dla pozost. x
6. Zmienna losowa X ma rozkªad o g¦sto±ci: f (x) =
Obliczy¢ warto±¢ ±redni¡, median¦ i mod¦.
9. Zmienna losowa X ma rozkªad normalny N (1, 5; 2). Obliczy¢ prawdopodobie«stwa:
P (X < 2, 5), P (X > −0, 5), P (0, 5 ≤ X ≤ 2), P (|X| > 0, 5).
10. Waga m¦»czyzn (w kg) pewnej populacji ma rozkªad normalny N (70; 6). Obliczy¢ prawdopodobie«stwo,
»e losowo wybrany m¦»czyzna b¦dzie miaª wag¦: a) wi¦ksz¡ ni» 80, b) z przedziaªu (70, 75).
11. W pewnej grupie ludzi co dziesi¡ty czªowiek jest daltonist¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w±ród 100
losowo wybranych ludzi b¦dzie od 5 do 12 daltonistów.
12. W zajezdni znajduje si¦ 200 autobusów. Prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany autobus jest sprawny
wynosi 0, 7. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w losowo wybranej chwili co najmniej 160 autobusów jest
sprawnych.
13. W sªoiku znajduj¡ si¦ wymieszane nasiona kwiatów biaªych i czerwonym, przy czym nasiona kwiatów
biaªych stanowi¡ 25% wszystkich nasion. Wysiewamy 4800 nasion wybranych losowo z tego sªoika. Wyznaczy¢ taki przedziaª symetryczny wzgl¦dem warto±ci oczekiwanej liczby kwiatów biaªych, »e rzeczywista
liczba kwiatów biaªych b¦dzie si¦ mie±ci¢ w tym przedziale z prawdopodobie«stwem 0, 95.
14. Siªa kieªkowania nasion grochu wynosi 90%. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e na 1000 zasianych nasion
liczba nasion, które wykieªkuj¡ b¦dzie zawarta mi¦dzy 890 i 920.
15. Oto ci¦»ary 10 kur wa»onych w dniu zniesienia pierwszego jaja:
2, 00; 1, 90; 2, 05; 2, 40; 1, 95; 2, 10; 1, 95; 1, 80; 2, 30; 2, 25 (w kg).
(a) Znale¹¢ przedziaª ufno±ci dla ±redniego ci¦»aru kury przyjmuj¡c poziom ufno±ci 0, 99.
(b) Znale¹¢ 95-procentowy przedziaª ufno±ci dla wariancji ci¦»aru kur.
16. W celu oszacowania czasu absencji chorobowej pracowników pewnego zakªadu wybrano losow¡ grup¦ 100
pracowników i zanotowano liczby dni opuszczonych z powodu choroby w ci¡gu caªego ostatniego roku.
Otrzymano wyniki:
Liczba dni
0
1 − 3 4 − 6 7 − 9 10 − 15 16 − 24 24 − 30
.
Liczba pracowników 13 37
22
17
8
2
1
Na podstawie wyników tego badania znale¹¢ 95%-wy przedziaª ufno±ci dla warto±ci przeci¦tnej czasu absencji chorobowej pracowników tego zakªadu.
17. Wylosowano 48 ziaren pszenicy i zbadano w nich zawarto±¢ biaªka (w %). Otrzymano ±redni¡ równ¡ 16, 8%
i odchylenie standardowe 2, 1%. Znale¹¢ 98%-towy przedziaª ufno±ci dla warto±ci przeci¦tnej i wariancji
zawarto±ci biaªka w ziarnach pszenicy caªej partii.
18. Wylosowano niezale»nie 12 indywidualnych gospodarstw rolnych i otrzymano dla nich nast¦puj¡ce wielko±ci
uzyskanych plonów owsa (w q/ha):
23, 3; 22, 1; 21, 8; 19, 9; 23, 7; 22, 3; 22, 6; 21, 5; 21, 9; 22, 8; 23, 0; 2, 2.
Na poziomie istotno±ci 0, 05 zwerykowa¢ hipotez¦, »e warto±¢ przeci¦tna plonów owsa jest wy»sza ni» w
roku ubiegªym, w którym wynosiªa 22, 6 q/ha.
19. W celu sprawdzenia dokªadno±ci wskaza« przyrz¡du pomiarowego dokonano 6 pomiarów tej samej wielko±ci
i uzyskano nast¦puj¡ce wyniki (w cm):
1, 017; 1, 021; 1, 015; 1, 019; 1, 022; 1, 019.
Zakªadaj¡c, »e wyniki pomiarów maj¡ rozkªad normalny na poziomie istotno±ci 0, 01 zwerykowa¢ hipotez¦,
»e wariancja pomiarów wynosi 0, 001.
20. Zawarto±¢ oleju w nasionach (w %) u 11 rodów sªonecznika hodowlanego wynosiªa:
53, 40; 50, 70; 47, 87; 48, 83; 49, 53; 52, 80; 51, 70; 49, 80; 48, 05; 53, 55; 43, 70.
Sprawdzi¢ hipotez¦ hodowcy, który twierdzi, »e przeci¦tna zawarto±¢ oleju wynosi 50% przy α = 0, 01.
21. W pewnym zakªadzie obj¦to badaniem 200 pracowników pod wzgl¦dem procentu wykonania normy i wyniki
zebrano w nast¦puj¡cym szeregu rozdzielczym:
Procent wykonania normy 70 80 90 100 110 120 130 140 150
.
Liczba pracowników
3
15 23 70
50
17
12
3
1
Na poziomie istotno±ci 0, 05 zwerykowa¢ hipotez¦, »e odchylenie standardowe procentu wykonania normy
jest mniejsze ni» 10%.
22. W celu zbadania, czy plony owoców ró»y zale»¡ od wieku plantacji, uzyskano nast¦puj¡ce dane dotycz¡ce
wieku (X ) plantacji i przeci¦tnego plonu (Y ) owoców w q/ha:
X
Y
5
4, 5
3
2, 7
8
18, 2
6
16, 3
5
11, 0
7
21, 2
9
27, 0
10
31, 2
8
20, 5
9
25, 3
4
3, 9
5
.
8, 6
(a) Zwerykowa¢ hipotez¦ o braku korelacji pomi¦dzy wiekiem plantacji a przeci¦tnym plonem owoców
dzikiej ró»y. Przyj¡¢ poziom istotno±ci 0, 01.
(b) W przypadku odrzucenia hipotezy o braku korelacji wyznaczy¢ rónanie prostej regresji okre±laj¡ce
wielko±ci plonu w zale»no±ci od wieku plantacji.
23. U 10 ro±lin soi odmiany Progres rosn¡cych na glebie piaszczystej zbadano wysoko±¢ ro±liny w cm (X ) i
liczb¦ str¡ków na ro±linie (Y ). Otrzymano nast¦puj¡ce wyniki:
X
Y
30
12
41
19
48
21
35
16
55
28
45
18
60
29
1
25
45
23
50
.
23
(a) Czy istnieje korelacja pomi¦dzy badanymi cechami?
(b) W oparciu o równanie prostej regresji okre±li¢ przewidywan¡ liczb¦ str¡ków na o ro±linie o wysoko±ci
49 cm.