In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia

In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia
Tydzie« 3:
Centralne Twierdzenie Graniczne, wa»ne rozkªady zmiennych losowych
Poni»ej opisano u»ywane poj¦cia i zebrano charakterystyczne dla tego tematu typy zada«
Zadania
0. Na bazie informacji z dowolnego podr¦cznika do statystyki b¡d¹ z internetu uzupeªnij list¦ wa»nych rozkªadów z nast¦pnej strony o ich funkcje g¦sto±ci prawdopodobie«stwa, EX oraz Var X .
1. Jaka jest szansa, »e na 1000 rzutów sze±cienn¡ kostk¡, liczba wyrzuconych 4 oczek b¦dzie zawieraªa si¦
pomi¦dzy 160 i 170?
2. Ile wynosi prawdopodobie«stwo, »e na 300 rzutów kostk¡, w której cztery ±cianki pomalowane s¡ na
czerwono, a dwie na zielono, zielony kolor wypadnie od 120 do 150 razy?
3. Obserwujemy n = 250 obserwacj¦ niezale»nych zmiennych losowych X o tym samym rozkªadzie, któregoP warto±¢ oczekiwana wynosi µ = π ≈ 3.14, za± odchylenie standardowe wynosi e ≈ 0.37. Oblicz
P(
X > 800).
4. Angielski statystyk J. E. Kerrich podczas internowania w trakcie drugiej wojny ±wiatowej otrzymaª 5067
orªów na 10000 rzutów monet¡. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w serii 10000 niezale»nych rzutów symetryczn¡ monet¡ otrzymamy 5067 lub wi¦cej orªów.
5. Szansa na zaliczenie ka»dej kartkówki wynosi p = 0.8. Zakªadaj¡c niezale»no±¢ prób oblicz prawdopodobie«stwo, »e w sekwencji 6 kartkówek, co najmniej jedna zostanie niezaliczona.
6. Niech X b¦dzie liczb¡ wyrzuconych reszek przy 10-krotnym rzucie symetryczn¡ monet¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e X < 2 lub X > 7?
7. Szansa na wygranie w loterii wynosi p = 0.01. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród niezale»nie
wylosowanych n = 150 kuponów, co najmniej trzy z nich s¡ wygrywaj¡ce?
8. Grupa zaj¦ciowa liczy 36 studentów, a w sali zaj¦ciowej znajduj¡ si¦ 32 miejsca. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e dla którego± ze studentów zabranie miejsca siedz¡cego? Przyjmij, »e studenci przychodz¡ na
zaj¦cia niezale»nie od siebie, ka»dy z prawdopodobie«stwem 90 %.
9. Dru»yna A strzela ±rednio dwa gole w meczu, a dru»yna B jeden. Zakªadaj¡c, »e strzelenie gola przez
dan¡ dru»yn¦ w ka»dej minucie jest staªe oraz nie zale»y od dru»yny przeciwnej, ani straconych bramek,
oblicz prawdopodobie«stwo, »e dru»yna A:
(a) b¦dzie prowadzi¢ 1:0 do przerwy
(b) wygra mecz 2:0, je»eli do przerwy byª remis
(c) nie przegra meczu
10. Na przejechanie pewnej trasy autobus potrzebuje 4 minuty, a tramwaj 5 minut. Prawdopodobie«stwo, »e
dany pojazd przyjedzie jest staªe w ka»dej minucie oraz wynosi dla autobusu i dla tramwaju. W
ka»dej minucie nie mog¡ przyjecha¢ jednocze±nie dwa tramwaje ani dwa autobusy. Odpowiedz na pytania:
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w ci¡gu godziny przyjedzie 8 autobusów? a 16 tramwajów?
(b) Jakie s¡ szanse na dojechanie w ci¡gu 10 minut od pojawienia si¦ na przystanku, dla obu ±rodków
transportu?
(c) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e osoba czekaj¡ca na przystanku autobusowym dotrze do celu wcze±niej ni» osoba czekaj¡ca na przystanku tramwajowym?
i
−1
n
i=1
i
2
15
4
15
Teoria
to twierdzenie mówi¡ce o tym, »e je±li {X } s¡ niezale»nymi zmiennymi
losowymi o tym samym rozkªadzie, o tej samej warto±ci oczekiwanej równej µ oraz o sko«czonej wariancji równej
σ , to zmienna losowa o postaci
P
Centralne Twierdzenie Graniczne
i i
2
Y =
n
i=1 Xi
− nµ
σ n
√
zbiega wedªug rozkªadu do standardowego rozkªadu normalnego N (0, 1), gdy n ro±nie do niesko«czono±ci. Dzi¦ki
temu wi¦kszo±¢ oblicze« warto±ci sumy niezale»nych zmiennych losowych pochodz¡cych z tego samego rozkªadu
sprowadza si¦ do przeczytania z tablicy standardowego rozkªadu normalnego odpowiedniej warto±ci prawdopodobie«stwa.
:
1. Wa»ne rozkªady dyskretne
(a) rozkªad dwupunktowy o parametrach a, b, p: P (X = a) = p, P (X = b) = 1 − p
(b) rozkªad dwumianowy (schemat Bernoulliego) B(n, p), Binom(n, p)
(c) rozkªad Poissona P(λ), Pois(λ)
(d) rozkªad geometryczny G(p), Geom(p)
(e) rozkªad hipergeometryczny o parametrach N, m, n
(f) rozkªad jednostajny dyskretny
2. Wa»ne rozkªady ci¡gªe
(a) rozkªad jednostajny (rozkªad jednostajny ci¡gªy) U(a, b)
(b) rozkªad normalny (rozkªad Gaussa) N (µ, σ)
(c) rozkªad wykªadniczy E(λ), Exp(λ)
(d) rozkªad chi-kwadrat χ (k)
(e) rozkªad t-Studenta o ν stopniach swobody
(f) graniczne rozkªady ekstremalnych statystyk pozycyjnych (trzy typy)
Φ(u)
N (0, 1):
u
0,500 0,508 0,516 0,524 0,532 0,540 0,548 0,556 0,564 0,571
0,579 0,587 0,595 0,603 0,610 0,618 0,626 0,633 0,641 0,648
0,655 0,663 0,670 0,677 0,684 0,692 0,699 0,705 0,712 0,719
0,726 0,732 0,739 0,745 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776 0,782
0,788 0,794 0,800 0,805 0,811 0,816 0,821 0,826 0,832 0,837
0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,864 0,869 0,873 0,877 0,881
0,885 0,889 0,893 0,896 0,900 0,903 0,907 0,910 0,913 0,916
0,919 0,922 0,925 0,928 0,931 0,933 0,936 0,938 0,941 0,943
0,945 0,947 0,950 0,952 0,954 0,955 0,957 0,959 0,961 0,963
0,964 0,966 0,967 0,969 0,970 0,971 0,973 0,974 0,975 0,976
0,977 0,978 0,979 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,985 0,985
0,986 0,987 0,988 0,988 0,989 0,989 0,990 0,990 0,991 0,991
0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999
0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995
0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997
Pomocna wªasno±¢ dystrybuanty rozkªadu N (0, 1): Φ(u) = 1 − Φ(−u)
Wa»ne rozkªady zmiennych losowych
2
Uproszczona tablica dystrybuanty
0,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
0,02
0,04
0,06
rozkªadu normalnego
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18