MATEMATYKA lista zadań nr 1 1. Korzystając z definicji obliczyć

MATEMATYKA
lista zadań nr 1
1. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a podanych funkcji:
a) f (t) =



0


t<0
1 0¬t¬1



 0
b) f (t) =
t>1



0




 1
t<0
0<t<2
c) f (t) =


−1 2 < t < 4





t<0
0
3−t 0¬t¬3




t>4
0





t>3
0
2. Korzystając z podstawowych własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty
podanych funkcji:
a)
c) t3 et ,
cos3 t,
b)
sin 4t,
d) e3t sin t,
e) η(t − 1)(t − 1)2 .
3. Obliczyć transformaty funkcji Kryłowa, występujących jako rozwiązania równania różniczkowego y (4) − y = 0, które opisuje drgania swobodne nietłumione, belki o stałym
przekroju:
a) S(t) =
1
(cosh t + cos t) ,
2
b) T (t) =
1
(sinh t + sin t) ,
2
c) U (t) =
1
(cosh t − cos t) ,
2
d) V (t) =
1
(sinh t − sin t) .
2
4. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Laplace’a mają postać:
a)
s2
1
,
−s−2
b)
2s
,
2 − s − s2
−1
,
(s − 2)2
c)
d)
1
,
(s − 4)3
s−4
.
(s2 − 1)2
e)
5. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
1
0
a) y + y = et , y(0) = ,
2
0
b) y − y = t, y(0) = 0,
0
c) y − 2y = sin t, y(0) = 0.
6. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
00
0
0
00
00
0
0
c) y − 3y = 6, y(0) = y (0) = 1,
0
b) y − 4y = 4t, y(0) = 1, y (0) = 0,
a) y + y = 0, y(0) = y (0) = 1,
00
0
0
d) y + 2y + y = et , y(0) = 0, y (0) = −2.
7. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe:





a) 

0
y = −z
0
z = −y

 y(0) = 1, z(0) = −1





b) 

0
y = −z
0
z = 2y + 2z

 y(0) = 1, z(0) = 1

0


y
− 2y − 4z = cos t


0
c)  z + y + 2z = sin t



y(0) = z(0) = 0