Matematyka

Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
1. Własności funkcji
(1) Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem:
(a) y = x2 − 2x + 5
1
(b) y = x+4
x−2
(c) y = √x+1
(2) Podać zbiór wartości funkcji:
(a) y = 2x − 3, x ∈ [2, 5)
(b) y = x2 + 1, x ∈ [−1, 4]
1
, x ∈ [3, 6]
(c) y = x−1
(3) Stwierdzić, czy dana funkcja jest różnowartościowa:
(a) y = −x + 2
(b) y = x2 , x ∈ [0, 3]
(c) y = x2 , x ∈ [−1, 1]
(4) Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do danej:
(a) y = 2x − 1
2
(b) y = 3x
√ − 4, x ∈ [1, 4]
(c) y = x + 2, x ∈ [−2, +∞)
(5) Naszkicować wykres funkcji:
(a) y = −2x + 7
2
(b) y = x
√ +x−1
(c) y = x − 1
(d) y = |2x − 4|
(e) y = |x2 − 9|
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
2. Funkcje elementarne
(1) Rozwiązać równanie:
(a) x2 − 5x + 6 = 0
(b) x3 − 1 = 0
(c) x4 − 4 = 0
(d) (x2 − 1)(x2 − 4x + 4) = 0
2
−3x+2
=0
(e) (xx2 +1)(x−2)
(2) Rozwiązać nierówność:
(a) −x2 − 4x + 5 ¬ 0
(b) 2x−1
3x+2 > 0
(c) x3 − 2x2 + x − 2 < 0
(d) (x2 − 7x + 6)(x2 + 2)(x2 − 5x) ­ 0
2
(e) x−x+5x+6
2 +4x > 0
(3) Rozwiązać równanie lub nierówność wykładniczą:
(a) 4x =32
x
(b) √13 = 9
(c) 4x − 6 · 2x + 8 = 0
(d) 3x ¬ 81
2x−3
(e) 12
=8
(4) Rozwiązać równanie
lub nierówność logarytmiczną:
√
(a) log2 x = 2 2
(b) log2 (log3 x) = 0
(c) log(x2 − 5x + 7) = 0
(d) log3 2x + 1 ¬ 2
(e) log 12 x2 − 4x + 4 ­ −2
(5) Rozwiązać równanie lub nierówność trygonometryczną:
(a) sin x = 12
√
(b) cos x = − 22
√
(c) tg 2x = 3
(d) sin 3x ­ 0
(e) cos x < 12
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
3. Ciągi i szeregi liczbowe
(1) Obliczyć granicę ciągu:
n−2
(a) an = 2n+3
(b) an =
(c) an =
(d) an =
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
an
an
an
an
an
n2 +3
4n3 −2n+1
3n2
4n+5
√ n
4n2 +1
2n +3n
3n +1 √
=
2
= 2n
√ − 4n + 2n
= n 2n + 3n
= sinn n
n
= (−1)
n2 +1
2
(j) an = log 10nn2 +6n
(2) Stwierdzić, czy dany szereg jest zbieżny:
1
(a) Σ∞
n=1 n2 +1
∞ 10
(b) Σn=1 n!
n
(c) Σ∞
n=1 4n
n3
(d) Σ∞
n=1 4n3 +2n2
1
(e) Σ∞
n=1 2n+1
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
4. Granica funkcji
(1) Obliczyć granicę funkcji:
(a)
x3 − 1
x→2 x − 1
lim
(b)
x3 − 1
x→1 x − 1
lim
(c)
x2 − 3x + 1
x→+∞ 2x2 − 4x + 5
lim
(d)
lim
x→−∞
1
x − 2x + 1 +
x
3
(e)
lim−
x→1
(f)
lim
x→2−
1
x−1
x
x2 − 4
,
lim
x→1+
,
lim
x→−2−
1
x−1
x
x2 − 4
(g)
lim
sin 2x
sin 3x
lim
tg 2x
5x
x→0
(h)
x→0
(i)
√
lim
x→5
x−1−2
x−5
(j)
1
lim− 2 x
1
,
lim 2 x
x→0+
x→0
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
5. Ciągłość funkcji
(1) Wykazać, że następujące funkcje są ciągłe:
(a) y = sin
√ x
(b) y = x
(c) y = |x|
(2) Sprawdzić, czy dana funkcja jest ciągła:
(a)
2x + 1 dla x < 1
y=
−x + 5 dla x ­ 1
(b)
x
e
dla x ¬ 0
y=
x2 + x + 1 dla x > 0
(c)
x2 −1
dla x 6= 1
x−1
y=
3
dla x = 1
(3) Znaleźć wszystkie takie wartości parametru a, aby dana funkcja była ciągła:
(a)
2
x
dla x < 0
y=
a − x2 dla x ­ 0
(b)
sin x
dla x ∈ [0, π]
y=
2 cos x + a dla x ∈ (π, 2π]
(c)
 x
dla x < 0
 ae
x2 − a dla 0 ¬ x < 1
y=

ln x
dla x ­ 1
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
6. Pochodna funkcji
(1) Obliczyć pochodne następujacych funkcji:
(a)
√
3
y = 3x2 − x + 3
x
(b)
y = x tg x
(c)
y = 2x2 ln x − 3ex arc tg x
(d)
x+1
y=
sin x
(e)
x ln x
y= 2
x +1
(f)
p
y = x2 − 1
(g)
y = sin 3x + cos 3x
(h)
y = tg2 x3
(i)
r
1
4
y = sin
x
(j)
p
y = ln x + x2 + 1
(k)
y = arc sin(x2 + 1)
(l)
y=
x2 sin x1
0
1
dla x 6= 0
dla x = 0
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
7. Monotoniczność i ekstrema funkcji
(1) Wyznaczyć przedziały monotoniczności następujących funkcji:
(a) y = x3 − 12x + 5
x
(b) y = x
√− e
(c) y = 2x − x2
(d) y = cos x − x
(e) y = lnxx
(2) Wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji:
(a) y = 2x3 − 3x2
(b) y = x24x
+4
(c) y = x − ln(1 + x)
(d) y = x2 e−x
(e) y = 3x + tg x
(3) Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą dla następujących funkcji:
(a) y = x4 − 2x2 + 5, x ∈ [−2, 2]
(b) y = x−1
x+1 , x ∈ [0, 4]
(c) y = x
√− 2 ln x, x ∈ [1, e]
(d) y = 100 − x2 , x ∈ [−6, 8]
(4) Wyznaczyć asymptoty wykresów następujących funkcji:
2
(a) y = 3−x
2−x
(b) y = xe−x
(c) y = ln(4 − x2 )
(5) Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice:
(a)
x2 − 3x + 2
lim
x→1
x−1
(b)
1 − cos x
lim
x→0
x2
(c)
ex
lim 2
x→+∞ x − 5x + 2
(d)
lim x ln x
x→0+
(e)
lim
x→+∞
1
x+
x
1
x
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
8. Całka nieoznaczona
(1) Obliczyć całki nieoznaczone:
(a)
Z 5x2 − 3 +
5
x2
dx
(b)
Z √
4
x − cos x +
1 + x2
(c)
Z
x2 ex dx
(d)
Z
ex cos x dx
(e)
Z
x
dx
x2 + 1
(f)
Z
(2x + 7)5 dx
(g)
Z
√
x
dx
3 − 5x2
(h)
Z
1
ex
dx
x2
(i)
Z
sin5 x cos x dx
Z
3x − 4
dx
x2 − x − 6
(j)
(k)
Z
x
dx
x2 + 1
Z
7
dx
4 + 5x2
Z
x+6
dx
x2 + 3
(l)
(m)
1
dx
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
9. Całka oznaczona
(1) Obliczyć całki oznaczone:
(a)
1
Z
4 − x2 dx
−1
(b)
5
Z
3
x
dx
x2 − 4
(c)
Z
1
xe−x dx
0
(d)
Z
−2
−3
x2
dx
+ 2x + 1
(2) Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią Ox i wykresem funkcji:
(a) y = sin x, x ∈ [0, π]
(b) y = 1 − x2
(c) y = x − x3
(3) Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy parabolami y = x2 oraz y 2 = x.
(4) Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolą y = 2x − x2 oraz prostą x + y = 0.
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
10. Całka niewłaściwa
(1) Obliczyć całki niewłaściwe:
(a)
1
Z
x dx
1−x
0
(b)
3
Z
2
x dx
√
x2 − 4
(c)
π
2
Z
tg x dx
0
(d)
Z
+∞
3
dx
x2
(e)
Z
+∞
2
xe−x dx
0
(f)
Z
+∞
−∞
dx
4 + x2
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
11. Macierze
(1) Wykonać mnożenie macierzowe:
3 −2
3 4
(a)
·
5 −4
2 5
(c)
1 −2
3 −4
(e)
4
7
3
5

3
(d)
−28
93
7
·
·
38 −126
2
 

8 −4
3
2 5
9 −5  ·  4 −1 3 
7 −3
9
6 5
5
(b)  6
4
3
1
(f)

 

2 −1
3
x
5 −7  ·  y 
(g)  4
2
0
1
z
1
3
1
3
0
5
5
2

1
(h)  0
0
2
1


3
5 
2
1
· 7
0
5
·
2
0
1
0
0
1
7
3
 
0
a b
1 · d e
0
g h

c
f 
i
(2) Znaleźć macierze odwrotne do danych macierzy (o ile istnieją):


1
2
2
cos α − sin α
3
4
1 1
1 −2 
(a)
(b)
(c)
(d)  2
sin α
cos α
1 −2
1 1
2 −2
1
(3) Rozwiązać równania macierzowe:
3 −2
−1
(a) X ·
=
5 −4
−5
2
6
(b)
4
6
6
9
·X =
(4) Sprowadzić macierze do postaci trójkątnej zredukowanej:

3 2 2
2


 2 3 2
5
2 7 3 1

9
1
4
−5
(a)  3 5 2 2  (b) 

 2 2 3
9 4 1 7
4
7 1 6 −1
1






1
1
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
12. Wyznaczniki
(1) Obliczyć
cos α
(a) sin α
x 1 1
(c) 1 x 1
1 1 x
(e) 5
2
7
3
(g) 1
3
5
2
2
5
8
2
4
6
3
0
1
0
1
6
9
3
3
5
3
2 5 (b) 4 −1 3 9
6 5 − sin α cos α 4
0
2
0
4
8
7
5
0
0
3
7
6
4
0
0
5
4
0
0
0
0
3
2
0
0
0
0
0 a b
(d) 1 x 0
1 0 y
(f) 0
8
7
0
5
3
2
4
2
5
4
1
(h) 2
3
3
5
2
1
2
3
2 −2
7
5 −1 −1 −5 −3 −2 −6
4
2 −4 −3
3
1 −2 1
0
4
1
0
Uniwersytet Łódzki, Wydział Zarządzania
Matematyka
rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy
Konwersatorium
13. Układy równań liniowych
(1) Rozwiązać układy równań:
2x − 3y =
(a)
x + 2y =
3
5
kx +
x +
4y
2y
= 2k
=
5

 x +
3x +
(c)

2x +
2y
y
3y
+
+
+
(b)
k ∈ R – parametr
3z
2z
z
= 14
= 11
= 11

y
 ax +
x + ay
(d)

x +
y
+
z
+
z
+ az

 4x − 6y
2x − 3y
(e)

2x − 3y
+
2z
+
5z
− 11z
+
3t
+ 75t
− 15t

 3x − 5y
7x − 4y
(f)

5x + 7y
+ 2z
+ z
− 4z
+ 4t
+ 3t
− 6t
= 1
= 1
= 1
a ∈ R – parametr
= 2
= 1
= 1
= 2
= 5
= 3

x1 − x3 + x5 = 0




 x2 − x4 + x6 = 0
x1 − x2 + x5 − x6 = 0
(g)


x

2 − x3 + x6 = 0


x1 − x4 + x5 = 0

2x1



x1
(h)
 x1


5x1
+
7x2
+
3x2
+
5x2
+ 18x2
+ 3x3
+ 5x3
− 9x3
+ 4x3
+ x4
− 2x4
+ 8x4
+ 5x4
=
5
=
3
=
1
= 12
(2) Dla jakich wartości parametru a ∈ R układ równań
(a)
(1 + a)x −
ay = 1 + a
ax + (1 − a)y = a − 1
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
(b)

 ax + y = 2
3x − y = 1

x + 4y = a
ma rozwiązanie?
1