Emy cosa

Analiza matematyczna 1
lista zada« 4
1. Wykorzysta j twierdzenia granicach i równo±¢
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
lim sin x = 0;
lim sin(cx) = 0;
x→0
lim cos x = 1;
x→0
sin x =
(wskazówka:
x→0
sin x
x
lim
x→0
sin x
= 1,
x
aby udowodni¢ kolejno, »e
· x)
(wskazówka: ci¡gªo±¢ zªo»enia)
cos x = 1 − 2(sin x2 )2 )
(wskazówka:
lim sin x = sin a;
x→a
(wskazówka:
sin x = sin a cos(x − a) + cos a sin(x − a))
lim cos x = cos a.
x→a
Uwaga: w tym zadaniu nie wolno korzysta¢ z ci¡gªo±ci funkcji trygonometrycznych, wszak wªa±nie
si¦ j¡ uzasadnia!
2. Twierdzenie o granicy ilorazu nic nie mówi o istnienu lub warto±ci granicy ilorazu je±li licznik i
mianownik d¡»¡ do zera. Czasem jednak mo»na iloraz przeksztaªci¢ do postaci, w której twierdzenie o arytmetyce granic ma zastosowanie. Na przykªad
x+2
limx→0 (x + 2)
2
x2 + 2x
= lim
=
= = 2.
x→0 2x + 1
x→0 2x2 + x
limx→0 (2x + 1)
1
lim
Oblicz w podobny sposób granice
(a)
x3 − x2
,
x→0 x2 + x
lim
(b)
2x2 − 3x − 2
,
x→2 x3 − x2 − x − 2
lim
(c)
x2 + sin x tg x
.
x→0
1 − cos x
lim
3. Wyznacz granice metodami podobnymi do tych z poprzedniego zadania:
√
(a)
lim
x→0
1+x−
x
√
1−x
4. Wykorzystuj¡c równo±¢
(a)
f
,
(b)
limx→0
x−1
lim
,
x→1 x − 1
ax −1
x
5x − 3x
,
x→0 2x − 1
lim
Wskazówka do (c):
5. Zaªó»my, »e
√
3
= loge a
(b)
r
(c)
(gdzie
lim
x→0+
1
1
1
+ −
2
x
x x
e = 2, 71828183...),
loga (1 + x)
,
x→0
x
!
(d)
oblicz:
1
lim
(c)
lim (1 + ax) x .
x→0
pq = eq loge p .
jest funkcj¡ rosn¡c¡ na pewnym przedziale otwartym zawieraj¡cym
f (x)
f (0) = 0 i lim
= a.
x→0 x
−1
Wskazówka: podstaw
2x − 1
.
x→0 ( 1 )x − 1
2
lim
x=f
Niech
f −1
b¦dzie funkcj¡ odwrotn¡ do
f.
Oblicz
0,
speªniaj¡c¡
−1
limx→0 f x(x) .
(y).
Mateusz Kwa±nicki