X Y 4 =

2
Jednowymiarową zmienną losową opisuje funkcja gęstości: f(x) = 3x
dla x ∈<0, 1>.
a) Wyznacz dystrybuantę F(x) (wykres) i oblicz używając jej P(x ∈<-2, 0.5>) oraz medianę Me
b) Oblicz odchylenie standardowe σ, odchylenie przeciętne d, eksces ε oraz E(1/x).
c) Wyznacz funkcję gęstości g(y) dla zmiennej losowej Y = 4 X i sprawdź dla niej warunek normalizacji.
Funkcja gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej f(x,y) = 3x dla x ∈<0, 1>, x ≤ y ≤ 2-x . Wyznacz:
a) rozkłady brzegowe i sprawdź niezależność zmiennych X i Y. b) równanie krzywej regresji I-go rodzaju
X względem Y oraz równanie prostej regresji II-go rodzaju Y względem X. c) Wyznacz funkcję gęstości
g(z) dla zmiennej losowej Z = 2X + 2Y i sprawdź dla niej warunek normalizacji.
Student mierząc stężenie NaCl otrzymał następujące wyniki X: 15, 12, 15, 14, 14, 15, 14, 12, 15
a) Wyznacz: dystrybuantę F(x) (wykres), modę Mo, medianę Me, odchylenie ćwiartkowe Q, odchylenie
standardowe σ, odchylenie przeciętne d, współczynniki: zmienności Vσ, Vd, asymetrii AS , skośności γ,
skupienia β (kurtoza) oraz eksces ε. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y =X - |X – 12| i oblicz E(1/Y).
b) Przyjmując poziom ufności α = 0.9 wyznacz przedziały ufności dla wartości średniej m oraz wariancji σ2.
σ2 ≤ 1),
c) Przyjmując poziom istotności β = 0.2 zweryfikuj hipotezy: H(m = 14), H(m ≤ 12), H (σ
d) Stosując test χ2 zweryfikuj na poziomie istotności β =0.02 hipotezę: H(rozkład stężeń jest jednostajny).
e) Przyjmując, że σ=1 oblicz minimalną liczebność próby dla oszacowania średniego stężenia z błędem ≤ 0.2
Liczebności ocen (X) w dwóch 10 osobowych grupach (Y) prezentuje tabela:
X
Y
1
2
2
3
4
5
4
0
3
3
3
3
0
4
Wyznacz:
a) Rozkład zmiennej warunkowej X|Y oraz punkty krzywej regresji I-go rodzaju X względem Y
b) równanie prostej regresji II-go rodzaju Y względem X, wariancję resztową odchyleń losowych
σ
2
ε
,
typowe przedziały zmienności oraz przedziały ufności współczynników regresji liniowej przyjmując
współczynnik ufności α = 0.8
c) Zweryfikuj hipotezę niezależności zmiennych X i Y przyjmując poziom istotności β = 0,02
d) Rozkład zmiennej losowej Z = | 2Y - X |
100 próbek betonu poddano badaniu wytrzymałości na ściskanie i uzyskano następujące wyniki:
wytrzymałość
<0, 2>
(2, 4>
(4, 6>
(6, 8>
(8,10>
liczba próbek
9
14
54
14
9
a) Narysuj histogram częstości oraz diagram kumulacyjny (wykres dystrybuanty empirycznej). Korzystając
z nich wyznacz wartość mody (Mo) oraz medianę (Me).
b) Zweryfikuj hipotezę, że rozkład wytrzymałości jest rozkładem normalnym, przyjmując poziom istotności
β = 0.01 stosując test χ2.
Przeprowadzono obserwacje opóźnień pociągów. Stwierdzono, że na 225 przypadkowo wybranych pociągów
81 przyjechało z opóźnieniem.
a) Wyznacz przedział ufności dla nieznanego prawdopodobieństwa p występowania opóźnienia, przyjmując
poziom ufności α = 0.99.
b) Na poziomie istotności β = 0.01 zweryfikuj hipotezę, że frakcja opóźnionych pociągów nie przekracza 20%.
Przeprowadzono obserwacje palaczy papierosów. Wybrano losowo 300 mężczyzn i 200 kobiet. Okazało się, że
wśród mężczyzn było 200 palaczy a wśród kobiet 100. Na poziomie istotności β = 0.06 zweryfikuj hipotezę o
jednakowym odsetku palących papierosy wśród kobiet i mężczyzn
W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego grupę
pracowników i zbadano pod względem długości stażu pracy. Otrzymano następujące wyniki:
Zakład 1: n1 =36 pracowników, x1 = 7 lat , δ 12 = 3 ; zakład 2: n2 = 40 pracowników, x2 = 8 lat, δ 22 = 6
Na poziomie istotności β = 0.02 zweryfikować hipotezę, że średnie staże pracy dla wszystkich pracowników
każdego z tych zakładów są jednakowe.
Przeprowadzono pomiary czasu pisania sprawdzianu ze statystyki w losowo dobranej grupie studentek
i studentów otrzymując następujące wyniki (w minutach):
Studentki: 70, 80, 65, 51, 71, 60, 75, 66, 70, 72; Studenci: 50, 51, 50, 70, 55, 65, 52, 61, 66, 80, 75, 79
Stosując test serii zweryfikuj na poziomie istotności β = 0.05 następujące hipotezy:
a) H(rozkłady czasu są losowe)
b) H(rozkłady czasu w obu grupach są jednakowe).