zestaw 4 - main5.amu.edu.pl

DWRP-4 Prawdopodobie«stwo warunkowe, wzór Bayesa
1. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e iloczyn wyników na obu kostkach b¦dzie
liczb¡ parzyst¡, je±li wiadomo, »e
(a) na pierwszej kostce wypadªa parzysta liczba oczek ?
(b) na drugiej kostce wypadªa nieparzysta liczba oczek ?
(c) liczby oczek na obu kostkach s¡ ró»ne ?
2. Maª»e«stwo ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ma ono zarówno córk¦ jak i syna, je±li okazaªo
si¦, »e
(a) starsze dziecko to dziewczynka ?
(b) co najmniej jedno z dzieci to dziewczynka ?
Zakªadamy, »e wszystkie cztery mo»liwo±ci (dziewczynka, chªopiec), (dziewczynka, dziewczynka), (chªopiec,
dziewczynka) i (chªopiec, chªopiec) s¡ jednakowo prawdopodobne.
3. Niech Pr(A|B) = Pr(B|A) oraz Pr(A ∩ B) > 0. Oszacuj najlepiej jak potrasz Pr(A), je±li wiadomo, »e
A ∪ B = Ω.
4. Zaªó»my, »e prawdopodobie«stwo, »e w danym dniu nie b¦dzie miaªa miejsca skuteczna kradzie» w superk
markecie wynosi n+k
, gdzie k jest liczb¡ ochroniarzy, a n liczb¡ zªodziei (n + k > 1). Je±li pewnego dnia
zdarza si¦ kradzie», to nast¦pnego dnia liczba ochroniarzy jest zwi¦kszana o 1. Niestety po udanej kradzie»y
równie» liczba zªodziei nast¦pnego dnia ro±nie o 1. Je»eli kradzie» si¦ nie zdarzy, to nast¦pnego dnia liczby
zªodziei i ochroniarzy pozostaj¡ bez zmian. Zaªó»my, »e w poniedziaªek jest 1 ochroniarz i 2 zªodziei. Jakie
jest prawdopodobie«stwo, »e supermarket b¦dzie okradany skutecznie i codziennie a» do czwartku ?
5. W urnie A jest jedna kula czerwona i pi¦¢ zielonych, a w urnie B po trzy kule w ka»dym z tych dwóch kolorów.
Z urny A wybieramy za jednym razem dwie kule i przekªadamy je do B . Nast¦pnie wyci¡gamy jedn¡ kul¦
z urny B.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to kula zielona ?
(b) Je±li okazaªo si¦, »e jest to kula czerwona, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z urny A do B przeªo»yli±my
dwie kule o ro»nych kolorach ?
6. Rzucamy kostk¡, a nast¦pnie rzucamy dodatkowo tyle razy ile oczek wypadªo nam za pierwszym razem. Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e we wszystkich dodatkowych rzutach wypadnie szóstka.
7. S¡ trzy grupy ¢wiczeniowe do jednego wykªadu, G1 , G2 i G3 , licz¡ce odpowiednio n1 , n2 i n3 studentów. W
ka»dej z nich znany jest poziom przygotowania do kolokwium: w grupie G1 30% studentów, w grupie G2 50%
studentów oraz w grupie G3 70% studentów zaliczy kolokwium. Kolokwium pisz¡ wszyscy razem. Po zebraniu
wszystkich prac sprawdzaj¡cy wybiera losowo prac¦ jednego studenta. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
(a) praca nale»y do studenta z grupy G1 ?
(b) autor wybranej pracy zaliczyª kolokwium ?
(c) praca nale»y do studenta z grupy G1
(d) praca nale»y do studenta z grupy G1 ,
i
student ten zaliczyª kolokwium ?
je±li
okazaªo sie, »e student ten zaliczyª kolokwium ?
8. Pewna rma medyczna opublikowaªa dane dotycz¡ce nowego testu na pewn¡ wad¦ genetyczn¡. Wspóªczynnik
niepoprawnych negatywnych wyników jest maªy : je±li kto± ma t¦ wad¦, to prawdopodobie«stwo, »e test j¡
wykryje wynosi 0,999. Wspóªczynnik niepoprawnych pozytywnych wyników jest równie» maªy : je±li kto± nie
ma tej wady, to prawdopodobie«stwo, »e test da pozytywny wynik wynosi tylko 0,005. Zaªó»my, »e 2% populacji
ma rozwa»an¡ wad¦ genetyczn¡. Je±li losowo wybrana osoba z tej populacji zostaje poddana testowi i wynik
jest pozytywny, to jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wada rzeczywi±cie u niej wyst¦puje ?
9. Osoba A wysyªa do B informacj¦, koduj¡c j¡ kropkami i kreskami. Prawdopodobie«stwo bª¦du w odbiorze
w przypadku nadania kropki wynosi 0,2, a w przypadku kreski 0,1. Cz¦sto±¢ nadawania kropek w stosunku do
cz¦sto±ci nadawania kresek wynosi 4 : 1. W pewnym momencie B odebraª kropk¦. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ten sygnaª nie jest przekªamany ?
1
ZADANIA DOMOWE
1. Rzucamy dwiema niestandardowymi kostkami sze±ciennymi, które maj¡ nast¦puj¡ce liczby oczek na ±cianach:
• kostka A - 1,1,2,2,3,3;
• kostka B - 3,3,4,4,5,5;
Oblicz prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e iloczyn wyników na obu kostkach b¦dzie liczb¡ parzyst¡, pod warunkiem, »e
(a) na pierwszej kostce wypadªo jedno oczko.
(b) suma oczek na obu kostkach wynosi 6.
(c) na co najmniej jednej kostce wypadªa nieparzysta liczba oczek.
(d) na obu kostkach wypadªa ró»na liczba oczek.
2. Cztery pary maª»e«skie usiadªy losowo w rz¦dzie w urz¦dzie, w tym i pa«stwo Kowalscy. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e »aden m¡» nie siedzi obok swojej »ony, je±li pa«stwo Kowalscy nie siedz¡ obok siebie?
3. Ze standardowej talii 52 kart wyjmujemy wszystkie dziewi¡tki i wszystkie asy, a nast¦pnie wybrane karty
tasujemy. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w tak otrzymanym ci¡gu o±miu kart »adne dwie karty o tym
samym kolorze nie s¡siaduj¡ ze sob¡, je±li wiadomo, »e dziewi¡tka i as kier nie znalazªy si¦ obok siebie ?
4. Ze wszystkich 8 klocków z nadrukowanymi literami : A,A,B,B,C,C,D,D, ukªadamy wyraz, niekoniecznie sensowny. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e »adne dwa klocki z nadrukowan¡ t¡ sam¡ liter¡ nie s¡siaduj¡ ze
sob¡, je±li wiadomo, »e litery A nie stoj¡ obok siebie ?
5. Niech Ω b¦dzie przestrzeni¡ zdarze« elementarnych dla dwukrotnego rzutu monet¡. Podaj przykªad takich
zdarze« A, B ⊆ Ω, »e Pr(A) > 0, Pr(B) > 0, A ̸= B i
(a) Pr(A|B) > Pr(A).
(b) Pr(A|B) < Pr(A).
(c) Pr(A|B) = Pr(A).
6. Zaªó»my, »e Pr(B) > 0. Udowodnij, korzystaj¡c z denicji prawdopodobie«stwa warunkowego, »e
Pr(Ac |B) = 1 − Pr(A|B) .
7. Udowodnij, »e dla dowolnych zdarze« A i B o dodatnich prawdopodobie«stwach Pr(A∩B|A) > Pr(A∩B|A∪B).
Kiedy zachodzi równo±¢ ? Czy prawd¡ jest, »e dla dowolnego C ⊆ A ∩ B zachodzi Pr(C|A) > Pr(C|A ∪ B) ?
8. Udowodnij, »e dla dowolnych zdarze« A i B o dodatnich prawdopodobie«stwach, je±li A ⊆ B , to
Pr(A|B) > Pr(A). Kiedy zachodzi równo±¢ ?
9. Na podstawie denicji prawdopodobie«stwa warunkowego sprawd¹, »e dla zdarze« A i B o dodatnich prawdopodobie«stwach zachodzi Pr(A|B) > Pr(A), wtedy i tylko wtedy, gdy Pr(B|A) > Pr(B).
10. Niech C oznacza zdarzenie, »e bryd»ysta S ma na pocz¡tku gry asa pik. Sprawd¹ bez dokªadnych oblicze«,
korzystaj¡c z wªasno±ci w poprzednim zadaniu, »e prawdopodobie«stwo zdarzenia C pod warunkiem, »e S ma
co najmniej 1 asa, jest wi¦ksze od prawdopodobie«stwa (bezwarunkowego) zdarzenia C .
11. Zaªó»my, »e w przykªadzie o supermarkecie (przykªad 4) w poniedziaªek jest 1 ochroniarz i 1 zªodziej. Jaka
jest szansa, »e supermarket b¦dzie okradany (skutecznie i codziennie) a» do niedzieli ?
12. Losujemy 3 razy bez zwracania kulk¦ z kapelusza z 10 kulkami biaªymi i 6 czarnymi. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wszystkie wylosowane kule b¦d¡ czarne ? Rozwi¡» to zadanie dwoma sposobami :
a) korzystaj¡c z wzoru ªa«cuchowego,
b) bez prawdopodobie«stw warunkowych, w klasycznej przestrzeni probabilistycznej.
13. Rzucamy niestandardow¡ kostk¡ sze±cienn¡, która ma nast¦puj¡ce liczby oczek na ±cianach: 0,0,1,1,2,2. Rzucamy jeden raz, a nast¦pnie rzucamy t¡ sam¡ kostk¡ tyle razy, ile wypadªo oczek w pierwszym rzucie. Oblicz
prawdopodobie«stwo, »e w »adnym z dodatkowych rzutów nie wypadnie 0. (Uwaga: Je±li nie rzucamy dodatkowo ani razu, to uwa»amy, »e w »adnym z dodatkowych rzutów nie wypadªo 0.)
14. W eksperymencie rzucamy czterema uczciwymi (czyli dobrze wywa»onymi) monetami. Nast¦pnie rzucamy
jedn¡ monet¡ tyle razy, ile w eksperymencie wypadªo orªów. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w »adnym z dodatkowych rzutów nie wypadnie orzeª. (Uwaga: Je±li nie rzucamy dodatkowo ani razu, to uwa»amy, »e w »adnym
z dodatkowych rzutów nie wypadª orzeª.)
2
15. W urnie A znajduje si¦ 5 kul, ka»da ma nadrukowan¡ inn¡ liczb¦ spo±ród : 1, 2, 3, 4, 5. W urnie B jest równie»
5 kul, z nadrukowanymi liczbami : 1, 2, 3, 4, 4. Losujemy najpierw kul¦ z urny A, a nast¦pnie losujemy ze
zwracaniem tyle kul z B , ile wskazuje liczba na kuli z A. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e z urny B nie
wylosujemy ani razu kuli z nadrukowan¡ 4.
16. Wybieramy losowo osob¦ z populacji zawieraj¡cej tyle samo kobiet co m¦»czyzn. Wiemy, »e w tej populacji 5%
m¦»czyzn oraz 0,25% kobiet jest daltonistami.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wybrana losowo osoba jest daltonist¡ ?
(b) Wybrana losowo osoba okazaªa si¦ daltonist¡. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e jest to m¦»czyzna.
17. Prawdopodobie«stwo, »e student zna odpowied¹ na pytanie wynosi p. Je±li nie zna odpowiedzi, to zgaduje
jedn¡ z k mo»liwych odpowiedzi z prawdopodobie«stwem k1 .
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e student odpowie prawidªowo na pytanie ?
(b) Je±li odpowiedziaª prawidªowo, to jakie jest prawdopodobie«stwo, »e znaª odpowied¹ ?
Zakªadamy, »e je»eli student zna odpowied¹, to odpowiada prawidªowo na pytanie.
18. W±ród autobusów kursuj¡cych na linii 87, 30% stanowi¡ autobusy wysokopodªogowe a 70% autobusy niskopodªogowe. Autobusy wysokopodªogowe spó¹niaj¡ si¦ z prawdopodobie«stwem 0,2, natomiast autobusy
niskopodªogowe z prawdopodobie«stwem 0,1. Stoisz na przystanku i czekasz na autobus linii 87.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e autobus si¦ spó¹ni ?
(b) Je±li okazaªo si¦, »e autobus przyjechaª na czas, to jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest wysokopodªogowy ?
19. W urnie A mamy jeden los o warto±ci wygranej 2 zª i pi¦¢ losów o warto±ci 3 zª, a w urnie B cztery losy
o warto±ci 2 zª. Z urny A przekªadamy do B dwa losowo wybrane losy, a nast¦pnie wyci¡gamy jeden los z urny
B.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to los o warto±ci 3 zª ?
(b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z urny A przeªo»yli±my 2 losy o warto±ci 3 zª do urny B , je±li okazaªo
si¦, »e z urny B wylosowali±my los o warto±ci 2 zª ?
20. W urnie A jest po jednej kuli w kolorach : czerwonym, zielonym i niebieskim. W urnie B znajduj¡ si¦ po trzy
kule w ka»dym z tych trzech kolorów. Z urny A przekªadamy do B jedn¡ losowo wybran¡ kul¦, a nast¦pnie
wyci¡gamy jedn¡ kul¦ z urny B . Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z urny A przeªo»yli±my kul¦ czerwon¡ do
urny B , je±li wiemy, »e z urny B zostaªa wylosowana kula niebieska ?
21. W urnie A jest jedna kula czerwona i dwie zielone. W urnie B pi¦¢ kul czerwonych i dwie zielone. Z urny A
przekªadamy do B dwie losowo wybrane kule, a nast¦pnie wyci¡gamy jedn¡ kul¦ z urny B .
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to kula czerwona?
(b) Je±li okazaªo si¦, »e jest to kula zielona, jakie jest prawdopodobie«stwo, »e z urny A do B przeªo»yli±my
dwie kule o ro»nych kolorach ?
22.
Czuªo±ci¡ testu nazywamy odsetek chorych, u których test daje wynik dodatni. Swoisto±¢ to odsetek zdrowych,
u których test daje wynik ujemny. Np. w przykªadzie 8 test ma czuªo±¢ 99,9%, a swoisto±¢ 99,5%. Zaªó»my,
»e czuªo±¢ testu na chorob¦ wie«cow¡ wynosi 65%, a swoisto±¢ 85%. Przyjmuj¡c, »e 10% ludzi ma chorob¦
wie«cow¡, chcemy obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e test doprowadzi do zªej diagnozy. Czy poni»sze rozwi¡zanie
jest poprawne ?
Test doprowadzi do zªej diagnozy oznacza, »e wynik jest dodatni, je±li pacjent jest zdrowy lub wynik jest
ujemny, je±li pacjent jest chory.
Dodajemy prawdopodobie«stwa w obu przypadkach i otrzymujemy wynik
0.15 + 0.35 = 0.5.
3