RACHUNEK PRAWDOPODOBIE NSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEN STWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista nr 2
Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki \Rachunek prawdopodobienstwa
i statystyka matematyczna"
1.2.14.
Dwie osoby maja jednakowe prawdopodobienstwo przybycia na
dane miejsce w ka_zdej chwili przedzialu czasu dlugosci T. Obliczyc prawdopodobienstwo, z_ e czas oczekiwania jednej osoby na druga bedzie nie dlu_zszy
ni_z t (0 < t < T ).
1.2.16. Z kwadratu = [0; 1] [0; 1] wybieramy punkt o wsp
olrzednych
2
(p; q). Jakie jest prawdopodobienstwo, z_ e rownanie x + px + q = 0 bedzie
mialo dwa pierwiastki zespolone ?
1.3.6. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyc prawdopodobie
nstwo
wyrzucenia wiecej ni_z trzech oczek na pierwszej kostce, jesli wiadomo,_ze suma
liczby oczek na obu kostkach jest mniejsza od pieciu.
1.3.8. W rodzinie jest czw
orka dzieci. Prawdopodobienstwo, z_ e dziecko jest
chlopcem wynosi 0.51. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e w rodzinie jest
co najmniej jeden chlopiec. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e wszystkie
dzieci sa chlopcami, jesli wiadomo, z_ e w tej rodzinie jest co najmniej jeden
chlopiec.
1.3.9. Charakterystyka surowca przygotowanego do produkcji mo_
ze znajdowac sie w szesciu przedzialach z prawdopodobienstwami 0.09, 0.16, 0.25,
0.25, 0.16 i 0.09. W zale_znosci od wlasciwosci surowca prawdopodobienstwa
otrzymania produkcji pierwszego gatunku wynosza odpowiednio 0.2, 0.3,
0.4,0.4,0.3 i 0.2. Obliczyc prawdopodobienstwo otrzymania produkcji pierwszego gatunku.
1.3.15. Pewna choroba wyst
epuje u 0.2% ogolu ludnosci. Przygotowano test
do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych.
Obliczyc prawdopodobienstwo tego, z_ e losowo wybrana osoba jest chora, jesli
test tej osoby dal wynik pozytywny.
1.3.18.
Z trzech pracujacych niezale_znie elementow urzadzenia dwa zawiodly. Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e zawiodly elementy pierwszy
i drugi, jesli prawdopodobienstwa awarii elementow pierwszego, drugiego i
trzeciego sa odpowiednio rowne: p1 = 0:2; p2 = 0:4; p3 = 0:3.
1.2.22. Prawdopodobie
nstwo pojawienia sie zdarzenia A przynajmniej raz
przy czterech niezale_znych doswiadczeniach jest rowne 0.59. Jakie jest prawdopodobienstwo pojawienia sie zdarzenia A przy jednym doswiadczeniu, je_zeli
przy ka_zdym doswiadczeniu prawdopodobienstwo to jest takie samo.
2.1.1. Dla jakich warto
sci parametrow a i b funkcja
8 ax
>< 0:5e
dla x 1;
F (x) = > bx + 0:75 dla , 1 < x 2;
:1
dla x > 2
jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej X ? Przyjmujac a = 0:5 oraz
b = 0:1 obliczyc:
a) P (1 X < 2),
b) P (0 X 1),
c) P (0:5 X 1:5),
d) P (,1 X < 3).
Zadania spoza skryptu:
Rzucamy dwiema kostkami do gry. Rozpatrzmy trzy zdarzenia : A - suma
oczek jest parzysta, B - suma oczek jest mniejsza ni_z 4, C - suma oczek jest
podzielna przez 3. Czy zdarzenia A; B; C sa wzajemnie niezale_zne?
2. Obserwujemy czas niezawodnej pracy k z
_ arowek. Jak wyglada przestrzen
zdarzen elementarnych? Jak zdeniowac zmienna losowa opisujaca czas
pracy ukladow rownoleglego i szeregowego zlo_zonych z k z_ arowek? Podac
przyklady innych zmiennych okreslonych na tej przestrzeni.
3. Samoch
od porusza sie po trasie, na ktorej znajduja sie 4 sygnaly swietlne,
dzialajace niezale_znie od siebie. Ka_zdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza
samochod z prawdopodobienstwem p = 21 . Niech X oznacza liczbe sygnalow
minietych przez samochod do momentu pierwszego zatrzymania. Znalezc
rozklad zmiennej losowej X i narysowac jej dystrybuante.
1.