AiRR, Zarządzanie – zadania na ćwiczenia

AiRR, Zarządzanie – zadania na ćwiczenia
1. Zbadać z definicji czy funkcje są różniczkowalne we wskazanych punktach:
x ) x x − 1 , x1 = 1 oraz x2 = 2;
a) f ( =
b) f ( x )=
x 2 + 4 x + 4 + 2 x, x1 = −2 oraz x2 = 0;
3 x + 2 dla
c) f ( x ) =  2
 x − 2 dla
x ≤ −1
, x1 = −1 oraz x2 = 1;
x > −1
2. Korzystając z definicji, wyznaczyć pochodną funkcji we wskazanych punktach:
a) f ( x )= x + 3, x0 = −2;
b) f ( x=
) x 2 − 4, x0 = 3;
c) f ( x ) =x3 + 2 x 2 − x, x0 = 0;
d) f ( x ) =
e) f =
( x)
2
x −5
, x0 = −1;
2 x + 3, x0 = 3;
f) f ( x ) = cos 2 x, x0 = π6 ;
− 23 x + 3 dla
g) f ( x ) =  9
dla
 x2
x≤3
x>3
, x0 = 3;
3. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o pochodnych, wyznaczyć pochodne funkcji:
a) f ( x )= 2 x 3 − 3 x 2 + x + 1,
b) f ( x ) = 3 x + 2 x − 3x + x23 ,
c) f ( x ) =
2 x − x3 + 3 3 x
x2
,
d) f ( x ) =x 5 − 2e5 − 3π 2 ,
e) f ( x ) = 4sin x + 2 ln x − 3x ,
f)=
f ( x ) arcsin x − 3 x ,
g) f ( x ) = x 2 cos x,
h) f ( x=
) e x ⋅ tg x,
(
)
i) f ( x ) = ( x3 − 2 x ) ⋅ 3 x − 1 ,
x ln x ⋅ arctag x,
j) f ( x ) =⋅
k) =
f ( x)
l) f ( x ) =
x ln x − 1x arccos x,
1
x 2 + 3 x −1
,
m) f ( x ) =
x 2 −3 x + 2
2 x −1
n) f (=
x)
x3 + 2
x 2 −3
o) f ( x ) =
2 x +3
arctg x
p) f ( x ) =
xe x
x2 + 2
q) f (=
x)
( 3x + 1)
+
,
1
x 2 +1
,
,
,
6
,
r)=
f ( x ) sin ( 4 x 2 − 1) ,
4. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji:
a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 w punkcie x0 = 2,
b) f ( x )
=
c) f ( x ) =
=
x w punkcie x0 9,
w punkcie x0 = −1,
2
x
=
d) f ( x )
3x
x−2
e) f ( x )
=
x3 + 2
x3
=
w punkcie x0 1,
w punkcie x0 2,
=
5. Obliczyć pochodne do rzędu n dla funkcji:
a) f ( x ) = x 4 − 2 x3 + x 2 − 1 oraz n = 3,
b) f ( x ) = x 5 − π x + 1 oraz n = 2,
x − x +1
c) f ( x ) e=
=
oraz n 2,
2
2
=
sin x oraz n 3,
d) f ( x ) x=
e) f ( x )=
=
f) f ( x )
g) f ( x )
=
( 2 x + 1) ⋅ ln 2 x
oraz n= 2,
=
oraz n 3,
x
x +1
=
oraz n 2,
ex
x 2 +1
=
=
x oraz n 2,
h) f ( x ) arcsin
ln 3 1 + x 2
i) f ( x ) =
oraz n =
2,
x
j) f ( x ) e=
=
oraz n 3,
2
=
=
x oraz n k ,
k) f ( x ) cos
6. Zbadać, czy w podanym przedziale funkcja f spełnia założenia twierdzenia Rolle'a.
Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu:
[ 2, 4] ;
a) f ( x ) = x 2 − 6 x + 13,
[ −3, −1] ;
b) f ( x ) = x + 2 − 3,
c) f ( x ) =
x−2
x2
, −1, 23  ;
 x 2 + 1 dla
=
d) f ( x ) 
dla
2 x
e) f ( x ) =
ex
x
,
x <1
x ≥1
,
[ −3,5] ;
[ −1,1].
7. Zbadać, czy funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a w podanym
przedziale. Jeśli tak, to wyznaczyć stałą c, o której mowa w twierdzeniu:
a) f ( x ) = x 2 − 2 x − 3,
b) f ( x ) = arccos x,
[ −1,3] ;
[ −1,1] ;
c) f ( x ) =
e x − 4 + 1,
2
[ −2, 2] ;
 x 3 − 9 dla
d) f ( x ) =  1
dla
 x2 −3
4
 x − 2 x dla
 −6 x
dla
 x +3
e) f ( x )
x<2
,
x≥2
x<0
,
x≥0
[1,3] ;
[−1,1]
8. Korzystając z twierdzenia de l'Hospitala, obliczyć granice:
a) lim xx3−−28x ,
2
x→2
b)
c)
d)
lim
x4
lim
ln x
ctg x
lim
ln x
x →∞ e x
x → 0+
x →1+
2
,
,
,
x 2 −1
e)
lim x −xsin3 x ,
f)
lim e
g)
lim arctgx x ,
h)
lim e sin−ex ,
x →0
x →0
x
− x +3
x2
,
sin 1
x→∞
x
−x
x →0
x+ x −2
,
i) lim 2cos
x 2 sin 2 x
2
x →0
j) lim+ ( 1x )
sin x
x →0
k)
,
lim− ( sin x )
tg x
x → π2
,
lim+ ( π2 arccos x ) x ,
1
l)
x →0
3
lim ln ( e + x 3 )  x .
1
m)
x →0
9. Korzystając z definicji różniczki funkcji, obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
a) 1,021 2 ,
(
b)
)
0,99
0,1
c) e
d) cos 29
e) arctg ( 0, 02 )
f)
3
2
7,99
g)
4, 02 ⋅ ln1, 02
h)
2, 023,02
10. Wyznaczyć ekstrema i przedziały monotoniczności poniższych funkcji:
a) f ( x) = 13 x 3 − 3 x + 2
b) f ( x) = ( x − 2) 4 + ( x − 2)
c) f ( x) = 23 x3 − 2 x 2 + 2 x
d) f ( x) =
x2 −6
x −9
e) f ( x ) =
2 x2
x2 + 4 x + 4
f) f ( x) =
( x −3)2 ( x − 2)
x+2
g) f ( x) =
x −1
x2 + 2 x + 2
h) f ( x) =
2
1 x3 − 3 x + 2
3
i) f =
( x)
2 x − x2
j) f ( x) =e x −3 + cos x + 5 x
k) f ( x) =+
3 x 2sin x + 14 sin 2 x
l) f ( x) arcsin( x) − ln x
=
m) f ( x) = arcsin( x2 x++x1+ 2 )
11. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji :
a) f ( x) = 13 x3 − 52 x 2 + 4 x w przedziale [0,5]
b) f ( x) =
x2 − 2
x+2
w przedziale [1,5]
c) f ( x) =
e x+1
x 2 −1
w przedziale [2, 4]
d) f ( x) = 2e x +1 + sin x + 3 x w przedziale [0, π ]
e) f ( x)= ln( x − 1) + ( x − 1) 2 + 3 x w przedziale [2,5]
12. Znaleźć punkty przegięcia i wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości:
a) f ( x) = x 4 − 4 x3 + 6 x 2 − 4 x + 1
b) f =
( x) 301 x 6 − 121 x 4
c) f ( x) = xx −+21
d) f ( x) = xx +− 22
2
e) f ( x ) =
3x
x 2 +1
f) f ( x) =
1− x
x
g) f ( x) = ln x + x 2 + x
h) f ( x) =12 e 2 x + 7 − 12 cos 2 x + 23 x 2
i) f ( x) = ( x − 1) ln( x − 1) − 52 x 2 + 13 x 3
13. Zbadać przebieg zmienności poniższych funkcji:
a) f ( x) =x 4 + 3 x 3 − 4 x
b) f ( x) =
− x3 ( x + 3) 2
c) f ( x) =
d) f ( x ) =
e) f ( x ) =
f) f ( x) =
2+ x2
x −1
3x
x 2 +1
2
4− x2
x 2 − 2 x +1
x2
g) f ( x) =
x 2 +10 x + 22
x +3
h) f ( x) =
x3
x 2 −9
i) f ( x) = x + 3 + x12
j) f ( x) =
16 x − 4 x 2 − 12
k) f ( x) =
2− x
2+ x
l) f ( x) =(1 − x) 3 − 2 x − x 2
m) f ( x=
) ( x + 1)
n) f ( x=
)
1+ x
1− x
x2 + x − 2
−
3
o) f ( x) = e 2 x2
p) f ( x)= ln(3 − x) − ln( x − 1)
q) f ( x) = x ln x
r) f ( x) =
x −2
ex
s) f ( x) = x 2 + 7 x + 12 + ln( x + 3)