Matematyka – Zestaw 14 Funkcje wielu zmiennych Zadanie 1

Wydział Zarządzania – Matematyka – Zestaw 14
Funkcje wielu zmiennych
Zadanie 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji z = f (x, y) i przedstawić ją graficznie:
a) f (x, y) = p
1
1
x−y
√
d) f (x, y) = x2 − 1
√
√
f) f (x, y) = x + y
p
h) f (x, y) = x2 + y 2 − 1 + ln (4 − x2 − y 2 )
b) f (x, y) =
x2 + y 2
√
xy
p
e) f (x, y) = x2 − y 2
c) f (x, y) =
g) f (x, y) = ln (4 + 4x − y 2 )
i) f (x, y) = arc sin xy
Zadanie 2. Wyznaczyć dziedzinę i warstwice funkcji:
a) f (x, y) = x2 + y 2
b) f (x, y) = y − x2
d) f (x, y) = xy
e) f (x, y) =
c) f (x, y) =
x2
y
+ y2
p
9 − x2 − y 2 f) f (x, y) = y 2
1
1
g) f (x, y) = 1 − x − y
2
3
Zadanie 3. Wykazać, że nie istnieją następujące granice:
a)
xy
b)
2
(x, y)→(0, 0) x + y 2
lim
x2
c)
(x, y)→(0, 0) x2 + y 2
lim
2x2 + y 2
d)
(x, y)→(0, 0) x2 − y 2
lim
x6
(x, y)→(0, 1) y 2 − 1
lim
Zadanie 4. Pokazać, że:
a) lim
x→0
y→1
1
=1
x + y2
4
b) lim
x→0
y→0
x −y
=0
x2 + y 2
2
q
x2 + (y − 2)2 + 1 − 1
4
c) lim
x→0
y→2
2
x2 + (y − 2)
=
1
2
2
x3
ex +y − 1
d) lim
=
0
e)
lim
=1
x→0 x2 + y 2
x→0
x2 + y 2
y→0
y→0
Zadanie 5. Stwierdzić, czy podane funkcje można tak określić w punkcie (0, 0), aby były ciągłe w tym
punkcie:
p
1
9 + x2 + y 2 − 3
1
2
2 x2 +y2
b)
f
(x,
y)
=
x
sin
c)
f
(x,
y)
=
(1
+
x
+
y
)
a) f (x, y) =
x2 + y 2
x2 + y 2
ex+y − 1
x2
1
d) f (x, y) =
e) f (x, y) = sin 2
f)
f
(x,
y)
=
x+y
x + y2
x2 + y 2
x4
g) f (x, y) = 2
x + y2
1
Wydział Zarządzania – Matematyka – Zestaw 14
Zadanie 6. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
a) f (x, y) = x3 y + 2xy
c) f (x, y) =
b) f (x, y) = ex (cos x + x sin y)
y
x2 + y 2
d) f (x, y) =
x−y
x+y
2
e) z = xy
f) z = exy
p
g) z = ln x + x2 − y 2
h) z = arc tg
i) f (x, y, z) = x2 y 2 z 4 + 3xy
j) f (x, y, z) = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex
k) f (x, y, z) = ln (x + y + z)
l) f (x, y, z) = sin (x2 + y 2 + z 2 )
m) u = ex (x2 + y 2 + z 2 )
n) u = ex sin yz
y
x
Zadanie 7. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:
3
2
3
a) f (x, y) = x + xy − 5xy + y
5
x2
b) f (x, y) = xy + 3
y
x
c) f (x, y) = xy
x
e) z = ln
y
d) f (x, y) = e y
g) f (x, y, z) = exyz
h) u = e3x+4y cos 5z
f) z = arc tg xy
Zadanie 8. Dana jest funkcja z = xey + yex . Wykazać, że
∂3z ∂3z
∂3z
∂3z
+
=
x
+
y
.
∂x3 ∂y 3
∂x∂y 2
∂x2 ∂y
Zadanie 9. Obliczyć pochodną funkcji z = x2 y + y 2 w punkcie P0 (1, 1) w kierunku półosi P0 S o kątach
kierunkowych α = 31 π, β = 16 π.
Zadanie 10. Znaleźć pochodną funkcji u = xy 2 z 3 w punkcie P0 (3, 2, 1) w kierunku od danego punktu do
punktu P1 (5, 4, 2).
2
Wydział Zarządzania – Matematyka – Zestaw 14
Zadanie 11. Znaleźć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach:
a) f (x, y) = x2 y 3 − x sin y,
P0 (−2, 0)
y
√
P0 41 , 9
b) f (x, y) = x y + √ ,
x
p
c) z = x2 − y 2 ,
P0 (−5, 3)
d) z = ln(x2 + y 2 ),
P0 (3, −4)
e) f (x, y, z) = x3 + 3xyz + yz 3 ,
10
f) f (x, y, z) = (3x2 y + z 4 ) ,
P0 (5, −2, 1)
P0 (−1, 0, 1)
g) u = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ex ,
P0 (−1, 1, 0)
Zadanie 12. Obliczyć pochodne kierunkowe funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
a) z = x2 + y 2 ,
P0 (−3, 4), u =
b) z = sin x cos y,
12
, 5
13 13
h
√ i
P0 (0, π), u = − 12 , 23
c) f (x, y) = arc tg xy,
P0 (1, 1), u = [1, 1]
d) f (x, y, z) = xy 2 + z 2 − xyz,
e) f (x, y, z) =
z−x
,
z+y
P0 (1, 1, 2), u = [1, 2, 1]
P0 (1, 0, −3), u = − 67 , 37 , − 27
f) u = ln (x2 + y 2 + z 2 ),
g) u = exyz ,
P0 (1, 2, 1), u = [2, 4, 4]
h
√ i
P0 (−1, 1, −1), u = 21 , − 43 , 43
Zadanie 13. Sprawdzić, czy dla funkcji f (x, y) = ln
√
x+
√ y zachodzi tożsamość
[x, y] ◦ grad f (x, y) = 21 .
Zadanie 14. Wyznaczyć wektor b = 12 det Hf (−1, 1) grad f (1, −1) dla funkcji f (x, y) =
y
.
x2
3