Analiza Matematyczna 1 MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057 Lista 1

Analiza Matematyczna 1
MAP1043, 1142, 1143, 3045, 3057
Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 15 jednostek odpowiadających kolejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać przynajmniej jeden podpunkt z każdego zadania.
Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone literą (P) są proste.
Te zadania należy rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką (*) są trudniejsze. Te
nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów.
Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych.
W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy
te można wykorzystać m.in. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania układów równań
algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp. Szczególnie polecamy stronę internetową
Wolfram Alpha. Można także korzystać z darmowych programów: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnych: Derive, Mathematica, Matlab,
Maple, Scientific WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych
do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji.
Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w
egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można
znaleźć na stronie internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych
przez studentów na sprawdzianach z matematyki.
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜skoczylas/typowe bledy studentow.pdf
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Wrocław, wrzesień 2013
Lista 1
1. Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
(a) „Amsterdam jest stolicą Holandii”; (b) „liczba 123888 jest podzielna przez 8”;
(c) „a2 + b2 = c2 ”;
(d) „trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest ostrokątny”;
(e) „25 ­ 32”;
(f) „∆ = b2 − 4ac”.
2. Napisać zaprzeczenia zdań:
(a) „ jem śniadanie i słucham radia”;
(c) „stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”;
(b) „kwadrat nie jest pięciokątem”;
(d) „ jeśli jutro będzie ciepło, to pójdę na basen”;
(e) „liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3”.
1
3. Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
(a) „nieprawda, że funkcja f (x) = x2 jest rosnąca na R”;
(b) „(−1)44 = −1 lub 2008 jest liczbą parzystą”;
(c) „funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f (x) = 3x nieparzysta”;
(d) „ jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;
(e) „liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna
przez 9”.
4. Rozwiązania równań i nierówności zawierających funkcje p i q zapisać, używając spójników logicznych, jako rozwiązania równań i nierówności zawierających tylko jedną funkcję:
q
p(x)
(a) p(x)q(x) = 0;
(b) p(x)q(x) < 0;
(c)
­ 0;
(d) p(x) q(x) ¬ 0.
q(x)
5. Czy podane funkcje zdaniowe są prawami logicznymi:
(a) ¬ (p ∨ q) =⇒ [(¬p) ∧ (¬q)] ;
(c) (p =⇒ q) ⇐⇒ [(¬p) ∨ q] ;
(b) p =⇒ [(q ∧ ¬q) =⇒ r] ;
(d) [p ∧ (¬q)] ∨ [(¬p) ∧ q]?
6. Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:
(a)
_
1
;
2
(b)
xy = 0;
(e)
sin x =
x∈R
(d)
_
^
^
x2 + 4x + 3 > 0;
(c)
x∈R
y∈R x∈R
^ ^
x∈R y∈R
^ _
x∈R y∈R
(y ¬ x) ∨ (y > x);
(f)
^
y∈R
x2 − y 2 = 0;
π π
!x∈ − ,
2 2
x∈R
_
∧ tg x = y.
7. Dla podanych par zbiorów A, B ⊂ R wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, Ac , B c , A△B:
(a) A = (0, 5), B = [0, 7];
(b) A = (−∞, 3), B = [−1, ∞);
Wskazać te pary A, B, dla których A ⊂ B.
(c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}.
8 (P). Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b i
naszkicować ich wykresy:
(a) y = 1;
(b) y − x = 0;
(c) y = −x + 4;
(d) y + 2x = 2;
(e) 3x + 4y − 2 = 0;
(f) x − 5y = 3.
9 (P). Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i naszkicować ich wykresy:
1
(a) f (x) = −x2 + x;
(b) f (x) = 2x2 + 1;
(c) f (x) = x2 + x + ;
4
9
3
2
2
2
(f) f (x) = −x − 3x − .
(d) f (x) = x + 2x − 3;
(e) f (x) = −2x − 2x + ;
2
4
Lista 2
10. Określić i narysować dziedziny funkcji:
x
x−2
(a) f (x) = 2
; (b) f (x) = 2
;
x − 2x − 3
x +4
(c) f (x) =
p
16 − x2 ;
x−1
.
(d) f (x) = √
x−1
11. Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach:
√
(a) f (x) = −4x + 5, R; (b) f (x) = 3 − x, (−∞, 3]; (c) f (x) = 4x − x2 , [2, ∞).
12. Określić funkcje złożone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz podać ich dziedziny, jeżeli:
1
(a) f (x) = x2 , g(x) = x + 1;
(b) f (x) = , g(x) = x2 ;
x
√
√
(d) f (x) = |x|, g(x) = x + 1.
(c) f (x) = x, g(x) = x4 ;
2
13. Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
(a) f (x) = 2x − 3, R;
(b) f (x) = , R \ {0};
(c) f (x) = x4 ,
x
[0, ∞).
14 (P). Korzystając z własności logarytmów obliczyć:
(a) log6 3 + log6 12;
(d) 3 loga 4 + loga
(b) log3 18 − log3 2;
1
− 4 loga 2;
4
(e) 3 log4
15. Naszkicować wykresy funkcji:
√
(a) y = (x + 1)4 ; (b) y = x − 2;
1
3
x−2
√
3−
(c) y =
(c) 9 log6
1
log4 3 + 3 log4 2 − log4 6;
2
(f)
√
3
36;
log2 54 − log2 6
.
log2 27 − log2 9
1
;
(x + 3)2
(f) y = 4|x| ;
(d) y = 2x+1 ;
(e) y =
(g) y = 5 + log2 x;
(h) y = |log 100x|;
;
(i) y = log 1
16. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
√
x+1
;
(b) f (x) = 3 − 3 x + 2;
(a) f (x) =
x−1
(e) f (x) = log(x + 2); (f) f (x) = log 1 2x;
2
3
|x|
.
9
1
x
(d) f (x) = 4 ;
(c) f (x) = 2x−1 ;
(g) f (x) = log32 (x + 1).
Lista 3
17 (P). Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować wykresy funkcji:
(a) y = sin 2x;
(d) y = 1 + sin x;
π
(c) y = sin x +
;
4
π
(f) y = sin 2 x −
.
6
x
(b) y = sin ;
3
1
(e) y = sin x − 1;
2
18. Naszkicować wykresy funkcji:
1
π
(a) y = cos x − cos x ; (b) y = 1 + ctg x +
;
2
4
(c) y = tg x + | tg x|;
(d) y = |tg x| ctg x.
19. Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
1 + tg α
= tg α;
1 + ctg α
α
1 − cos α
(d) tg =
;
2
sin α
(a)
1
(b) sin4 α+cos4 α = 1− sin2 2α;
2
(c) tg α + ctg α =
(e) sin4 α−cos4 α = sin2 α−cos2 α;
(f)
2
;
sin 2α
1
− cos α = sin α tg α.
cos α
Dla jakich kątów α są one prawdziwe?
20 (P). Podaj wartości wyrażeń:
(a) arcsin
√
2
1
+ arccos ;
2
2
√ !
− 3
arcsin
2
(c)
;
arcsin 1
(b) arc ctg 1 · arc tg 1;
21. Określić dziedziny funkcji:
(a) f (x) = arcsin(2x + 1);
1
;
(c) f (x) = arc tg
x+1
(b) f (x) = arccos x2 +
(d) f (x) = arc ctg 2x .
3
1
;
2
(d) arc tg
√
3 − arc ctg
√
3.
22*. Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
π 3π
(a) f (x) = sin x, x ∈
,
;
(b) f (x) = cos x, x ∈ [π, 2π];
2 2
3π π
;
(d) f (x) = ctg x, x ∈ (π, 2π).
(c) f (x) = tg x, x ∈ − , −
2
2
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista 4
23. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
√
2 + cos n
;
(b) an = n 2n + 1;
(a) an =
3 − 2 sin n
√
√
1
1
1
(d) an = n + 8 − n + 3;
(e*) an = 1
+ 2
+ ... + n
;
4 +1 4 +2
4 +n
(c) an =
4n − 1
;
2n + 3
(f) an = 1 − 3n .
24. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
n
n!
2n + 1
;
(b) an = 2
;
(c) an = n ;
(a) an =
n+2
n +1
10
(d) an =
n2
1
;
− 6n + 10
(e) an =
2n
4n
;
+ 3n
(f) an =
p
n2 + 1 − n.
25. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
3−n
1
(a) lim
= −1;
(b) lim 2 = 0;
(c) lim 2n = ∞.
n→∞ n + 4
n→∞ n
n→∞
26. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
3n − 1
;
n→∞ n + 4
3
n20 + 2
;
(d) lim
n→∞ (n3 + 1)20
n+1
;
n→∞ 2n2 + 1
1 + 3 + . . . + (2n − 1)
(e) lim
;
n→∞
2 + 4 + . . . + 2n
(a) lim
n3 + 2n2 + 1
;
n→∞
n − 3n3
5n − 4n
(f) lim n
;
n→∞ 5 − 3n
(b) lim
n2 + 1 n! + 1
;
(g) lim
n→∞ (2n + 1)(n + 1)!
(h) lim
n→∞
p
n2
+ 4n + 1 −
p
n2
(c) lim
+ 2n ;
(i) lim
n→∞
√
√
n+6 n+1− n .
q
27. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
2n + (−1)n
;
n→∞
3n + 2
⌊nπ⌋
;
n→∞ n
(a) lim
(d) lim
n→∞
r
n
(b) lim
1
2
3
+ 2 + 3;
n n
n
(e) lim
n→∞
(c) lim
√
n
(f) lim
s
n→∞
1
1
1
+ 2
+ ... + 2
;
2
n +1 n +2
n +n
n
n→∞
3 + sin n;
3n + 2n
.
5n + 4n
28. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
(a) lim
n→∞
1
1+
n
3n−2
;
(b) lim
n→∞
5n + 2
5n + 1
15n
;
(c) lim
n→∞
3n
3n + 1
n
;
(d) lim
n→∞
n+4
n+3
5−2n
29. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
n2 + 1
;
n→∞
n
(b) lim
(a) lim
(d) lim
n→∞
n+1
2n
n→∞
n
;
n4 − 3n3 − 2n2 − 1 ;
1 − (n + 1)!
;
n→∞
n! + 2
(e) lim
4
(c) lim (1 + 2n − 3n );
n→∞
arc tg n
.
n→∞ arc ctg n
(f) lim
.
30. Będziemy mówili, że ciągi (an ), (bn ) o dodatnich wyrazach, zbieżne do granicy właściwej lub
niewłaściwej, są asymptotycznie równe, gdy
an
= 1.
lim
n→∞ bn
Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie równe:
p
√
(a) an = n2 + 2, bn = 2n4 + 1; (b) an = n4 − n3 − 10, bn = n4 ; (c) an = n 1 + 2n + 3n , bn = 3;
1
1
, bn = n
; (e) an = (n + 1)!, bn = n · n!;
(f*) an = n!, bn = an , (a > 0).
(d) an = n
n
3 +5
2 + 6n
an
Jeżeli granica lim
jest liczbą dodatnią, to mówimy, że ciągi (an ), (bn ) są tego samego rzędu. Które
n→∞ bn
z podanych par ciągów są tego samego rzędu?
Lista 5
31. Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
1
2
= 0;
(c) lim
= ∞.
(a) lim (x − 2)5 = 1;
(b) lim
x→∞ x
x→3
x→ 2+ x − 2
32. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
√
x2 − 1
x2 − 4
x+ x
x3 − 1
(a) lim 2
;
(b) lim 2
; (c) lim √
;
(d) lim 4
;
x→1 x − x + 1
x→2 x − x − 2
x→0
x→1 x − 1
x
√
p
x−2−2
2x + 1
x2 − 5x + 4
x2 + 1 + x ; (h) lim x
(e) lim
; (f) lim
; (g) lim
;
x→∞ 3 + 2
x→∞ x(x − 5)
x→−∞
x→6
x−6
tg2 x + 1
sin2 x
;
(j) lim
.
(i) lim
2
x→0 1 − cos x
x→ π2 − tg x + 5
33. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
(a) lim x sgn x;
x→0
(b) lim 2
x→0
1
x3
;
x2 − 4
;
x→2 |x − 2|
(c) lim
1
(d) lim x arc tg .
x→0
x
34. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
√
1
2−x + sin x
1
2+sin x
(a) lim x cos 2 = 0; (b) lim x3 arc tg = 0; (c) lim −x
= 1; (d) lim
= 0.
+
x→∞
x→−∞
x→0
x
x
2 + cos x
x2
x→0
35. Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
1
tg
sin2 3x
arcsin 2x
x;
(a) lim
(c) lim
;
(b) lim
;
2
2
x→∞
x→0
x→0
x
arc tg x
tg
x
e3x − 1
cos 5x
1
(e) limπ
;
(f) lim
;
(d) lim x2 arc tg ;
x→∞
x→0 sin 2x
x
x→ 2 cos 3x
√
ln (1 + 3 x)
2x − 1
ln (1 + 2x )
√
(g) lim
;
(h*) lim
;
(i)
lim
;
x→−∞
x→0
x
3x
x→0+ 4 x − 1
√
√
1
3
1+x− 61−x
x
ctg x
.
(k) lim [1 + tg(2x)]
;
(l) lim
(j) lim (1 + 2x) ;
x→0
x→0
x→0
x
36. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3 + x2
2x3
x−3
(a) f (x) = 2
;
(b) f (x) =
;
(c) f (x) = √
;
2
x −4
(x + 1)
x2 − 9
√
3x
sin2 x
1 + x2
;
(e) f (x) = x
;
(f) f (x) =
;
(d) f (x) =
x
3 −9
x3
cos x
1 x
(g) f (x) = x
;
(h) f (x) = x − arc tg x;
(i*) f (x) = 1 +
.
e +1
x
5
Lista 6
37. Dobrać parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje były ciągłe na R:

 2

π


 sin x dla |x| ­ ,
 ax +1 dla x < −1,
 a +1 dla x < −1,
2
(b) f (x) =
(c) f (x) = 2x
dla −1 ¬ x ¬ 0,
(a) f (x) = x


 b − 2x dla x ­ −1;
 ax+b dla |x| < π ;
 3
x +bx dla x > 0.
2
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji ciągłych.
38 (P). Określić rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie a (jeżeli istnieją) dla funkcji o wykresach:
(a)
(b)
y
(c)
y
y = f (x)
a
(d)
y = f (x)
x
a
(e)
y
y = f (x)
x
a
(f)
y
x
a
x
y
y = f (x)
y = f (x)
a
y
y = f (x)
x
a
x
39. Wyznaczyć punkty nieciągłości podanych funkcji i określić ich rodzaj:

x+2




1
 x2 + x + 2 dla x 6= 1, 2

arc tg dla x 6= 0,
(a) f (x) = 0
(b)
f
(x)
=
x
dla x = 1,

0

dla x = 0;

1
dla x = 2;


x2 −1
√
dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),
(c) f (x) =
x−1


3
(d) f (x) =
dla x = 1;
(e) f (x) = sgn [x(x − 1)];

 |x| + x

(f) f (x) =



x2
dla x 6= 0,
1 − cos
1
dla x 6= 0,
x
dla x = 0.
0
0
dla x = 0;
40. Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:
5π
π
sin x
3
(a) x + 6x − 2 = 0, [0, 1];
(b) x sin x = 7, 2π,
+ x, 0,
;
(c) 1 =
;
2
2
2
1
(d) x100 + x − 1 = 0,
,1 ;
(e) 3x + x = 3, [0, 1];
(f) x2x = 1, [0, 1].
2
Wyznaczyć rozwiązania równania (a) 0.125.
41*. Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów uzasadnić, że podane zagadnienia
ekstremalne mają rozwiązania:
(a) wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą objętość;
(b) wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma największy
obwód;
(c) wśród prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o boku a istnieje ten, który ma największe
pole (założyć, że dwa wierzchołki prostokąta należą do ustalonego boku trójkąta).
6
Lista 7
42. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
1
, gdzie x 6= −1;
x+1
π
(d) f (x) = tg x, gdzie x 6= + kπ dla k ∈ Z.
2
(a) f (x) = x2 − 3x, gdzie x ∈ R;
(c) f (x) =
(b) f (x) =
√
x, gdzie x > 0;
43. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
(a) f (x) = x2 − x , x0 = 1;
Naszkicować wykresy tych funkcji.
(b) f (x) = sin x · sgn (x), x0 = 0.
44. Zbadać z definicji, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
q
√
(a) f (x) = 3 − 5 x;
(c) f (x) = | sin x|.
45. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na pewnym przedziale, obliczyć pochodne
funkcji:
(a) y = f (x) cos g(x);
(d) y = ln
f (x)
;
g(x)
(b) y =
q
(e y = tg
f 2 (x) − g2 (x);
(c) y = arc tg f (x)g(x);
f (x)
;
g(x)
(f) y = f (x)g
1
.
x
46. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
x2 + 1
;
(b) y = 3 cos x + tg x;
(a) y =
x − 1
√ √ 1
(d) y = x3 + 2 ex ;
(e) y = 1 + 4 x tg x ;
x
(g) y = ln sin2 x + 1 ;
2
2sin x
(j) y = cos2 x ;
3
(h) y =
q
3
arcsin (x2 );
tg x
(k*) y = x
;
(c) y =
ex+1
;
sin x
(f) y = ex arc tg x;
x
(i) y = ee ;
(l*) y =
√
x
x.
47*. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć f −1 (y0 ), jeżeli:
(a) f (x) = x + ln x, y0 = e + 1;
√
√
√
(c) f (x) = 3 x + 5 x + 7 x, y0 = 3;
(b) f (x) = cos x − 3x, y0 = 1;
(d) f (x) = x3 + 3x , y0 = 4.
48 (P). Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
x
(a) f (x) = arcsin , (1, f (1));
2
√
(d) f (x) = 2x + 1, (3, f (3));
(b) f (x) = ln x2 + e , (0, f (0));
(e) f (x) =
√ √
2x
2,
f
2 ;
,
1 + x2
(c) f (x) = etg x ,
(f*) f (x) =
√
x
π
,f
4
π
4
;
x, (e, f (e)).
49. (a) Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x4 − 2x + 5, która jest równoległa do
prostej y = 2x + 3.
√
π
(b) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f (x) = x, która tworzy kąt z dodatnią częścią osi Ox.
4
(c) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x ln x, która jest prostopadła do prostej
2x + 6y − 1 = 0.
1
(d) Znaleźć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x arc tg , w punkcie jego przecięcia z prostą
x
πx = 4y.
7
50*. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
y
(a) |arc tg x − arc tg y| ¬ |x − y| dla x, y ∈ R; (b) ln < y − x dla 1 ¬ x < y;
x
x
dla 0 ¬ x < 1;
(d) ex > ex dla x > 1.
(c) x ¬ arcsin x ¬ √
2
1−x
51. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
π
ln sin x
ln (2x + 1)
2 ;
(a) lim
;
(b) lim
x→∞
x→1
x
ln x
x10 − 10x + 9
ln cos x
(d) lim 5
;
(e) lim
;
x→1 x − 5x + 4
x→0 ln cos 3x
x
(g) lim x ln x;
(h) lim− (π − x) tg ;
+
2
x→π
x→0
1
x
(j) lim (cos x) ;
(k) lim
x→∞
x→0
2
arc tg x
π
x
(c) lim
x→0
x − arc tg x
;
x2
(f) lim x arc ctg x;
x→∞
(i) lim−
x→0
1
− ctg x ;
x
(l) lim (1 + x)ln x .
;
x→0+
Lista 8
52. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji:
x4 x3
−
− x2 ;
4
3
√
(e) f (x) = x − 3 3 x;
(a) f (x) = x3 − 30x2 + 225x;
(d) f (x) =
(b) f (x) =
x3
;
3 − x2
(g) f (x) = x ln2 x;
(h) f (x) =
(c) f (x) = 4x +
1
;
x
(f) f (x) = xe−3x ;
x
;
ln x
(i) f (x) =
1
.
x ln x
53. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji:
(a) f (x) = x3 − 4x2 ;
1
;
x
x+1
(e) f (x) = 2
;
x +1
(c) f (x) =
(b) f (x) = x +
(d) f (x) = (x + 1)e−x ;
(g) f (x) = x ln x;
(h) f (x) =
2x
;
x
(f) f (x) = x2 − 5x − 6 ;
p
3x − x3 ;
54. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:
1−x
, [0, 1];
(a) f (x) = 2x3 − 15x2 + 36x, [1, 5]; (b) f (x) = arc tg
1+x
55 (P). Obliczyć f ′ , f ′′ , f ′′′ funkcji:
(d) f (x) = 1 − 9 − x2 , [−5, 1];
(a) f (x) = 4x7 − 5x3 + 2x;
(b) f (x) = x3 −
(d) f (x) = arc tg x;
(e) f (x) = sin3 x + cos3 x;
2 |x|
(c) f (x) = (x − 3) e , [−1, 4];
3
(f) f (x) = 2 sin x + sin 2x, 0, π .
2
2
;
x
(c) f (x) =
ex
;
x
(f) f (x) = x3 ln x.
56. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:
(a) f (x) = x(x − 1)(x − 3);
(d) f (x) = ln 1 + x2 ;
(g) f (x) = sin x +
1
sin 2x;
8
(b) f (x) = xe−x ;
(e) f (x) =
1
;
1 − x2
(h) f (x) = earc tg x ;
8
(i) f (x) = 2 arc tg x − ln 1 + x2 .
x3
;
x2 + 12
2
(f) f (x) = x − x3 − 4 ln |x|;
3
ln x
(i) f (x) = √ .
x
(c) f (x) =
Lista 9
57. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
x3
;
x−1
(a) f (x) = (x − 1)2 (x + 2);
(b) f (x) =
(d) f (x) = 3 −
(e) f (x) = x 1 − x2 ;
4
4
− 2;
x x
2x
(g) f (x) = xe ;
x
;
x−1
x
(f) f (x) =
;
ln x
(i) f (x) = x2 ln x.
p
(h*) f (x) = sin x + sin 3x;
58. Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu
10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem
morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza
wynosi 200 000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do
którego miejsca na brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
√
(c) f (x) =
b
Platforma
wiertnicza
10 km
b
59. Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku
trójkata równoramiennego o danym polu, aby promień
koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?
60. Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność
22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi
20 zł, a ścian bocznych – 30 zł. Jakie powinny być
wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
61. Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego
pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak
najmniej siatki?
62. Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak,
aby suma pól kwadratów zbudowanych na tych częściach była najmniejsza.
x
b
b
Rafineria
16 km
α
r
rzeka
S
a
b
Lista 10
63. Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f , punktów x0 oraz n :
1
(a) f (x) = x3 , x0 = −1, n = 4; (b) f (x) = 2 , x0 = 1, n = 2;
(c) f (x) = sin 2x, x0 = π, n = 3;
x
(d) f (x) = e−x , x0 = 0, n = 5; (e) f (x) = arc tg x, x0 = 0, n = 3; (f) f (x) = ln x, x0 = e, n = 4.
64. Napisać wzory Maclaurina z n-tą resztą Lagrange’a dla funkcji:
x
(b) f (x) = cosh x;
(c) f (x) = cos x;
(a) f (x) = sin ;
3
(d) f (x) =
x
.
ex
65. Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:
π
(a) tg x ≈ x, |x| ¬ ;
(b) cos2 x ≈ 1 − x2 , |x| ¬ 0.1;
12
9
(c)
√
x x2
1 + x ≈ 1 + − , |x| ¬ 0.25;
2
8
(d) ln(1 − x) ≈ −x −
x2
x3
− , |x| < 0.1.
2
3
66. Stosując wzór Maclaurina obliczyć:
√
1
3
(b) 0.997 z dokładnością 10−3 ;
(a) z dokładnością 10−3 ;
e
(c) ln 1.1 z dokładnością 10−4 ;
(d) sin 0.1 z dokładnością 10−5 .
Lista 11
67. Przyjmując w definicji całki oznaczonej podział równomierny obliczyć:
(a)
Z1
−2
(2x − 1) dx;
(b)
Z3
2
(c)
x dx;
Z2
ex dx.
−1
2
Wskazówka. Ad. (a0, (c). Zastosować odpowiednio wzory
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
,
12 + 22 + · · · + n2 =
;
1 + 2 + ... +n =
2
6
Ad. (c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego
1 − qn
a + aq + . . . + aq n−1 = a
1−q
oraz wykorzystać równość lim
h→0
eh − 1
= 1.
h
68 (P). Uzasadnić, że funkcje F1 i F2 są funkcjami pierwotnymi dla wskazanych funkcji f :
1
;
a) F1 (x) = 1 + arcsin x, F2 (x) = 5 − arccos x, f (x) = √
1 − x2
1
b) F1 (x) = 3 − cos2 x, F2 (x) = 2 − cos 2x, f (x) = sin 2x;
2
1
+ 5, f (x) = tg x.
c) F1 (x) = tg2 x − 2, F2 (x) =
cos2
69. Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć całki:
(a)
Z2 √
1
(d)
Z2
1
x+ √
x
dx;
(e)
Z2 0
x 1 + x3 dx;
−1
(b)
Z1
1
x−1
dx;
x+1
(c)
Z9
(f)
Z2π
dx
;
+1
x2
0
1
2
1
−
+
x3 x2 x4
dx;
(sin x + cos2 x) dx.
π
70. Korzystając z definicji całki oznaczonej oraz faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne uzasadnić
równości:
√
√
2 √
1 √
√
2 2−1 ;
1 + n + 2 + n + ... + n + n =
(a) lim
n→∞ n n
3
1
2π
nπ
1
π
13 + 23 + . . . + n3
+ cos
+ . . . + cos
= ; (c) lim
cos
n→∞ n
n→∞
n4
4
2n
2n
2n
(b) lim
=
2
.
π
Lista 12
71. Obliczyć podane całki nieoznaczone:
√
4
x + −3 x
x
(a)
Z (d)
Z
3
cos 2x dx
;
cos x − sin x
dx;
(1 − x) dx
√ ;
(b)
1+ x
Z 3 √
3
x + x2 − 1
√
(e)
dx;
x
Z
10
(c)
Z
x4 dx
;
x2 + 1
(f)
Z
2x − 5x
dx.
10x
72. Obliczyć pola trapezów krzywoliniowych:
y
(b) y
y = −4x2 + 4x + 6
(a)
y
(c)
y=x
y=3
y = 3x2 − 6x + 1
x
x
(d)
y = 4x2 − 8x
(e) y
x = 8 − y2
y
x=3
x=
− 2y
y2
x
y = −3x2 + 3x + 7
(f) y
y = 2−x
x = y2
x = y2
x
x
x
73. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
1
(a) y = 2x − x2 , x + y = 0; (b) y = x2 , y = x2 , y = 3x;
2
4
;
(e) y = 2x , y = 2, x = 0;
(d) y = 1, y = 2
x +1
(g) y = πx2 , x = πy 2 ;
(h) yx4 = 1, y = 1, y = 16;
(c) y =
1
, y = x, y = 4;
x2
(f) y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π);
(i) y 2 = −x, y = x − 6, y = −1, y = 4.
Lista 13
74. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:
(a)
Z
xe
(e)
Z
x2 sin x dx;
(i)
Z
−3x
2x
dx;
sin x dx;
e
(b)
Z
x 2 dx;
(f)
Z
arccos x dx
√
;
x+1
(j)
Z
2 x
√
x arc tg x dx;
(c)
Z
√
(g)
Z
ln(x + 1) dx;
sin x sin 3x dx;
(k)
Z
sin 3x cos x dx;
(d)
Z
x dx
;
cos2 x
(h)
Z
arccos x dx;
(l)
Z
cos x cos 5x dx.
75. Metodą całkowania przez części obliczyć oznaczone:
(a)
Z1
2x
xe
(b)
dx;
−1
π
4
(d)
Z
x sin 2x dx;
(e)
0
Z1
0
Ze
√
ln x
dx;
x2
Zπ
Z1
arcsin x dx.
2 2x
x e
(c)
dx;
x(1 + cos x) dx;
(f)
0
e
0
76. Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
√
Z
Z
Z √
1 + 4x
cos x
√
dx; (c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx;
(a)
dx; (b)
x
x
(e)
Z
dx
;
ch x
(f)
Z
(5−3x)10 dx;
(g)
Z
x2
p
5
5x3 +1 dx;
11
(d)
Z
cos x dx
√
;
1 + sin x
(h)
Z
dx
√ ;
2+ x
(i)
Z
ln x
dx;
x
(j)
Z
ex dx
;
e2x + 1
(k)
5 sin x dx
;
3−2 cos x
Z
Z
(l)
2
x3 ex dx.
77. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
(a)
(d)
0
Z3
Z6
Ze
Zπ
1
(g)
cos x
sin xe
dx, cos x = t;
(b)
1
(c)
Z1 √
x 1 + x dx,
dx
√
, 3x − 2 = t2 ;
1 + 3x − 2
(e)
ln x dx, ln x = t;
(f)
0
1
1
2
9 − x2 dx, x = 3 sin t;
(g)
Zln 3
0
Z4
ex dx
, ex = t;
1 + e2x
(i)
√
dx
, x = t2 ;
x(1 − x)
Ze2 √
3
1
x − x3 dx
, x= .
4
x
t
e
78 (P). Obliczyć całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju:
Z
dx
;
(x − 3)7
(b)
Z
dx
;
x+5
(c)
Z
5 dx
;
(2 − 7x)3
(d)
8 dx
.
9x + 20
Z
79. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju:
(a)
Z
dx
;
2
x + 4x + 29
(b)
Z
(6x + 3) dx
;
x2 + x + 4
(c)
(4x + 2) dx
;
2
x − 10x + 29
Z
(d)
Z
(x − 1) dx
.
9x2 + 6x + 2
80. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
(a)
Z
(d)
Z
(g)
Z
(x + 2) dx
;
x(x − 2)
x2 dx
;
x+1
(c)
Z
dx
;
(x − 1)x2
x2
dx
.
x (x2 + 4)
(b)
Z
dx
;
2
(x + 1) (x2 + 4)
(e)
(4x + 1) dx
;
2x2 + x + 1
(f)
(5 − 4x) dx
;
x2 − 4x + 20
Z
Z
(h)
Z
x2 dx
;
x2 + 2x + 5
(i)
Z
2 dx
;
+ 6x + 18
81. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:
(a)
Z
sin x dx;
(d)
Z
sin3 x cos6 x dx;
3
(b)
Z
sin x cos x dx;
(c)
(e)
Z
cos2 x cos 2x dx;
(f*)
4
3
Z
Z
cos4 x dx;
sin2 2x sin2 x dx.
82. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych:
dx
;
sin x + tg x
(b)
1 + tg x
dx;
cos x
(c)
Z
Z
sin2 x dx
;
1 + cos x
Z
(e)
Z
(f)
Z
sin5 x dx
;
cos3 x
Z
dx
;
cos x
dx
;
1 − tg x
(h)
Z
(i)
Z
dx
.
3 sin x + 4 cos x + 5
(a)
Z
(d)
(g)
1 + x = t;
0
Lista 14
(a)
√
1
Z3 p
0
x dx
√
, 1 + x = t;
x+1
dx
;
sin x + cos x
12
dx
;
1 + 2 cos2 x
Lista 15
83. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
√
√
8
;
(a) x + y = 1, x = 0, y = 0; (b) 4y = x2 , y = 2
x +4
(c) y = ln x, x = e, y = −1;
(d) y = tg x, y = ctg x,
π
0<x<
2
.
84. Obliczyć długości krzywych:
ex + 1
, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;
(a) y = ln x
e −1
√
(c) y = 2 x3 , gdzie 0 ¬ x ¬ 11;
(b) y = x2 , gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
(e) y = ex , gdzie
(f) 24xy = y 4 + 48, gdzie 2 ¬ y ¬ 4;
(g) y =
1
1
ln 2 ¬ x ¬ ln 3;
2
2
1
x5
+ 3 , gdzie 1 ¬ x ¬ 2;
10 6x
(d) y = cosh x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
(h) y = 1 − ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
.
4
85. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
√
2
(a) T : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2x − x2 , Ox; (b) T : 0 ¬ x ¬ 5, 0 ¬ y ¬ √
, Oy;
2
x +4
√
π
(d) T : 0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ x, Oy;
(c) T : 0 ¬ x ¬ , 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;
4
1
(e) T : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x3 , Oy;
(f) T : 1 ¬ x ¬ 3, 0 ¬ y ¬ , Oy;
x
π
4
¬ y ¬ 5−x, Ox;
(h) T : 0 ¬ x ¬ , 0 ¬ y ¬ sin x+cos x, Ox;
(g) T : 1 ¬ x ¬ 4,
x
2
(i) T : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x, y = 2; (j) T : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x − x2 , x = 2.
86. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych
osi:
√
π
(a) f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬ , Ox;
(b) f (x) = 4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
√2
(c) f (x) = ln x, 1 ¬ x ¬ 3, Oy;
(d) f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy;
p
√
x
(e) f (x) = 4 − x2 , −1 ¬ x ¬ 1, Ox; (f) f (x) = x 1−
, 1 ¬ x ¬ 3, Ox;
3
√
x2
x−1
, 1 ¬ x ¬ 10, Oy;
(h) f (x) = , 0 ¬ x ¬ 3, Oy.
(g) f (x) =
9
2
87. (a) Siła rozciągania sprężyny jest wprost proporcjonalna do jej wydłużenia (współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby sprężynę o długości l rozciągnąć
do długości L.
(b) Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m. Obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbiornik. Otwór do
opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa wody γ = 1000 kg/m3 .
88. (a) Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z prędkością początkową v0 = 10 m/s
i przyspieszeniem a0 = 2 m/s2 . Po czasie t1 = 10 s punkt ten zaczął poruszać się z opóźnieniem
a1 = −1 m/s2 . Znaleźć położenie punktu po czasie t2 = 20 s od chwili rozpoczęcia ruchu.
(b) Dwie cząstki elementarne położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościami odpowiednio v1 (t) = 10t + t3 , v2 (t) = 6t, gdzie t ­ 0. Po jakim czasie nastąpi zderzenie tych
cząstek?
13