Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa rok 1991/1992

Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa
rok 1991/1992
egzaminator: Jerzy Ombach
przedmiot semestralny
I termin
zad.1. Przy okr¡gªym stole stoi 6 krzeseª. Na ile sposobów da si¦ na nich posadzi¢
2 Anglików, 2 Francuzów i 2 Turków, tak aby osoby tej samej narodowo±ci nie
siedziaªy obok siebie?
zad.2.
W jednej urnie znajduj¡ si¦ kule ponumerowane liczbami od
w drugiej za±
4
kule biaªe i
4
kule czarne.
1
do
8,
Losujemy najpierw kul¦ z pierwszej
urny, za± potem tyle kul z drugiej ile wskazaª numer kuli wylosowany z pierwszej.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród wylosowanych z drugiej urny kul jest tyle
samo biaªych co i czarnych?
zad.3.
W sklepie RTV znajduje si¦
40
telewizorów. Trzy spo±ród nich b¦d¡ pra-
cowa¢ w ci¡gu nast¦pnego miesi¡ca bez awarii z prawdopodobie«stwem
z prawdopodobie«stwem
0, 9,
a pozostaªe
0, 95.
0, 8,
dwa
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
dwa losowo wybrane w tym sklepie telewizory b¦d¡ pracowa¢ bez usterek w ci¡gu
miesi¡ca?
zad.4.
Pewien egzamin sklada si¦ z czterech kolejnych testów.
stwo, »e pan Brown zda pierwszy test wynosi
p (0 < p < 1),
Prawdopodobie«-
za± »e zda kolejny
p
p
lub , w zale»no±ci od tego czy zdaª poprzedni, czy te» nie. Pan Brown zda egzamin
2
je»eli zda co najmniej trzy testy; zda na ocen¦ A, je»eli zda co najmniej trzy testy
pod rz¡d. Wiemy ju», »e pan Brown zdaª egzamin. Jakie jest prawdopodobie«stwo,
»e otrzymaª ocen¦ A?
zad.5. Niech
(Ω, Σ, P )
losow¡ o rozkªadzie jednostajnym na przedziale
wynosi
Eη ,
a ile
ξ : Ω → R zmienn¡
η = min(ξ, 1 − ξ). Ile
b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za±
(0, 1).
Niech
E(η/(1 − η))?
zad.6. W miasteczku znajduj¡ si¦ dwa kina, które graj¡ wieczorem ten sam lm.
Ogl¡da¢ ma go zamiar
1000 widzów, którzy losowo i niezale»nie wybieraj¡ wieczorem
kino, do którego maj¡ zamiar si¦ uda¢. Iloma miejscami powinno dysponowa¢ ka»de
z kin, aby prawdopodobie«stwo odesªania którego± z klientów, z powodu braku
miejsc, byªo mniejsze ni»
1%?
Wska» metod¦ oblicze«.
II termin
zad.1.
Jeden z pracowników Instytutu Matematyki UJ zadaje na egzaminie trzy
pytania. Ocenia ka»de z nich z osobna w skali: 1, 2, 3, 4, 5 i skre±la najwy»sz¡ oraz
najni»sz¡ ocen¦. Ta, która zostanie jest ocen¡ ko«cow¡. Je»eli prawdopodobie«stwo
otrzymania dowolnej oceny jest w przypadku ka»dego z pyta« takie same i równe
1
5 oraz oceny z poszczególnych pyta« s¡ niezale»ne, to jak w takim razie wygl¡da
rozkªad oceny ko«cowej i ile wynosi jej warto±¢ oczekiwana?
zad.2.
jednym.
Pewien czªowiek ma dwa pudeªka zapaªek, w lewej i prawej kieszeni po
W ka»dym z nich s¡ cztery zapaªki.
Wyci¡gaj¡c zapaªki na chybiª traª
z jednej lub drugiej kieszeni, stwierdza w pewnym momencie, »e pudeªko do którego
1
si¦gn¡ª jest puste. Niech zmienna losowa
Znajd¹
ξ oznacza liczb¦ zapaªek w drugim pudeªku.
Eξ .
n-krotnie. Prawdopodobie«stwo wypadni¦cia orªa wynosi
A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadª orzeª, za± Ak w n rzutach wypadªo dokªadnie k orªów. Dla jakich k, n, p zdarzenia A i Ak s¡ niezale»ne?
(0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ k ≤ n, k, n ∈ N)
zad.3. Rzucamy monet¡
p.
Niech
zad.4.
W szkole uczy si¦
94
uczniów,
40
w I klasie,
24
w II klasie oraz
30
w III
klasie. Okazaªo si¦, »e jeden z dwóch losowo wybranych uczniów uczy si¦ w wy»szej
klasie ni» drugi.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e starszy z nich uczy si¦ w III
klasie?
zad.5. Zmienna losowa
Eξ =
∞
X
ξ
przyjmuje tylko warto±ci naturalne. Wyka», »e
P ({ω ∈ Ω : ξ(ω) ≥ k}) .
k=1
zad.6.
Posiadam
n
kluczy w p¦ku i usiªuj¦ otworzy¢ drzwi do mieszkania. Tylko
jeden klucz pasuje do zamka, ale niestety jest ciemno i nie potra¦ rozró»ni¢ kluczy
mi¦dzy sob¡. Jaka jest warto±¢ oczekiwana i wariancja ilo±ci prób koniecznych do
otwarcia drzwi, je»eli:
a) klucze, które nie pasowaªy do zamka nie bior¡ udziaªu w dalszych próbach,
b) wszystkie klucze s¡ caªy czas wypróbowywane?
2