Programowanie dynamiczne i modele

Programowanie dynamiczne
i modele rekurencyjne w ekonomii
Wykład 1
Michał Ramsza
3 marca 2015
Streszczenie
Pierwszy wykład bazuje głównie na [5, roz. 11.1–11.5], [1, roz. 1] oraz [4, roz. 1]. Materiał
obejmuje równania różnicowe liniowe pierwszego rz˛edu o stałych i zmiennych współczynnikach, równania liniowe o stałych współczynnikach wyższych rz˛edów, równania nieliniowe
pierwszego rz˛edu, poj˛ecie równowagi i jej stabilności.
Wykład nie obejmuje kwestie cykli okresowych, ogólnego poj˛ecia atraktorów i zagadnień
zwiazanych
˛
z układami chaotycznymi.
1
1.1
1.1.1
Równania różnicowe pierwszego rz˛edu
Sformułowanie zagadnienia
Podstawowa notacja
Czas: t = 0, 1, 2, . . ..
Stan systemu w chwili t jest opisywane przez liczb˛e xt = x(t) lub wektor xt = x(t). Używamy
tylko notacji xt , xt .
Relacja rekurencyjna pierwszego rz˛edu jest postaci
xt+1 = f (t, xt ),
(1)
gdzie f : N × R → R jest zadana˛ funkcja.˛ Dodatkowo znany jest pierwszy element ciagu
˛ x0 .
Równanie różnicowe pierwszego rz˛edu jest postaci
xt+1 − xt = g(t, xt ).
Przekszałcanie rownania różnicowego do postaci rekurencyjnej jest trywialne. Zajmujemy si˛e tylko
postacia˛ (1).
1.1.2
Pozbywamy si˛e czasu
T
Przyjmujac
˛ yT
t = (xt , t) oraz h(y t ) = (f (y t ), t + 1) możemy zapisać (1) jako
f (y y )
xt+1
f (xt , t)
y t+1 =
=
=
= h(y t ).
t+1
t+1
t+1
B˛edziemy rozważali tylko zagadnienia jednorodne w czasie, tj. xt+1 = f (xt ).
1.1.3
Podstawowe pytania
• Jak możemy obliczyć elementy ciagu
˛ {xt }?
• Co możemy powiedzieć o zachowaniu si˛e xt przy dużych t?
• Co możemy powiedzieć o zachowaniu si˛e ciagu
˛ {xt } w zależności od parametrów?
1.2
1.2.1
Rozwiazanie
˛
ogólne
Obliczanie elementów i rozwiazanie
˛
ogólne
Prymitywna metoda obliczania elementów xt
x0
x1
x2
x3
x4
dane
= f (1, x0 )
= f (2, x1 ) = f (2, f (1, x0 ))
= f (3, x2 ) = f (3, f (2, x1 )) = f (3, f (2, f (1, x0 )))
= ...
Długa i powoduje nawarstwianie si˛e bł˛edów numerycznych.
Zdecydownaie chcemy znaleźć wyrażenie opisujace
˛ xt postaci
xt = g(t, A)
dla dowolnego t ∈ N i dowolnej wartości A ∈ R. Dla dowolnej wartości x0 b˛edziemy mieli
zazwyczaj jedna˛ wartość A, taka˛ że x0 = g(0, A). Funkcja g opisuje rozwiazanie
˛
ogólne zależności (1).
1.2.2
Przykład: Przykładowe równanie
Rozważamy zależność postaci xt+1 = axt , gdzie a ∈ R i x0 dane.
Obliczamy
x1 = ax0
x2 = ax1 = a · (ax0 ) = a2 x0
x3 = ax2 = a · (ax1 ) = a · (a · (ax0 )) = a3 x0
Ogólna postać rozwiazania
˛
jest postaci
x t = at x 0 .
Dokładniej g(t, A) = at A i dla zadanego x0 przyjmujemy A = x0 .
1.3
1.3.1
Typowe zastosowania rekurencji w ekonomii
Przykład: Bardzo prosty model wzrostu
Przyjmujemy
• Yt – dochód narodowy (national income)
• It – inwestycje (total investment)
• St – oszcz˛edności (savings)
Przyjmujemy zależności
• St = αYt
• It+1 = β (Yt+1 − Yt )
• St = It – warunek równowagi.
Obliczamy
St+1 = αYt+1
It+1 = αYt+1
β (Yt+1 − Yt ) = αYt+1
(β − α)Yt+1 = β Yt
β
Yt
Yt+1 =
β−α
α
Yt+1 = 1 +
Yt .
β−α
Korzystajac
˛ z przykładu 1.2.2 rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
Yt = 1 +
α
β−α
t
Y0 .
Przyjmujac
˛ g = α/(β − α) mamy Yt+1 = (1 + g)t Y0 i zachodzi g = (Yt+1 − Yt )/Yt .
1.3.2
Przykład: Bardziej ogólny model wzrostu
Przykład zaczerpni˛ety z [4, str. 4–11].
Oznaczenia
• Yt – produkcja (output)
• Kt – kapitał (capital stock)
• St – oszcz˛edności (savings)
• It – inwestycje (investments)
• Lt – praca (labor)
Typowe równanie zakładane w modelach
• St = It , równanie równowagowe
• St = sYt , oszcz˛edności
• Kt+1 = (1 − δ)Kt + It , wzrost kapitału z deprecjacja˛
• Lt = L0 (1 + n)t , wzrost siły roboczej (rozwiazanie
˛
ogólne)
Do powyższych dodajemy jedno z dwóch równań
• Yt = Ft (Kt , Lt ), Ft – funkcja produkcji
• It = Φ(Yt , Yt−1 , . . .), inwestycje
Typowe modele korzystajace
˛ z powyższego układu to
• Model Harroda, gdzie równanie produkcji jest postaci
Kt Lt
Yt = min
,
v α
• Model Domara, gdzie równanie inwestycji jest postaci
It = v (Yt − (1 − δ)Yt−1 )
• Model Solowa-Swana, gdzie równanie produkcji jest postaci
Yt = aKtα Lt1−α (1 + γ)t ,
α ∈ (0, 1), a > 0.
• Model Frankela, gdzie równanie produkcji zawiera funkcje postaci
F (K, L) = A(K, L) K α L1−α ,
1.4
1.4.1
0
gdzie A(K, L) = a · K γ /Lγ .
Równanie liniowe, pierwszego rz˛edu o stałym współczynniku
Równanie i rozwiazanie
˛
ogólne
Rozważamy równanie postaci
(2)
xt+1 = axt + b,
gdzie a, b ∈ R i x0 dane.
Mamy dla a 6= 1
x1 = ax0 + b
x2 = ax1 + b = a (ax0 + b) + b = a2 x0 + (1 + a) b
x3 = ax2 + b = a (ax1 + b) + b = a (a (ax0 + b) + b) + b
= a3 x 0 + a2 + a + 1 b
..
.
j=t−1
t
xt = a x0 + b
X
aj
j=1
1 − at
b
b
t
xt = a x0 + b
= a x0 −
+
.
1−a
1−a
1−a
t
Rozwiazanie
˛
ogólne równania (2) jest postaci
b
b
t
xt = a x0 −
+
1−a
1−a
dla a 6= 1
oraz
xt = x0 + tb
dla a = 1.
(3)
1.4.2
Przykład: Proste zastosowanie
Rozważamy równanie
1
xt+1 = xt + 3.
3
(4)
Korzystajac
˛ z (3) rozwiazanie
˛
jest postaci
9
x0 −
2
9
+ .
2
●
8
10
1
xt = t
3
6
●
●
●
4
x_t
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
●
−2
2
●
●
●
●
0
2
4
6
8
10
t
Rysunek 1: Przykładowe rozwiazania
˛
szczegółowe równania (4).
1.5
1.5.1
Równowaga i jej stabilność
Równowaga
Przez równowag˛e b˛edziemy rozumieli każdy stan x∗ spełniajacy
˛
x∗ = f (x∗ )
a wi˛ec sa˛ to punkty stałe odwzorowania f .
1.5.2
Przykład: Równowaga w równaniu liniowym pierwszego rz˛edu
Rozważamy równanie z punktu 1.4.1, tj. równanie postaci
xt+1 = axt + b.
Obliczamy
x∗ = ax∗ + b ⇒ x∗ =
gdzie a 6= 1.
W przykładzie 1.4.2 równowaga wynosi x∗ = 9/2.
b
,
1−a
1.5.3
Stabilność równowagi w równaniu liniowym pierwszego rz˛edu
Rozwiazanie
˛
równania (2) jest postaci (a 6= 1)
t
xt = a x0 −
b
1−a
+
b
.
1−a
Jeżeli tylko |a| < 1 to at → 0 przy t → ∞ i konsekwentnie xt → x∗ = b/(1 − a). Taka˛ równowag˛e
b˛edziemy nazywali (globalnie) stabilna.˛
W przypadku gdy |a| > 1 równowaga nie jest stabilna bo |xt | → ∞ przy t → ∞.
W przypadku gdy a = 1 i b 6= 0 nie mamy punktów równowagi.
W przypadku gdy a = 1 i b = 0 mamy nieskończenie wiele punktów równowagi, żaden nie jest
stabilny asymptotycznie.
W przypadku gdy a = −1 mamy dokładnie jedna˛ równowag˛e ale rozwiazanie
˛
posiada dwuokresowy cykl (two-period cycle). Równowaga nie jest stabilna.
1.5.4
Przykład: Zbieżności
Rozważamy równanie
Rozważamy równanie
1
xt+1 = xt + 1
2
Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
t
1
xt =
(x0 − 2) + 2
2
Równowaga
1
xt+1 = − xt + 1
2
Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
t 1
2
2
xt = −
x0 −
+
2
3
3
Równowaga
x∗ = 2.
1.5.5
x∗ =
Przykład: Rozbieżności
Rozważamy równanie
Rozważamy równanie
3
xt+1 = − xt + 1
2
3
xt+1 = xt + 1
2
Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
t
3
xt =
(x0 + 2) − 2
2
Równowaga
Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
t 3
2
2
xt = −
x0 −
+
2
5
5
Równowaga
x∗ = −2.
1.5.6
2
3
x∗ =
2
5
Pytanie?
Czy równanie różniczkowe może zachowywać si˛e tak jak na rysunkach 2(b) lub 3(b)?
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
2
●
●
●
●
●
●
●
●
1
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
x_t
−2
−2
●
●
−1
0
●
●
−1
x_t
●
●
●
●
0
5
10
15
●
●
0
5
10
t
15
t
(a) zbieżność monotoniczna
(b) tłumione oscylacje
Rysunek 2: Różne typy zbieżności
500
400
300
●
●
●
●
x_t
●
●
200
●
●
●
●
0
x_t
●
●
1000
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
100
●
●
●
●
−500
●
●
●
●
0
●
●
●
●
●
●
●
●
0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
5
10
15
0
5
t
(a) rozbieżność monotoniczna
(b) rozbieżność i oscylacje
Rysunek 3: Różne typy rozbieżności
1.5.7
10
t
Przykład: Cykl dwuokresowy
Rozważamy równanie postaci
xt+1 = −1 · xt + 1
Rozwiazanie
˛
jest postaci
1
1
xt = (−1) x0 −
+ .
2
2
t
Równowaga
1
x∗ = .
2
15
3
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
●
●
●
●
●
●
●
●
x_t
1
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−1
●
●
●
●
●
●
●
●
−2
0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0
5
10
15
t
Rysunek 4: Cykl
1.5.8
Pytanie?
Czy równanie różniczkowe może zachowywać si˛e tak jak równanie różnicowe na rysunku 4?
Czy równowaga w przykładzie 1.5.7 jest stabilna asymptotycznie, niestabilna?
1.5.9
Zmienna prawa strona
Rozważamy równanie postaci
(5)
xt+1 = axt + bt .
Mamy
x1 = ax0 + b0
x2 = ax1 + b1 = a (ax0 + b0 ) + b1
x3 = ax2 + b2 = a (a (ax0 + b0 ) + b1 ) + b2 = a3 x0 + a2 b0 + ab1 + b2
..
.
t
xt = a x0 +
j=t
X
at−j bj−1 .
j=1
Problem z powyższym rozwiazaniem
˛
ogólnym jest zazwyczaj znalezienie zamkni˛etej formuły
Pj=t t−j
sumy j=1 a bj−1 .
1.5.10
Przykład
Rozważamy równanie postaci
xt+1 = axt + at ,
tj. bt = at
Zgodnie z punktem 1.5.9 rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci (a 6= 0)
t
x t = a x0 +
t
X
j=1
a
t−j
a
j−1
t
= a x0 +
t
X
j=1
a
t−1
t
= a x0 + a
t−1
t
X
j=1
t
t−1
1 = a x0 + t a
=a
t
t
x0 +
a
.
1.6
Równanie liniowe, pierwszego rz˛edu o zmiennym współczynniku
1.6.1
Równanie i rozwiazanie
˛
ogólne
Rozważamy równanie postaci
(6)
xt+1 = at xt + bt .
Obliczamy
x1
x2
x3
x4
= a0 x 0 + b 0
= a1 x1 + b1 = a1 (a0 x0 + b0 ) + b1 = a1 a0 x0 + a1 b0 + b1
= a2 x2 + b2 = a2 (a1 a0 x0 + a1 b0 + b1 ) + b2 = a2 a1 a0 x0 + a2 a1 b0 + a2 b1 + b2
= a3 a2 a1 a0 x0 + a3 a2 a1 b0 + a3 a2 b1 + a3 b2 + b3
..
.
xt =
t−1
Y
!
aj
x0 +
j=0
xt =
t−1
Y
t−1
Y
!
aj
b0 +
j=1
!
aj
x0 +
j=0
!
aj
t−1
Y
b1 + . . .
j=2
t−1
t−1
X
Y
k=1
t−1
Y
!
aj
j=t−2
bt−3 +
t−1
Y
!
aj
bt−2 + bt−1
j=t−1
!
aj
bk−1 + bt−1
j=k
Podobnie jak w punkcie 1.5.9 znalezienie zamkni˛etych formuł dla powyższych sum i produktów
jest zazwyczaj kłopotliwe.
Powyższe rozwiazanie
˛
można zapisać w nieco bardziej uproszczony sposób jako
!
!
t−1
t−1
t−1
Y
X
Y
xt =
aj x 0 +
aj b k
j=0
przyjmujac
˛ jednak, że
Qt−1
j=t
k=0
(7)
j=k+1
aj = 1.
1.7
Przykład zastosowań
1.7.1
Przykład: cobweb model
Koszt produkcji
C(q) = αq + βq 2 ,
gdzie q > 0, α, β > 0.
Rozważamy rynek doskonale konkurencyjny (price takers). Strona podażowa maksymalizuje zysk
π(q) = pq − C(q) = pq − αq − βq 2 ,
gdzie zakładamy, że p > α. Mamy warunek pierwszego rz˛edu
dπ
=0
dq
p − α − 2βq = 0
p−α
q=
2β
Podaż jest zatem zadana jako
S(p) =
p−α
2β
Popyt niech b˛edzie zadany funkcja˛
D(p) = γ − δp,
gdzie, γ, δ > 0.
Jako założenie modelowe przyjmujemy, że producenci podejmujac
˛ decyzj˛e o wielkości produkcji
w chwili t jako oczekiwana˛ przyszła˛ cen˛e przyjmuja˛ obecna˛ pt . W chwili sprzedaży na rynku jest
równowaga wi˛ec
S(pt ) = D(pt+1 )
pt − α
= γ − δpt+1
2β
1
2βγ + α
pt+1 = −
pt +
2βδ
2βδ
Równowaga wynosi
2βγ + α
p∗ =
1 + 2βδ
Rozwiazanie
˛
ogólne jest zatem postaci
t 2βγ + α
2βγ + α
1
p0 −
+
pt = −
2βδ
1 + 2βδ
1 + 2βδ
10
Równowaga jest stabilna tak długo jak
1 −
2βδ < 1 ⇔ 2βδ > 1.
●
●
●
●
●
8
●
●
●
●
●
●
●
6
●● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
4
x
●
●
●
0
2
●
●
●
●
2
4
6
8
10
12
14
x
Rysunek 5: Przykładowe zachowanie si˛e modelu cobweb dla parametrów
α = β = δ = γ = 1. Cena równowagowa wynosi p∗ = 7.
1.7.2
Przykład: Kredyt
Klient otrzymał kredyt na kwot˛e K > 0 w chwili t = 0. Stopa procentowa jest stała i wynosi r > 0.
Klient spłaca kredyt w równych ratach kapitałowo odsetkowych w wysokości a > 0. Niech bt
oznacza stan jego konta (outstanding balance, principal) spełnia równanie
bt+1 = (1 + r)bt − a.
Jest to równanie rozważane w punkcie 1.4.1.
Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
a a
+
bt = (1 + r)t K −
r
r
Typowe pytania:
• Ile wynosi pojedyncza rata jeżeli chcemy spłacić kredyt w do okresu n-tego, tj. bn = 0?
Mamy
a a
0 = bn = (1 + r)n K −
+
r
r
a
a
n
− = (1 + r) K −
r
r
a
a
n
− = (1 + r) K − (1 + r)n
r
r
a
n a
n
− + (1 + r)
= (1 + r) K
r
r
a
((1 + r)n − 1) = (1 + r)n K
r
a
(1 + r)n
=
K
r
(1 + r)n − 1
rK (1 + r)n
a=
(1 + r)n − 1
• Jaki kredyt możemy wziać
˛ jeżeli spłacamy rat˛e w wysokości a i na koniec n-tego okresu
chcemy mieć spłacony kredyt?
Mamy
1.7.3
a a
0 = bn = (1 + r)n K −
+
r
r
a
n
n a
+
0 = (1 + r) K − (1 + r)
r r
a
n a
n
(1 + r)
− = (1 + r) K
r r
a
((1 + r)n − 1) = (1 + r)n K
r
((1 + r)n − 1) a
1
1
K=
=
1−
a
(1 + r)n
r
r
(1 + r)n
k
n X
1
K=a
1+r
k=1
Przykład: Wartość bieżaca
˛ ze stała˛ stopa˛ procentowa˛
Rozważamy nast˛epujac
˛ a˛ sytuacj˛e
• na koncie w chwili t = 0 znajduje si˛e kwota w0 ,
• w okresach t = 1, 2, . . . osoba dokonuje wpłat na konto w wysokości yt oraz wypłat w
wysokości ct .
Stan konta w jest zadany równaniem różnicowym postaci
wt+1 = (1 + r)wt + yt+1 − ct+1 ,
t = 0, 1, 2, . . .
gdzie r > 0 jest założona˛ stała˛ stopa˛ procentowa.˛
Powyższe równanie jest przykładem równania rozpatrywanego w punkcie 1.5.9. Rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
t
X
wt = (1 + r)t w0 +
(1 + r)t−k (yk − ck )
k=1
Równanie to można przekształcić do postaci
zdyskontowana wartość przepływów netto
present value
z
t
X
z
}| {
1
wt = w0 +
(1 + r)t
1.7.4
k=1
}|
{
(1 + r)−k (yk − ck )
| {z }
przepływ netto
Przykład: Wartość bieżaca
˛ ze zmienna˛ stopa˛ procentowa˛
Rozważamy identyczna˛ sytuacj˛e jak w punkcie 1.7.3 zakładajac,
˛ że stopa procentowa rt > 0 jest
zmienna. Sytuacja jest opisana przez równanie
wt+1 = (1 + rt+1 )wt + yt+1 − ct+1 ,
t = 0, 1, 2, . . .
Zgodnie ze wzorem (7) rozwiazanie
˛
ogólne jest postaci
" t−1
#
" t−1
#
t−1
Y
X
Y
(1 + rs+1 ) (yk+1 − ck+1 )
wt =
(1 + rs+1 ) w0 +
s=0
k=0
s=k+1
lub przesuwajac
˛ indeksy
"
wt =
t
Y
#
(1 + rs )
w0 +
s=1
t
X
"
k=1
t
Y
#
(1 + rs )
(yk − ck )
s=k+1
Definiujemy czynnik dyskontujacy
˛ (discount factor)
Dt =
1
t
Q
(1 + rs )
=
t
Y
(1 + rs )−1
s=1
s=1
Mnożac
˛ obie strony równania (8) przez Dt otrzymujemy


t
Q
(1 + rs ) 
t 
X

 s=k+1
Dt wt = w0 +
 (yk − ck )
 t
Q


k=1
(1 + rs )
s=1
"
#
t
X
1
Dt wt = w0 +
(yk − ck )
Qk
s=1 (1 + rs )
k=1
Dt wt = w0 +
t
X
Dk (yk − ck ) ,
k=1
Interpretacja jest identyczna jak w punkcie 1.7.3.
t = 1, 2, . . .
(8)
1.7.5
Podsumowanie
Dla równań postaci
xt+1 = axt = b.
• Równowaga˛ (steady state, stationary state, rest point, fixed point) nazywamy punkt x∗
spełniajacy
˛
x∗ = ax∗ + b.
• Równowaga x∗ istnieje wtedy i tylko wtedy gdy a 6= 1 lub a = 1 i b = 0.
• Równowaga jest dokładnie jedna wtedy i tylko wtedy gdy a 6= 1.
• Równowaga x∗ jest globalnie asymptotycznie stabilna jeżeli dla dowolnego x0 zachodzi
xt → x∗ dla t → ∞.
• Równowaga jest globalnie asymptotycznie stabilna tylko wtedy gdy jest jedyna (unique).
Implikacja: równowaga jest globalnie asymptotycznie stabilna ⇒ równowaga jest jedyna.
• Równowaga x∗ jest globalnie asymptotycznie stabilna wtedy i tylko wtedy gdy |a| < 1. W
takim przypadku dla dowolnego x0 zachodzi xt → x∗ przy t → ∞.
1.8
1.8.1
Równania nieliniowe pierwszego rz˛edu
Postać równania i równowaga
Niech dana b˛edzie funkcja f : R → R. Rozważamy równanie postaci
xt+1 = f (xt ) ,
(9)
gdzie x0 ∈ R jest zadane.
Rozwiazaniem
˛
szczególnym rownania (9), podobnie jak w przypadku równania liniowego, jest
ciag
˛ x0 , x1 , . . . spełniajacy
˛ (9) dla dowolnego t = 1, 2, . . .. Rozwiazaniem
˛
ogólnym b˛edzie zbiór
takich ciagów
˛
dla wszystkich możliwych wartości x0 .
Oczywiście w przypadku równania nieliniowego znalezienie zamkni˛etej formuły opisujacej
˛ taki
zbiór ciagów
˛
jest generalnie niemożliwe.
Przez równowag˛e rozumiemy każdy element x∗ spełniajacy
˛ x∗ = f (x∗ ), a wi˛ec punkt stały odwzorowania f .
1.8.2
Istnienie równowagi
Dwa podstawowe twierdzenie wykorzystywane do dowodu istnienia równowagi to twierdzenie Brouwera i twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Poniższe twierdzenia sa˛ wersjami dla
odwzorowań f : R → R.
Twierdzenie 1 (Brouwera). Niech A b˛edzie zwartym odcinkiem i niech f : A → A b˛edzie ciagł
˛ a˛ funkcja.˛
Wtedy istnieje punkt x∗ ∈ A taki, że x∗ = f (x∗ ).
Ogólniejsza wersja twierdzenia Brouwera jest postaci
Twierdzenie 2 (Brouwer / Schauder). Niech A b˛edzie wypukłym i zwartym podzbiorem przestrzeni
skończenie wymiarowej oraz niech funkcja f : A → A b˛edzie ciagła.
˛
Wtedy istnieje element x∗ ∈ A
∗
∗
spełniajacy
˛ x = f (x ).
UWAGA: Twierdzenie Brouwera pozwala na stwierdzenie, że równowaga istnieje, ale nie daje,
żadnych innych informacji o samej równowadze.
Aby sformułować twierdzenie Banach o punkcie stałym wprowadzamy nast˛epujace
˛ definicje.
Definicja 1. Niepusty zbiór X razem z funkcja˛ ρ : X × X → R+ spełniajac
˛ a˛ nast˛epujace
˛ warunki dla
dowolnych x, y, z ∈ X (1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)
nazywamy przestrzenia˛ metryczna.˛
Definicja 2. Niech (X, ρ) b˛edzie przestrzenia˛ metryczna˛ i niech f : X → X b˛edzie zadana˛ funkcja.˛
Powiemy, że f jest kontrakcja˛ jeżeli istnieje liczba α ∈ (0, 1) taka, że zachodzi
ρ (f (x), f (x0 )) ≤ αρ (x, x0 ) .
dla dowolnych x, x0 ∈ X.
Definicja 3. Przestrzeń metryczna˛ (X, ρ) nazywamy zupełna˛ jeżeli każdy ciag
˛ Cauchego jest zbieżny.
Twierdzenie 3 (Banacha o punkcie stałym). Niech X b˛edzie zupełna˛ przestrzenia˛ metryczna˛ oraz niech
f : X → X b˛edzie kontrakcja.˛ Wtedy istnieje dokładnie jeden punkt x∗ ∈ X spełniajacy
˛ x∗ = f (x∗ ).
UWAGA: Twierdzenie Banach jest niezwykle mocnym narz˛edziem. Jeżeli odwzorowanie f w
równaniu (9) jest kontrakcja˛ to (1) równowaga istnieje (2) równowaga jest dokładnie jedna i (3)
równowaga jest globalnie asymptotycznie stabilna.
1.8.3
Zadania
Zadanie 1. Pokazać, że jeżeli w równaniu xt+1 = f (xt ) funkcja f jest kontrakcja˛ ze stała˛ α to istniejaca
˛
jedyna równowaga jest globalnie asymptotycznie stabilna a tempo zbieżności jest geometryczne
ze stała˛ α.
Zadanie 2. Czy jeżeli funkcja f : R → R jest różniczkowalna i dla dowolnego x ∈ R zachodzi
|f 0 (x)| < 1 to f to jest ona kontrakcja.˛
Uwaga. Być może warto rozważyć funkcj˛e postaci
√
π
erf(x),
G(x) = x −
2
gdzie
Zx
2
2
erf(x) = √
e−t dt
π
0
1.8.4
Dodatkowe uwagi o równowadze
W przypadku równań nieliniowych mamy wi˛ecej możliwych sytuacji niż w przypadku równania
liniowego (a wi˛ec albo jedna równowaga albo continuum albo ich brak). Tutaj możemy mieć
skończona˛ dowolna liczb˛e równowag.
Również definicja stabilności wymaga uściślenia.
Równowaga x∗ jest globalnie asymptotycznie stabilna jeżeli
xt → x∗
przy t → ∞ dla dowolnego x0 .
Równowaga x∗ jest lokalnie asymptotycznie stabilna jeżeli istnieje > 0 taki, że
xt → x∗
przy t → ∞ dla dowolnego x0 ∈ B(x∗ , ).
1.8.5
Przykłady
1/2
xt+1 = xt +
2.0
xt+1 = xt
●
8
1.5
10
●
1
sin(xt )
2
●
●
●●
●
1.0
●
●
● ●
●●
● ●
●
●
0.5
●
●
●
●
4
●
●
x
x
●
6
●
●
●
●
●
●
●
2
●
●
●
●
0.0
●
●
●
0
●
0
1
2
3
4
●
● ●
●
●
●
● ●
●●
●●
●●
●●
●
●
●
0
2
4
6
x
8
10
x
xt+1 = xt + sin(xt ) +
3
2
25
10
xt+1 = xt − 2 sin(xt )
8
●
●
20
●
●
●●
●●
●
●
● ●
●●
●
15
6
●
●
x
●
x
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
5
2
●
●●
●
10
4
●
●
●
●
●●
●
0
● ●
●●
●
●
●
● ●
●●
● ●
●
●
0
0
●
●
●
2
4
6
x
8
10
●
●
0
5
10
15
x
20
25
1.8.6
Lokalna stabilność
Rozważamy równanie xt+1 = f (xt ) w okolicy punktu x∗ , który jest równowaga˛ (punktem stałym
odwzorowania f ). Mamy
xt+1 = f (x∗ ) + f 0 (x∗ ) (xt − x∗ ) + reszta
≈ f 0 (x∗ ) xt + f (x∗ ) − f 0 (x∗ ) x∗
| {z }
|
{z
}
stała a
stala b
= axt + b.
W bliskim otoczeniu punktu x∗ równanie nieliniowe zachowuje si˛e podobnie (jakościowo identycznie) jak równanie liniowe.
Twierdzenie 4. Niech xt+1 = f (xt ) i niech x∗ = f (x∗ ) b˛edzie równowaga.˛ Równowaga x∗ jest lokalnie
asymptotycznie stabilna jeżeli
df (x∗ ) dx < 1.
Zadanie 3. Udowdnij twierdzenie 4. Co trzeba dokładnie założyć o pochodnej df /dx (jak musi
wygladać
˛
jej ciagłość)?
˛
Porównaj twierdzenie 4 z zadaniem 2, jakie znaczenie ma wprowadzenie
lokalności w twierdzeniu 4?
2
Równania wyższego rz˛edu
2.1
Równanie i rozwiazanie
˛
Rozważamy równanie postaci
xt+n = f (t, xt , xt+1 , . . . , xt+n−1 ),
t = 0, 1, . . .
(10)
• W standardowy sposób można si˛e pozbyć czasu.
˛
dla zadanych
• Jeżeli funkcja f jest zdefiniowana dla dowolnych wartości to rozwiazanie
x0 , . . . , xn−1 poprzez iteracj˛e
xn = f (0, x0 , x1 , . . . , xn−1 )
xn+1 = f (1, x1 , x2 , . . . , xn ) = f (1, x1 , x2 , . . . , f (0, x0 , x1 , . . . , xn−1 ))
..
.
• Znalezienie zamkni˛etej formy opisujacej
˛ rozwiazanie
˛
jest w ogólności niemożliwe.
W konsekwencji skupiamy si˛e na relatywnie waskich
˛
klasach równań, które potrafimy badać.
2.2
2.2.1
Równania liniowe wyższego rz˛edu o zmiennych współczynnikach
Równanie jednorodne i jego rozwiazanie
˛
Rozważamy równanie postaci
xt+n + a1 (t)xt+n−1 + . . . + an−1 (t)xt+1 + an (t)xt = 0,
(11)
gdzie zakładamy, że an (t) 6= 0.
Niech u(1) i u(2) b˛eda˛ rozwiazaniami
˛
równania (11), tj.
(j)
(j)
(j)
u(j) = (u0 , u1 , u2 , . . .),
j = 1, 2
sa˛ ciagami
˛
spełniajacymi
˛
(11).
Dla dowolnych C1 , C2 ∈ R kombinacja liniowa C1 u(1) + C2 u(2) jest rozwiazaniem
˛
równania (11) bo
0 = xt+n + a1 (t)xt+n−1 + . . . + an−1 (t)xt+1 + an (t)xt
h
i
h
i
(1)
(2)
(1)
(2)
0 = C1 ut+n + C2 ut+n + a1 (t) C1 ut+n−1 + C2 ut+n−1
+ ...
h
i
h
i
(1)
(2)
(1)
(2)
+ an−1 (t) C1 ut+1 + C2 ut+1 + an (t) C1 ut + C2 ut
h
i
h
i
h
i
h
i
(1)
(1)
(1)
(1)
0 = C1 ut+n + a1 (t) C1 ut+n−1 + . . . + an−1 (t) C1 ut+1 + an (t) C1 ut
|
{z
}
=0
h
i
h
i
h
i
h
i
(2)
(2)
(2)
(2)
+ C2 ut+n + a1 (t) C2 ut+n−1 + . . . + an−1 (t) C2 ut+1 + an (t) C2 ut
{z
}
|
=0
0=0
Aby sformułować twierdzenie potrzebujemy nast˛epujacej
˛ definicji.
Definicja 4. Powiemy, że rozwiazania
˛
u(k) , k = 1, . . . , n sa˛ liniowo niezależne, jeżeli wektory
i
h
(k)
(k)
k = 1, . . . , n
u0 , . . . , un−1 ,
sa˛ liniowo niezależne.
Twierdzenie 5. Rozwiazanie
˛
ogólne równania postaci
xt+n + a1 (t)xt+n−1 + . . . + an−1 (t)xt+1 + an (t)xt = 0,
gdzie an (t) 6= 0 jest postaci
(1)
(n)
xt = C1 ut + . . . + Cn ut ,
gdzie u(k) , k = 1, . . . , n sa˛ liniowo niezależnymi rozwiazaniami
˛
tego równania a Ck , k = 1, . . . , n sa˛
dowolnymi stałymi.
2.2.2
Równanie niejednorodne i jego rozwiazanie
˛
Rozważamy równanie postaci
xt+n + a1 (t)xt+n−1 + . . . + an−1 (t)xt+1 + an (t)xt = bt ,
(12)
gdzie an (t) 6= 0.
Twierdzenie 6. Rozwiazanie
˛
ogólne równania postaci
xt+n + a1 (t)xt+n−1 + . . . + an−1 (t)xt+1 + an (t)xt = bt ,
gdzie an (t) 6= 0 jest postaci
(1)
(n)
xt = C1 ut + . . . + Cn ut + u∗t ,
gdzie u(k) , k = 1, . . . , n sa˛ liniowo niezależnymi rozwiazaniami
˛
tego równania jednorodnego, Ck , k =
∗
1, . . . , n sa˛ dowolnymi stałymi i u jest szczególnym rozwiazaniem
˛
równania niejednorodnego.
2.2.3
Uwagi
• Dla sprawdzenia niezależności rozwiaza
˛ ń u(k) możemy użyć dowolnego fragmentu czasu.
• Aby sprawdzić niezależność wektorów możemy obliczyć wyznacznik

(1)
u0
 ..
det  .
···
(1)
un−1 · · ·
(n−1)
u0
..
.
(n−1)


 6= 0.
un−1
• W ogólności, znalezienie rozwiaza
˛ ń u(k) jest bardzo trudne.
2.3
2.3.1
Równania liniowe wyższego rz˛edu o stałych współczynnikach
Równanie
Rozpatrujemy równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodne postaci
xt+n + a1 xt+n−1 + . . . + an−1 xt+1 + an xt = 0,
(13)
gdzie ak ∈ R i an 6= 0.
2.3.2
Rozwiazanie:
˛
równanie charakterystyczne
Poszukujemy rozwiaza
˛ ń równania (13) w postaci xt = mt , gdzie m jest nieznana˛ stała.˛ Podstawiajac
˛
t˛e postać do (13) mamy
0 = xt+n + a1 xt+n−1 + . . . + an−1 xt+1 + an xt
0 = mt+n + a1 mt+n−1 + . . . + an−1 mt+1 + an mt
0 = mt mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an
Wielomian
w(m) = mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an
(14)
nazywamy wielomianem charakterystycznym. Każdy ciag
˛ postaci xt = mt , gdzie w(m) = 0 jest
rozwiazaniem
˛
równania (14).
UWAGA: Możemy mieć trzy sytuacje
1. Pierwiastki rzeczywiste o krotności algebraicznej 1.
2. Pierwiastki rzeczywiste o krotności algebraicznej k > 1.
3. Pierwiastki zespolone (o krotności algebraicznej wi˛ekszej niż 1).
2.3.3
Rozwiazanie:
˛
pierwiastki wielokrotne
Niech m b˛edzie pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego o krotności k. Takiemu pierwiastkowi odpowiadaj dokładnie k rozwiaza
˛ ń postaci
tj mt ,
j = 0, . . . , k − 1.
2.3.4
Rozwiazanie:
˛
pierwiastki zespolone
Niech m1 = a + ib i m2 = a − ib b˛eda˛ pierwiastkami zespolonymi (zawsze wyst˛epujacymi
˛
w parach
sprz˛eżonych). Przez r oznaczymy moduł obu liczb a przez θ ∈ [0, π] argument główny (załóżmy)
liczby m1 (wtedy argument główny drugiej liczby wynosi −θ. Obie liczby możemy wtedy zapisać
jako
m1 = r (cos θ + i sin θ)
oraz
m2 = r (cos θ − i sin θ) .
Kombinacja liniowa C1 mt1 + C2 mt2 jest rozwiazaniem
˛
równania (13). Aby wydzielić z niego rozwia˛
zanie rzeczywiste przyjmujemy C1 = α + iβ oraz C2 = C̄1 = α − iβ. Mamy
C1 mt1 + C2 mt2 = (α + iβ) [r (cos θ + i sin θ)]t + (α − iβ) [r (cos θ − i sin θ)]t
= (α + iβ) rt (cos θ + i sin θ)t + (α − iβ) rt (cos θ − i sin θ)t
t
t
= (α + iβ) rt eiθ + (α − iβ) rt e−iθ
= (α + iβ) rt eitθ + (α − iβ) rt e−itθ
= (α + iβ) rt (cos (itθ) + i sin (itθ)) + (α − iβ) rt (cos itθ − i sin itθ)
= rt [(α + iβ) (cos (itθ) + i sin (itθ)) + (α − iβ) (cos itθ − i sin itθ)]
= rt [2α cos (tθ) − 2β sin (tθ)]
= 2α rt cos (tθ) + (−2β) rt sin (tθ)
= |{z}
2α rt cos (tθ) + (−2β ) rt sin (tθ)
|{z}
C10
C20
= C10 rt cos (tθ) + C20 rt sin (tθ) .
Zatem parze pierwiastków zespolony a + ib i a − ib odpowiada para rozwiaza
˛ ń postaci
(1)
ut = rt cos (tθ)
i
(2)
ut = rt sin (tθ) .
Jeżeli para jest krotności q to odpowiada jej 2q rozwiaza
˛ ń postaci
rt tk cos(tθ)
2.3.5
i
rt tk sin(tθ)
dla k = 0, . . . , q − 1.
Warunki poczatkowe
˛
Jeżeli zadane sa˛ warunki poczatkowe
˛
postaci (x0 , . . . , xn−1 ) to stałe C1 , . . . , Cn sa˛ wyznaczone
jednoznacznie.
Zadanie 4. Udowodnij powyższe stwierdzenie. Uwaga. Być może warto zastosować twierdzenie
Cramera.
2.3.6
Stabilność równań
Powiemy, że równanie (13) jest globalnie asymptotycznie stabilne jeżeli dla dowolnego warunku
poczatkowego
˛
jego rozwiazanie
˛
zbiega do 0 przy t → ∞. Oznacza to, że wszystkie wyrażenia
postaci tk mtj , rt tk cos(tθ), rt tk sin(tθ) musza˛ zbiegać do 0 przy t → ∞. Zachodzi to wtedy i tylko
wtedy gdy wartości bezwzgl˛edne pierwiastków równania charakterystycznego sa˛ mniejsze niż 1.
Mamy twierdzenie.
Twierdzenie 7. Równanie (13) jest globalnie asymptotycznie stabilne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego maja˛ moduły mniejsze niż 1, tj. |m| < 1 dla każdego m takiego,
że w(m) = 0.
2.3.7
Warunek Schura
Twierdzenie 8. Niech w(m) b˛edzie wielomianem o rzeczywistych współczynnikach postaci
w(m) = mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an .
Wszystkie pierwiastki wielomianu maja˛ moduł mniejszy niż 1 wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi nast˛epujacy
˛
warunek
1 an
>0
det
an 1


1
0 an an−1
 a1
1 0
an 
>0
det 
 an
0 1
a1 
an−1 an 0
1
..
.


1
0
· · · 0 an an−1 · · · a1
 a1
1
··· 0 0
an · · · a2 
 .
.
.
.
..
.. 
.
..
 .

..
. . ..
..
.
.
. 
 .


0
· · · an 
 an−1 an−2 · · · 1 0
det 
>0
0
··· 0 1
a1 · · · an−1 
 an


1
· · · an−2 
 an−1 an · · · 0 0
 .
..
.
..
..
.. 
..
..
 ..
. ..
.
.
.
.
. 
a1
a2 · · · an 0
0
···
1
2.3.8
Równania niejednorodne
Rozważamy równanie postaci
xt+n + a1 xt+n−1 + . . . + an−1 xt+1 + an xt = bt ,
(15)
gdzie an 6= 0.
Zgodnie z twierdzeniem 6 musimy znaleźć rozwiazanie
˛
szczególne. W przypadku ogólnym jest to
trudne, ale jeżeli ciag
˛ bt jest prostej postaci można użyć metody nieoznaczonych współczynników
(method of undetermined coefficients).
Jeżeli bt jest kombinacja˛ liniowa˛ składników at , tm , cos(qt), sin(qt) to poszukujemy rozwiazania
˛
w
identycznej postaci. W przypadku gdy prawa strona równania (15) jest rozwiazaniem
˛
równania
jednorodnego, procedura komplikuje si˛e, zob. [2, 3].
2.3.9
Przykład
Rozważamy równanie postaci
5
1
at+2 − at+1 + at = sin
6
6
πt
6
Równanie jednorodne jest postaci
5
1
at+2 − at+1 + at = 0.
6
6
(16)
Równanie charakterystyczne jest postaci
5
1
w(m) = m − m + =
6
6
2
1
m−
2
1
m−
3
skad
˛ mamy dwa pierwiastki m1 = 1/3 i m2 = 1/2. Zatem rozwiazanie
˛
ogólne równania jednorodnego jest postaci
t
t
1
1
xt = C 1
+ C2
.
3
2
Rozwiazania
˛
szczególnego poszukujemy w postaci funkcji ut = a sin(πt/6) + b cos(πt/6). Podstawiajac
˛ to do równania niejednorodnego otrzymujemy
πt
π (t + 2)
π (t + 2)
sin
= a sin
+ b cos
6
6
6
5
π (t + 1)
π (t + 1)
−
a sin
+ b cos
6
6
6
πt
πt
1
a sin
+ b cos
+
6
6
6
3
√
2
23 − 5 b + 5 3 − 8 a
πt
πt
sin
=−
sin
6
12
6
√
3
5 3 − 8 b + 5 − 2 32 a
πt
−
cos
12
6
Porównujac
˛ współczynniki po obu stronach otrzymujemy nast˛epujacy
˛ układ równań liniowych
3

√

2
2
3
−
5
b
+
5
3
−
8
a



1 = −
12 √
3


2
3
−
8
b
+
5
−
2
3
a
5


0 = −
12
Rozwiazuj
˛ ac
˛ go otrzymujemy
3
20 3 2 − 19
a=
3796
i
√
233 3 + 290
b=
3796
Otrzymane rozwiazanie
˛
wyglada
˛ zatem w nast˛epujacy
˛ sposób
√
t
t
3
1
1
20 3 2 − 19
πt
233 3 + 290
πt
xt = C 1
+ C2
+
sin
+
cos
3
2
3796
6
3796
6
2.3.10
Przykład: równania liniowe o stałych współczynnikach drugiego rz˛edu
Zadanie 5. Korzystajac
˛ z powyższych twierdzeń wyprowadź ich odpowiedniki w przypadku
równania liniowego o stałych współczynnikach drugiego rz˛edu, tj. równania postaci
xt+2 + axt+1 + bxt = 0.
Zobacz jak wyglada
˛ rozwiazanie
˛
i kwestia stabilności. Podaj odpowiednie wzory w terminach
stałych a i b. (Zobacz [5, roz. 11.4].)
0.5
1.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
0.0
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−0.5
x
●
●
−1.5
−1.0
●
●
0
5
10
15
20
25
30
x
Rysunek 6: Zachowanie si˛e rozwiazania
˛
równania (16) dla różnych wartości
stałych Ck , k = 1, 2.
Zadanie 6. Rozwia˛ż nast˛epujace
˛ równania
(a)
xt+2 − 6xt+1 + 8xt = 0
(b)
xt+2 − 6xt+1 + 8xt = 0
(c)
xt+2 + 2xt+1 + 3xt = 0
(d)
3xt+2 + 2xt = 4
(e)
xt+2 + 2xt+1 f + xt = 9 2t
(f)
xt+2 − 3xt + 1 + 2xt = 3 5t + sin
π t
2
Zadanie 7. Model lokalizacji używa nast˛epujacego
˛
równania różnicowego
Dn+2 − 4 (ab + 1) Dn+1 + 4a2 b2 Dn = 0,
gdzie a, b sa˛ stałymi spełniajacymi
˛
1 + 2ab > 0. Podaj rozwiazanie
˛
ogólne.
Zadanie 8. Rozwia˛ż nast˛epujace
˛ równania różnicowe
(a)
xt+3 − 3xt+1 + 2xt = 0
xt+4 + 2xt+2 + xt = 8
(b)
Zadanie 9. Zbadaj stabilność nast˛epujacy
˛ równań różnicowych
(a)
1
xt+2 − xt = sin(t)
3
(b)
xt+2 − xt+1 − xt = 0
(c)
1
1
xt+2 − xt+1 + xt = t2 et
8
6
(d)
xt+2 + 3xt+1 − 4xt = t − 1
Literatura
[1] O. Galor. Discrete dynamical systems. Springer, 2007.
[2] G. Gandolfo. Economic dynamics Methods and models. North-Holland, 2-nd edition, 1980.
[3] S. Goldberg. Introduction to difference equations. John Wiley & Sons, 1958.
[4] C. Le Van and R.-A. Dana. Dynamic programming in economics. Kluwer, 2003.
[5] K. Sydseater, P. Hammond, A. Seierstad, and A. Strom. Further mathematics for economic analysis.
Prentice Hall, 2-nd edition, 2008.