Zadania treningowe z funkcji kwadratowej. 1. Wykres funkcji y = ax2

Zadania treningowe z funkcji kwadratowej.
1. Wykres funkcji y = ax2 + bx + c przechodzi przez punkty: A = (1,−4), B = (2,3), C = (−1,0).
a) Wyznacz współczynniki a, b, c. b) Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej.
c) Naszkicuj jej wykres.
1
2
2. Dana jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 1 + 2
2
a) Przedstaw te funkcję w postaci ogólnej i iloczynowej.
b) Narysuj wykres tej funkcji.
c) Podaj: zbiór wartości funkcji; zbiór w którym funkcja jest rosnąca; zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje
wartości niedodatnie.
3. Funkcja kwadratowa y = 3x2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 = −2 oraz x2 = 1.
a) Wyznacz b oraz c.
b) Podaj postać kanoniczną tej funkcji.
c) Narysuj wykres tej funkcji.
4. Na rysunku przedstawiony jest wykres pewnej funkcji kwadratowej.
1)
a)
Podaj postać ogólną tej funkcji.
𝑥 2 −1
2)
b) Oblicz miejsca zerowe tej funkcji.
3𝑥−1
5. Rozwiąż równanie:
−
=2
2
4
6. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że są one kolejnymi naturalnymi liczbami parzystymi.
7. W roku 1845 na uroczystości urodzin spytał ktoś jubilata, ile on ma lat. Na co jubilat odpowiedział: „Gdy swój wiek sprzed 15
lat pomnożę przez swój wiek za 15 lat, to otrzymam rok swego urodzenia”. Ile lat miał wówczas jubilat?
8. Liczbę osób, które odwiedziły kiermasz obuwia n - tego dnia od momentu jego otwarcia w przybliżeniu opisuje wzór
𝑑 𝑛 = −2𝑛2 + 32𝑛 − 8 , gdzie 𝑛𝜖𝑁+ i 1 ≤ 𝑛 ≤ 15.
a) W którym dniu kiermasz odwiedziło najwięcej osób i ile ich było?
b) Ile osób odwiedziło kiermasz podczas jego trwania?
9. W pewnym zakładzie pracy zależność przychodów ze sprzedaży od wielkości produkcji wyraża w przybliżeniu wzór
p(n) = 150n , gdzie n – oznacza liczbę sztuk wyprodukowanego towaru, a koszty produkcji, w złotych, określa zależność
𝑘 𝑛 = 𝑛2 + 50𝑛 + 1600.
a) Napisz wzór funkcji z(n) - zależności zysku zakładu od wielkości produkcji, jeśli wiadomo, że zysk jest różnicą między
przychodem zakładu a kosztami produkcji.
b) Przy jakiej wielkości produkcji zysk ten wynosi 0?
c) Jaka wielkość produkcji zapewnia największy zysk? Jaki jest koszt produkcji, gdy zysk jest największy?
10. Okno na poddaszu ma kształt trójkąta, w którym suma długości jego podstawy i wysokości opuszczonej na podstawę tego
okna wynosi 100 cm. Jaka powinna być długość podstawy okna, aby jego powierzchnia była największa? Oblicz maksymalną
powierzchnię tego okna.
11. Wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 7w przedziale domkniętym −4, 3 .
12. Dana jest funkcja 𝑓 𝑥 = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 1dla 𝑥𝜖𝑅,
a) oblicz jej wartość największą w przedziale 0,1 ,
b) zapisz jej wzór w postaci kanonicznej, c) narysuj jej wykres,
d) omów jej własności: dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, znak funkcji.
13. Szerokość dywanu jest o 5 m mniejsza od długości tego dywanu. Jakie są wymiary dywanu, jeżeli jego powierzchnia wynosi
104 m2 ?
14. Dane są zbiory A i B. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wykonaj działania: A  B, A  B, A / B , gdy:
7
1
𝐴 = 𝑥𝜖𝑅: 𝑥 2 + 𝑥 − 2 > 0 , 𝐵 = 𝑥𝜖𝑅: 𝑥 2 − 𝑥 − ≤ 0 .
2
4
15. Dana jest funkcja 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3dla 𝑥𝜖𝑅,
a) wyznacz jej wartość najmniejszą, największą,
b) oblicz, dla jakich argumentów przyjmuje wartości nieujemne,
c) rozwiąż graficznie równanie f(x) =−3 .
16.Liczba x1 = 3 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej, a wierzchołkiem paraboli jest punkt W = (1,−2) . Zapisz wzór tej
funkcji w postaci iloczynowej.
17. Funkcja kwadratowa f (x) = 3x2 + bx + c ma dwa miejsca zerowe: x1 =−2 x2 =1 .
a) Wyznacz współczynniki b i c.
b) Podaj postać kanoniczną tej funkcji.
1
18. Największa wartość funkcji kwadratowej f(x) wynosi 2 . Liczby 2 i 5 sa jej miejscami zerowymi.
4
a) Napisz wzór funkcji w postaci ogólnej. b) Dla jakich argumentów wykres funkcji f(x) leży powyżej wykresu funkcji y = x − 5?
19. Dane jest równanie 𝑚 + 1 𝑥 2 − 𝑚 − 2 𝑥 + 1 − 𝑚 = 0. Dla jakich wartości parametru 𝑚𝜖𝑅 równanie to ma dokładnie
jeden pierwiastek? Dla wyznaczonych m oblicz ten pierwiastek.
20. Dla jakich wartości parametru 𝑚𝜖𝑅 równanie 𝑚 − 5 𝑥 2 − 4𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 = 0ma dwa różne rozwiązania?
1
1
21. Dla jakich wartości 𝑚𝜖𝑅 różne pierwiastki rzeczywiste równania −𝑥 2 + 2𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 = 0 spełniają warunek 2 + 2 ≤ 2?
𝑥1
𝑥2
22. Funkcja kwadratowa y = ax2 + bx + c ma jedno miejsce zerowe i do jej wykresu należą punkty A = (0, 1) i B = (2, 9).
Wyznacz wartości a, b, c.
23. Dla jakiej wartości parametru m nierówność: 5 − 𝑚 𝑥 2 − 2 1 − 𝑚 𝑥 + 2 1 − 𝑚 < 0 jest spełniona dla każdego 𝑥𝜖𝑅?
24. Funkcja g przyporządkowuje liczbie rzeczywistej a liczbę pierwiastków równania 3𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 𝑎 . Naszkicuj wykres tej
funkcji.
3
25. Napisz wzór funkcji kwadratowej f(x) = ax2 + bx + c wiedząc, że jej miejsca zerowe spełniają warunki:𝑥1 + 𝑥2 = − ,
𝑥1 ∙ 𝑥2 = −1, 𝑓 0 = −
4
3
2
26. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 𝑚 + 3 jest zbiór liczb rzeczywistych?
27. Dla jakich wartości parametru m równanie 𝑥 2 + 2 𝑚 + 4 𝑥 + 𝑚2 − 2𝑚 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
jednakowych znaków?
28. Obecnie wnuczek i babcia mają razem 62 lata. Za pięć lat wiek babci będzie kwadratem wieku wnuczka. Ile lat ma obecnie
wnuczek, a ile babcia?
29. Napisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej i iloczynowej, jeśli wiadomo, że funkcja f spełnia jednocześnie
następujące trzy warunki:
 suma miejsc zerowych funkcji f wynosi –2
 zbiorem wartości funkcji f jest przedział (–; 4
1

2
 największa wartość funkcji f w przedziale 1; 3 wynosi 2,5.
30. Gospodarz budynku dysponuje płotkiem długości 30 m, którym
chce ogrodzić teren wokół lewego rogu domu, w sposób
przedstawiony na rysunku obok
a)
Wykaż, że pole powierzchni ogrodzonego terenu, w metrach kwadratowych, można opisać wzorem P(x) = –3x2 + 30x.
Określ dziedzinę funkcji P.
b)
Jakie może być największe pole ogrodzonego w ten sposób terenu?
31. Obok przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej f
określonej w zbiorze R. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 4,
1
1
, –6 ).
4
8
a wierzchołkiem paraboli punkt W(2
a)
b)
c)
Wyznacz drugie miejsce zerowe funkcji f.
Napisz wzór funkcji f w postaci ogólnej.
Podaj zbiór rozwiązań równania f(x + 2,25) = 0.
d)
Nie obliczając wartości funkcji f, porównaj liczby f( 2 – 1) oraz f(1 – 2 ). Odpowiedź uzasadnij.
32. Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie:
a) 2𝑥 2 − 𝑚 − 1 𝑥 + 𝑚 + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki ujemne,
b) 𝑥 2 − 𝑚 − 5 𝑥 + 𝑚2 − 6𝑚 + 5 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków.
33. Określ, dla jakich wartości parametru k nierówność 𝑘 2 − 1 𝑥 2 + 2 𝑘 − 1 𝑥 + 2 > 0 jest spełniona dla każdego 𝑥 ∈ 𝑅.
34. Rozwiąż równania i nierówności:
a) 𝑥 2 − 7 𝑥 + 12 = 0
b) 𝑥 − 3 𝑥 − 3 − 13 = 0
c) 𝑥 − 2 = 3𝑥 + 4
d) 𝑥 2 − 6𝑥 ≤ 2𝑥
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3 𝑥 + 2
35. Naszkicuj wykres funkcji:
Odpowiedzi:
b) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 −
1. a) a = 3, b = −2, c = −5
1
3
1 2
3
−5
1
3
2. 𝑎) 𝑓 𝑥 = − 𝑥 2 + 𝑥 +
c) 𝑍𝑊𝑓 = −∞, 2 ,
2
2
𝑓 ↗ 𝑤 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 −∞, 1 , 𝑓(𝑥) ≤ 0 ⟺ 𝑥𝜖 −∞, −1 ∪ 3, +∞
3.a) b= −9, c=6
b) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 −
3 2
2
−
3
4
4. 1) a) f(x) = – x2 + 4x + 3, b) x = 2 +
7 oraz x = 2 – 7 ,
2) a) f(x) = x2 + 4x – 1, b) x = – 2 – 5 oraz x = – 2 + 5 .
3
5. 𝑥1 = − , 𝑥2 = 3
2
6. 6, 8, 10
7. 45
8. a) 8 dnia, 120
9. 𝑎) 𝑧 𝑛 = 𝑝 𝑛 − 𝑘 𝑛 = −𝑛2 + 100𝑛 − 1600
b) 20 szt. lub 60 szt.
c) 50 szt., koszt produkcji wynosi 900zł
10. 1250cm2
11. Max 43, min 0,75
12. a) 1
b) 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 + 1 2 + 3
13. 8m13m
15.a) ymin= −4, ymax- nie istnieje b) 𝑥𝜖 −∞, −3 ∪ −1, +∞
c) x=0 lub
x= −2
1
16. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥 − 3
2
17.a) b=3, c= −6
f) 6𝑥 2 + 15 𝑥 + 2 − 20 𝑥 − 17𝑥 − 18 ≥ 0
e) 4𝑥 − 𝑥 2 ≥ 𝑥 − 2
b) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 +
1 2
2
−
27
4
b) 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥) ∙ 𝑥 2 + 2𝑥 + 1.
18. 𝑎) 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 + 7𝑥 − 10 b) 𝑥𝜖 1,5
4
19. 𝑚𝜖 −1, 0,
5
4
20. 𝑚𝜖 −∞, −1 ∪ −1,0 ∪ , +∞
5
21. 𝑚𝜖 −6, −2
22. a=4, b= −4, c=1 lub a=1, b=2, c=1
23. 𝑚𝜖 9, +∞
3
9
3
25. 𝑎 = , 𝑏 = , 𝑐 = −
2
8
2
26. 𝑚𝜖 −2,6
3
27. 𝑚𝜖 −1 , 0 ∪ 2, +∞
5
28. babcia 59 lat wnuczek 3 lata
1
1
29. 𝑓 𝑥 = − 𝑥 2 − 𝑥 + 4, 𝑓 𝑥 = − 𝑥 − 2 (𝑥 + 4)
2
1
30. 𝐷𝑃 = 0,7
1
2
2
, dla argumentu x=5 pole jest największe i wynosi P=75m2.
3
3
4
4
31. a) x2= , b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 − 9𝑥 + 4, c) 𝑥𝜖 −1 , 1 ,
2
d) 𝑓 1 − 2 > 𝑓( 2 − 1)
32. a) 𝑚𝜖 −1; 5 − 4 2 , b) 𝑚𝜖 1,5
33. 𝑘𝜖 −∞, −3 ∪ 1, +∞
34. a) 𝑥𝜖 −4, −3, 3, 4 , b) x=28, c) x=7, d) 𝑥𝜖 4,8 ∪ 0 , e) 𝑥𝜖 0; 2 + 2 ,
2
f) 𝑥𝜖 0, ∪ 3, +∞
3