Zastosowania geometryczne całki oznaczonej

Zastosowania geometryczne ca÷
ki oznaczonej
Pole …gury p÷
askiej
Pole jDj obszaru D ograniczonego krzywymi ciag÷
¾ ymi y = f (x) i y =
g (x), gdzie g (x) > f (x) dla x 2 [a; b], i prostymi x = a i x = b wyraz·a sie¾
wzorem
Zb
jDj = g (x) f (x) dx .
a
Przyk÷
ady:
1. Pole obszaru zawartego miedzy
¾
krzywymi y = x2 i y =
prostymi x = 0 i x = 3 jest równe:
Z3
jDj =
x2
0
x2
Z3
1
dx = 2 x2 dx = 2 x3
3
0
x2 oraz
3
= 18
0
2. Pole obszaru p÷
askiego D ograniczonego parabola¾ y 2 = 4x i prosta¾
y = 2x 4 wynosi
Z1
p
2 x
p
2 x dx +
0
Z4
p
2 x
(2x
4) dx
1
3. Pole obszaru ograniczonego krzywa¾ y = x21+2 oraz osia¾ OX moz·emy
obliczyć wykorzystujac
¾ pojecie
¾ ca÷
ki niew÷
aściwej:
jDj =
Z1
1
Z1
1
1
dx = 2
dx = 2
2
2
x +2
x +2
lim
ZA
A!1
0
x2
1
dx
+2
0
Obliczmy najpierw ca÷
k¾
e nieoznaczona¾
p Z
p
p
Z p
Z
2dt
2
dt
2
1
x= p
2t
=
=
arctg
dx =
=
2
2
2
dx = 2dt
2t + 2
2
t +1
2
x +2
x
p +C.
2
Zatem
jDj = 2 lim
ZA
A!1
p
1
dx = 2 lim arctg
2
A!1
x +2
0
1
x
p
2
A
=
0
p
2 lim arctg
A!1
A
p
2
=
p
2
2
Pole obszaru wyznaczonego przez krzywe opisane przy
pomocy równań parametrycznych
Jeśli krzywa K dana jest równaniami parametrycznymi x = ' (t), y =
(t), gdzie funkcje ' (t) i (t) sa¾ ciag÷
¾ e w przedziale 6 t 6 oraz funkcja
' (t) ma ciag÷
¾ a¾ pochodna¾ w tym przedziale, to wzór na pole obszaru ograniczonego ÷
ukiem krzywej K, osia¾ OX oraz prostymi x = ' ( ) i y = ( ) ma
postać
Z
jDj = j (t)j j'0 (t)j dt .
Przyk÷
ad:
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywa¾ dana¾ równaniami parametrycznymi : x = 2 cos t, y = 2 sin t , 0 6 t 6 2 . Podstawiajac
¾ odpowiednie
funkcje do ostatniego wzoru dostajemy
jDj =
Z2
0
Poniewaz·
wiec
¾
Z
Z2
2 sin t (2 cos t) dt = 4 sin2 tdt:
0
0
1
sin t cos t + C
2
1
sin2 tdt = t
2
jDj = 2 [t
sin t cos t]02 = .
2
Obszar ograniczony krzywa¾ dana¾ we wspó÷
rz¾
ednych
biegunowych
Kaz·dy punkt p÷
aszczyzny (x; y) 2 R R moz·na jednoznacznie opisać podajac
¾ odleg÷
ość r punktu (x; y) od poczatku
¾ uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
oraz kat
¾
, jaki wektor ÷
acz
¾ acy
¾ punkty (0; 0) i (x; y) tworzy z dodatnia¾ pó÷
osia¾ OX.
Takie przedstawienie (analogiczne do trygonometrycznej postaci liczby zespolonej) nazywamy wspó÷
rzednymi
¾
biegunowymi punktu. ×atwo sprawdzić,
z·e x = r cos oraz y = r sin .
Pole obszaru p÷
askiego ograniczonego ÷
ukiem AB o równaniu biegunowym
r = f ( ) 0 dla a 6 6 b oraz b a 6 2 i promieniami wodzacymi
¾
OA i
OB o d÷
ugościach f (a) i f (b) - o ile f jest funkcja¾ ciag÷
¾ a¾ w przedziale [a; b]
wyraz·a sie¾ ca÷
ka¾
Zb
1
jDj =
(f ( ))2 d
2
a
Przyk÷
ady:
5. Wspólrzedne
¾
biegunowe pozwalaja¾wygodnie policzyć pole ko÷
a. Okrag
¾
o środku w środku uk÷
adu wspó÷
rzednych
¾
i promieniu 5 ma we wspó÷
rzednych
¾
biegunowych wzór r = 5 dla 2 [0; 2 ]. Wobec tego
1
jDj =
2
Z2
52 d =
1
[25 ]20 = 25 .
2
0
6. Pole obszaru p÷
askiego D ograniczonego "kardioida"
¾ o równaniu r =
1 + cos dla 2 [0; 2 ] jest równe
1
2
2
Z
0
2
(1 + cos ) d =
Z
0
3
1 + 2 cos
+ cos2
d
D÷
ugość ÷
uku krzywej
Za÷
óz·my, z·e funkcja f (x) ma ciag÷
¾ a¾pochodna¾na przedziale [a; b]. D÷
ugość
÷
uku krzywej K : y = f (x), x 2 [a; b] jest równa
L=
Zb q
1 + (f 0 (x))2 dx .
a
Przyk÷
ady:
7. Przekatna
¾ kwadratu o boku jednostkowym, czyli d÷
ugość ÷
uku opisanego
równaniem y = x dla x 2 [0; 1] wynosi
L=
Z1 q
1 + (1)2 dx =
0
hp
2x
i1
=
p
2.
0
8. D÷
ugość ÷
uku paraboli y = x2 dla x 2 [0; 1] jest równa
8
9
Z1 q
< t = 2x dt = 2dx = 1 Z2 p
x=0
x=1
1 + (2x)2 dx =
=
1 + t2 dt .
L=
:
; 2
t=0
t=2
0
0
Poniewaz·
Z p
p
1 p
1
1 + t2 dt = t t2 + 1 + ln t + t2 + 1 + C ,
2
2
wiec
¾
L=
p
1 p
2 5 + ln 2 + 5
4
4
.
Obj¾
etość i pole powierzchni bry÷
y obrotowej
Za÷
óz·my, z·e funkcja f (x) ma ciag÷
¾ a¾ pochodna¾ na przedziale [a; b]. Po
obrocie krzywej y = f (x), a 6 x 6 b, doko÷
a osi OX otrzymamybry÷
e¾
obrotowa,
¾ której objetość
¾
i pole powierzchni wyraz·aja¾ sie¾ wzorami
V =
Zb
(f (x))2 dx ,
a
P =2
Zb
jf (x)j
a
q
1 + (f 0 (x))2 dx .
Przy obrocie krzywej x = g (y), y 2 [c; d], doko÷
a osi OY wzory przyjmuja¾
postać:
V =
Zd
(g (y))2 dy
c
oraz
P =2
Zd
jg (y)j
c
q
1 + (g 0 (y))2 dy .
Przyk÷
ad:
9. Objetość
¾
bry÷
y utworzonej przez obrót doko÷
a osi OX krzywej y = cos x
dla x 2 0; 2 jest równa
V =
Z2
(cos x)2 dx =
2
2
[x + sin x cos x]02 =
0
zaś pole powierzchni tej bry÷
y wynosi
P =2
Z2
0
cos x
p
5
1 + sin2 xdx .
4
,
Podstawiajac
¾ t = sin x dostajemy dt = cos xdx, wiec
¾
sin
Z 2p
P =2
1 + t2 dt = 2
Z1 p
1 + t2 dt .
0
sin 0
Korzystajac
¾ ze wzoru na ca÷
k¾
e nieoznaczona¾ funkcji
P =2
p
1 p2
1
t t + 1 + ln t + t2 + 1
2
2
=
p
1
0
p
1 + t2 otrzymujemy
p
1
1p
2 + ln 1 + 2
2
2
=2
2 + ln 1 +
p
1
ln 1
2
.
2
10. Znajdziemy teraz objetość
¾
bry÷
y powsta÷
ej przez obrót wokó÷osi OY
zamknietego
¾
konturu utworzonego przez krzywe y = x2 oraz x = y 2 . Szukana
liczba jest róz·nica¾ objetości
¾
bry÷V1 i V2 powsta÷
ych przez obró odpowiednio
p
2
krzywej x = y i x = y dla y 2 [0; 1]. Zatem
jV j =
Z1
Z1
p
( y)2 dy
0
0
6
y2
2
dy =
3
10
.