Wykªad #14 z 15.01.08

Analiza matematyczna
yaras
21 stycznia 2008
Cz¦±¢ I
Wykªad #14 z 15.01.08
1
Funkcje dwóch zmiennych - rachunek ró»niczkowy.
1.1
Granica podwójna funkcji dwóch zmiennych.
Liczba A jest granic funkcji z = f (x, y) w punkcie P0 = (x0 , y0 ) je±li ∀²>0 ∃δ>0 ∀x ∀y :
|f (x, y) − A| < ².
1.1.1
Oblicz
f (x, y) =
∧
|y − y0 | < δ
=⇒
x2 y
x2 +y 2
lim
x→0
y→0
x2 y
x2 +y 2
|x − x0 | < δ
D : (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)}
2
Poka»emy, »e | x2x+yy 2 | ≤ 12 |x|.
|x|
|x y|
|x|
2|x y|−x |x|−y
y
| x2x+y
2 | − 2 = x2 +y 2 − 2 =
2x2 +2y 2
0 2
y
x2 y
1
1
| x2x+y
2 − 0| = | x2 +y 2 | ≤ 2 |x| < 2 δ = ²
² > 0 dowolne, δ = 12 ²
2
2
lim
x→0
y→0
1.1.2
x2 y
x2 +y 2
2
2
2
|x|
=
2x2 |y|−x2 |x|−y 2 |x|
2x2 +2y 2
=0
Oblicz granic¦
1. Dla xk = k1 ,
lim xk = 0,
k→∞
yk =
f (x, y) =
xy
x2 +y 2 w
P0 = (0, 0).
1
k
lim yk = 0
k→∞
k→∞
(xk , yk ) −→ (0, 0)
f (xk , yk ) = f ( k1 , k1 ) =
1 1
k·k
1
+ k12
2
k
=
1
k2
2
k2
=
1
2
1
=
−|x|(−2|x||y|+x2 +y 2 )
2x2 +2y 2
=
−|x|·(|x|2 −2|x||y|+|y|2 )
2x2 +2y 2
=
−|x|·(|x|−|y|)2
2x2 +2y 2
≤
2. Dla x0k = k2 ,
yk0 =
1
k
lim (x0k , yk0 ) = (0, 0)
k→∞
f (x0k , yk0 ) =
1.2
2 1
k·k
4
+ k12
2
k
=
2
k2
5
k2
=
2
5
Granice iterowane.
lub
lim lim f (x, y)
x→x0 y→y0
1.2.1
lim lim f (x, y)
y→y0 x→x0
Wylicz granice iterowane dla
lim lim x
x→0y→0 y+1
lim lim x
y→0x→0 y+1
1.2.2
y 6= −1.
f (x, y) =
x
y+1
f (x, y) =
x−y+x2 +y 2
x+y
= lim x1 = 0
x→0
= lim 0 = 0
y→0
Wylicz granice iterowane dla
2
2
2
+y
lim lim x−y+x
= lim x+x
=1
x+y
x
x→0y→0
x→0
+y
lim lim x−y+x
= lim −y+y
= −1
x+y
y
2
2
y→0x→0
1.2.3
2
y→0
Twierdzenie o zwi¡zku mi¦dzy granic¡ podwójn¡ a granicami iterowanymi.
Je»eli speªnione s¡ nast¦puj¡ce zaªo»enia:
1. Istnieje wªa±ciwa lub niewªa±ciwa granica podwójna
lim f (x, y) = A
x → x0
y → y0
2. Dla ka»dego y z obszaru okre±lenia funkcji istnieje wªa±ciwa granica −∞ < ψ(y) = lim f (x, y) < ∞
x→x0
to istnieje równie» granica iterowana lim lim f (x, y) = A i jest ona równa granicy podwójnej.
y→y0 x→x0
Analogiczne twierdzenie jest sªuszne dla granicy iterowanej.
Mówimy, »e funkcja ci¡gªa z = f (x, y) jest ci¡gªa w P0 = (x0 , y0 )
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) je±li jest ci¡gªa w ka»dym
x → x0
y → y0
punkcie tego obszaru.
1.3
Pochodna cz¡stkowa funkcji dwóch zmiennych.
Niech b¦dzie dana funkcja z = f (x, y) ci¡gªa w obszarze B i niech P0 = (x0 , y0 ) b¦dzie punktem wewn¦trznym tego obszaru.
∂f
∂f
∂
Je±li istnieje lim f (x0 +h, y0h)−f (x0 , y0 ) = ∂f
∂x (P0 ) = ∂x |P0 = ∂x (x0 , y0 ) = ∂x f (x0 , y0 ) = Zx (P0 ) = fx (P0 ) to nazywamy j¡ pochodn¡
h→0
cz¡stkow¡ I rz¦du wzgl¦dem zmiennej x funkcji f (x, y) w P0 .
(x0 , y0 )
∂f
∂f
∂
Je±li istnieje lim f (x0 , y0 +k)−f
= ∂f
k
∂y (P0 ) = ∂y |P0 = ∂y (x0 , y0 ) = ∂y f (x0 , y0 ) = Zy (P0 ) = fy (P0 ) to nazywamy j¡ pochodn¡
k→0
cz¡stkow¡ I rz¦du wzgl¦dem zmiennej y funkcji f (x, y) w P0 .
1.3.1
Przykªad.
f (x, y) = 3x2 − 6y 2 + 7x2 y + xy − 3x + 5y − 4
fx (x, y) = 6x + 14xy + y − 3
fy (x, y) = −12y + 7x2 + x + 5
Pochodne cz¡stkowe I rz¦du s¡ zazwyczaj równie» funkcjami dwóch zmiennych, których pochodne cz¡stkowe mo»na obliczy¢. Te
pochodne cz¡stkowe nazywamy pochodnyi cz¡stkowymi II rz¦du. Analogicznie deniuje si¦ pochodne III i wy»szych rz¦dów.
fxx , fyy , fyx (x0 , y0 ) = fy (fx (x0 , y0 )), fxy = fx (fy (x0 , y0 ))
fxx (x, y) = 6 + 14y
fyy (x, y) = −12
fyx (x, y) = 14x + 1
fxy (x, y) = 14x + 1
1.3.2
Twierdzenie Schwarza.
Je»eli pochodne mieszane funkcji z = f (x, y) istniej¡ i s¡ ci¡gªe to s¡ sobie równe. fxy (x, y) = fyx (x, y)
2
1.4
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
Mówimy, »e funkcja z = f (x, y) osi¡ga maksimum lokalne (minimum) w P0 = (x0 , y0 ), który jest wewn¦trznym punktem obszaru
okre±lono±ci je»eli istnieje takie otoczenie punktu P0 , którego wszysie punkty s¡ punktami wewn¦trznymi obszaru okre±lono±ci,
»e ∀(x,y)6=(x0 ,y0 ) z tego otoczenia f (x0 , y0 ) > f (x, y) (f (x0 , y0 ) < f (x, y)).
Mówimy,
»e punkt P0 = (x0 , y0 ) jest punktem stacjonarnym je±li speªniony jest ukªad równa«:
(
fx (P0 ) = 0
fy (P0 ) = 0
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró»niczkowalnej (maj¡cej sko«czone obie pochodne cz¡stkowe) w P0 : P0 jest
punktem stacjonarnym. Nie wolno tego odwraca¢.
Warunek wystarczaj¡cy/dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji ró»niczkowalnej:
Je»eli
• P0 jest punktem stacjonarnym
¯
¯ f (P )
fxy (P0 )
• hesjan Wf (P0 ) = ¯¯ xx 0
fyx (P0 )
fyy (P0 )
• fxx (P0 ) < 0
¯
¯
¯>0
¯
(fxx (P0 ) > 0) to funkcja ma w P0 maksimum (minimum) lokalne.
Je±li Wf (P0 ) < 0 to w P0 nie ma ekstremum. Je±li Wf (P0 ) = 0 to powy»szy warunek nie rozstrzyga.
1.4.1
Przykªad. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji.
1. f (x, y) = (x + 2)2 + y 2 + 1
D : (x, y) ∈ R2
fx (x, y) = 2(x + 2) = 2x + 4
f(y (x, y) = 2y (
(
fx = 0
2x + 4 = 0
x = −2
fy = 0
2y = 0
y=0
fxx = 2
fxx |P0 = 2
fxy |P0 = fyx |P0 = 0
fyy = 2
fyy |P0 = 2
fxy = fyx =
¯ 0
¯
¯ 2 0 ¯
¯
¯=4>0
Wf (P0 ) = ¯
0 2 ¯
Jest ekstremumi fxx (P0 ) > 0 - minimum
xmin = −2, ymin = 0
zmin = f (−2, 0) = 1
P0 = (−2, 0)
2. g(x, y) = 51 x5 + 14 xy 4 + 3x + 2
D:
(x, y) ∈ R2
gx (x, y) = x4 + 41 y 4 + 3
g(y (x, y) = xy 3(
gx = 0
x4 + 41 y 4 + 3 = 0 sprzeczno±¢
gy = 0
xy 3 = 0
Brak punktów stacjonarnych - brak ekstremów.
3. h(x, y) = ex−y (x2 − 2y 2 )
D:
(x, y) ∈ R2
x−y
hx = e
· (x2 − 2y 2 ) + ex−y 2x = ex−y (x2 − 2y 2 + 2x)
x−y
hy = e
· (−1) · (x2 − 2y 2 ) + ex−y · (−4y) = ex−y · (−x2 + 2y 2 − 4y)
(
(
(
(
hx = 0
x2 − 2y 2 + 2x = 0
2x − 4y = 0
4y 2 − 2y 2 + 4y = 0
2
2
hy = 0
−x + 2y − 4y = 0
x = 2y
2y 2 + 4y = 0
2 punkty stacjonarne P1 = (0, 0),
P2 (−4, −2).
hxx = ex−y (x2 − 2y 2 + 2x) + ex−y (2x + 2) = ex−y (x2 − 2y 2 + 4x + 2)
hyy = −ex−y (−x2 + 2y 2 − 4y) + ex−y (4y − 4) = ex−y (x2 − 2y 2 + 8y − 4)
hyx = −ex−y (x2 − 2y 2 + 2x) + ex−y (−4y) = −ex−y (x2 − 2y 2 + 2x + ¯4y)
¯
¯ 2 0 ¯
¯
¯ = −8 < 0
P1 :
hxx (P1 ) = 2 hyy (P1 ) = −4 hxy = hyx = 0
Wh (P1 ) = ¯
0 −4 ¯ ¯
−8
¯ −6
e2
e2
hyy (P2 ) = −12
hxy (P2 ) = hyx (P2 ) = −8
Wh (P2 ) = ¯¯ −8
P2 :
hxx (P2 ) = −6
−12
e2
e2
e2
2
2
W punkcie P2 jest maksimum xmax = −4 ymax = −2
zmax =
3
8
e2
e
e


2y(y
( + 2) = 0(
y=0
y = −2

∪

x=0
x = −4
¯
¯
¯=
¯
72
e4
−
64
e4
=
8
e4
>0