Ćwiczenia z analizy numerycznej

Ćwiczenia z analizy numerycznej
dla II roku informatyki magisterskiej
lista 3 - 13 października 2005
1. Sprawdzić, że macierz


2 1 0

A=
 1 2 1 
0 1 2
√
√
ma wartości własne 2 + 2, 2, 2 − 2.
2. Niech x ∈ Rn . Udowodnić, że
||x||∞ ¬ ||x||2 ¬
√
n||x||∞ .
3. Niech A ∈ Rn×n będzie macierzą symetryczną. Wiadomo, że wówczas istnieje macierz
ortogonalna Q taka, że A = Qdiag (λj )QT . Udowodnić, że
√
||A||F = ||diag(λj )||F , ||A||2 = max |λj |. ||A||F ¬ n||A||2 .
j
4. Niech macierze A i B będą nieosobliwe. Udowodnić następujące nierówności
||A−1 || ­ 1/||A||,
||A−1 − B −1 || ¬ ||A−1 || ||B −1 || ||A − B||.
5. Wskaźnikiem uwarunkowania zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b
o nieosobliwej macierzy układu jest wyrażenie cond(A) = ||A|| ||A−1 ||. Obliczyć
wskaźniki uwarunkowania dla norm || · ||1 , || · ||2 i || · ||∞ dla następujących macierzy
"
a+1
a
a
a−1
#
"
,
6. Niech
"
A=
#
0 1
−2 0
1 γ
0 1
"
,
a 1
1 1
#
.
#
.
Obliczyć wskaźnik uwarunkowania cond∞ (A) i cond1 (A). Niech b = A[1 − γ, 1]T ,
czyli rozwiązaniem układu Ax = b jest x = [1 − γ, 1]T . Niech b̂ = b + δb. Niech x̂
będzie rozwiązaniem układu Ax = b̂. Wyrazić oszacowanie błędu względnego ||x̂ −
x||∞ /||x||∞ przez ||δb||∞ /||b||∞ . Czy zadanie rozwiązania układu Ax = b jest dobrze
uwarunkowane?
7. Zadanie rozwiązania układu dwóch równań liniowych Ax = b jest równoważne zadaniu znalezienia punktu przecięcia dwóch prostych. Pokazać, że dla kąta α między
tymi prostymi zachodzi
1
|ctg (α)| ¬ condF (A).
2
1
8. Niech
"
A=
1 2
1 2.01
#
.
Porównać rozwiązanie x układu Ax = b
z rozwiązaniem x + ∆x układu
A(x + ∆x) = b + ∆b,
gdzie b = [4, 4]T , ∆b = [−1, 1]T .
9. Obliczyc wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych
Ax = b dla


5 7 3

A=
 7 11 2  .
3 2 6
10. (Forsythe, Moler; Ikramov) Niech
"
A=
100 99
99 98
#
.
• Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania condF (A) macierzy A.
"
#
a b
• Niech nieosobliwa macierz stopnia 2 ma postać C =
. Niech
c d
a2 + b2 + c2 + d2
.
2|ad − bc|
√
Udowodnić, że cond2 (C) = s + s2 − 1.
• Niech B będzie macierzą nieosobliwą stopnia 2 o wszystkich elementach całkowitych dodatnich nie większych niż 100. Pokazać, że condF (B) nie może być
większe niż condF (A). Wskazówka. Wyrazić jawnie wskaźnik uwarunkowania
za pomocą elementów macierzy B.
• Udowodnić, że macierz A ma największy wskaźnik uwarunkowania cond2 (A)
spośród wszystkich macierzy B.
s=
11. Udowodnić, że zadanie rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b z macierzą
A ortogonalną (A−1 = AT ) jest zawsze bardzo dobrze uwarunkowane. Czemu równa
się cond2 A?
12. Porównać wskaźniki uwarunkowania cond∞ dla macierzy A i macierzy DA, gdzie


1 1
1

100 
A =  1 10
,
1 100 10000
D = diag (1/3, 1/111, 1/10101).
2
13. (Bai) Pokazać, że
ssT 2
||As||22
2
)||
=
||A||
−
.
F
sT s F
sT s
Wskazówka. Zauważyć, że kwadrat normy Frobeniusa dowolnej macierzy A jest równy sumie elementów z głównej przekątnej macierzy AT A (A - rzeczywista) oraz
||AssT AT ||F = ||As||22 .
||A(I −
14. (Bai) Pokazać, że jeśli
"
A=
I Z
0 I
#
,
gdzie I − macierz jednostkowa stop.n,
to condF (A) = 2n + ||Z||2F . Wskazówka. Zauważyć, że kwadrat normy Frobeniusa
macierzy blokowej jest sumą kwadratów norm Frobeniusa jej poszczególnych bloków.
15. Układ równań liniowych
"
2.01 1.01
1
0.5
#
"
x=
−0.01
0
#
ma rozwiązanie x = [1, −2]T . Wyznaczyć rozwiązanie układu w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej 3-cyfrowej za pomocą eliminacji Gaussa.
16. Wyznaczyć liczbę działań potrzebnych do rozwiązania układu równań liniowych z
macierzą trójkątną.
17. Rozpatrzyć następującą macierz trójprzekątniową stopnia 4




A=
b1 c 1 0 0
a1 b 2 c 2 0
0 a2 b 3 c 3
0 0 a3 b 4



.

Zakładamy, że istnieje rozkład LU macierzy A, czyli że eliminacja Gaussa jest wykonalna. Sprawdzić, że wówczas

1


a1
d1
L=

 0
0
0
1
a2
d2
0
0
0
1
a3
d3
0
0
0
1




,


gdzie



U =
d1 c1 0 0
0 d2 c2 0
0 0 d3 c3
0 0 0 d4



,

ai−1 ci−1
dla i = 2, 3, 4.
di−1
Sprawdzić poprawność podanych wyżej wzorów i napisać algorytm wyznaczania rozkładu LU dla macierzy trójprzekątniowej stopnia n. Wyznaczyć koszty tego algorytmu. Pokazć, że czynnik wzrostu ρ jest ograniczony z góry przez 2, jeśli stosujemy
częściowy wybór elementu głównego.
d1 = b1 ,
di = bi −
3
18. Podać schemat algorytmu eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego dla układu w macierzą trójprzekątniową.
19. Napisać schemat algorytmu rozwiązywania układu równań liniowych Ax = b, gdzie A
jest macierzą Hessenberga górną, tzn. elementy może mieć elementy niezerowe tylko
w gónym trójkącie i bezpośrednio pod nim. Zastosować eliminację Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego.Uwaga. Macierz z zadania 17 jest szczególnym
przypadkiem macierzy górnej Hessenberga.
20. Niech macierz A będzie trójkątna górna z wyjątkiem pierwszej kolumny i ostatniego wiersza, które nie są zerowe. Jaki będzie koszt (ile działań) rozwiązania układu
Ax = b za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego. Podać schemat
algorytmu.
21. Niech A będzie macierzą nieosobliwą zespoloną, Cn×n , i niech b ∈ Cn . Pokazać, że
układ ten można rozwiązać, nie używając arytmetyki zespolonej. Wskazówka. Przyrównać części rzeczywiste i urojone z obu stron układu.
22. Podczas przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych z okresowymi warunkami brzegowymi pojawiają się układy równań liniowych z macierzami układu A = [aij ]
prawie trójprzekątniowymi, tzn. elementy niezerowe są wzdłuż trzech głównych przekątnych oraz w dwóch rogach:
a11 = ann = a,
aii = c dla i = 2, 3, . . . , n − 1,
ai+1,i = ai,i+1 = −2 dla wszystkich i,
an,1 = a1,n = −1.
Zaproponować algorytm rozwiązywania układu Ax = b z powyższą macierzą.
"
#
1 2
23. Niech A =
. Porównać rozwiązanie x układu Ax = b
1 2.01
z rozwiązaniem x + ∆x układu A(x + ∆x) = b + ∆b, gdzie b = [4, 4]T , ∆b = [−1, 1]T .
"
#
10−10 1
24. Niech A =
, b = [1, 3]T . Rozwiązać układ Ax = b metodą elimi1
2
nacji Gaussa (bez wyboru elementu głównego). Obliczenia wykonać w arytmetyce
zmiennopozycyjnej dziesiętnej 9-cyfrowej. Obliczyć czynnik wzrostu i wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązywania układu równań liniowych. Czynnik wzrostu jest
zdefiniowany tak:
(k)
maxi,j,k |aij |
,
ρ=
maxij |aij |
(k)
gdzie Ak = [aij ] są macierzami otrzymywanymi w kolejnych krokach eliminacji,
A1 = A.
4
25. (Higham) Wyznaczyć rozkład LU macierzy
"
A=
#
ε 1
1 1
dla 0 < ε << 1
oraz jej wskaźnik uwarunkowania. Niech arytmetyka f l jest taka, że f l(1−ε−1 ) = ε−1 .
Ocenić wyznaczony w f l rozkład L̂Û , zakładając, że ε−1 jest obliczane dokładnie.
26. Rozwiązać układ
0.003x1 + 0.217x2 = 0.437,
0.277x2 + 0.138x2 = 0.553
w zmniennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej trzy cyfrowej za pomocą eliminacji
Gaussa bez wyboru elementu głównego. Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania.
Powtórzyć obliczenia dla zmodyfikowanego układu - pomnożyć pierwsze równanie
przez 100 i porównać wyniki z wynikami otrzymanymi poprzednio.
27. (Kincaid, Cheney) Niech


0 1 2

A =  2 −1 0 
.
0 2 1
Za pomocą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego wyznaczyć
rozkład P A = LU oraz obliczyć det A, gdzie P jest odpowiednią macierzą permutacji.
28. (Kincaid, Cheney) Rozważyć układ równań Ax = b dla b = [3, 3 + δ]T i
"
A=
1
2
1+δ 2
#
.
(a) Porównać rozwiązanie dokładne tego układu z rozwiązaniem przybliżonym x̃ =
[3, 0]T , obliczyć ||x − x̃||∞ .
(b) wyznaczyć cond∞ (A) (co będzie, gdy δ będzie dążyć do zera?),
(c) wykonać jeden krok iteracyjnego poprawiania rozwiązania.
29. (Bai) Dana jest macierz nieosobliwa A. Jak efektywnie, stosując eliminację Gaussa
bez wyboru elementu głównego,
(a) obliczyć α = cT A−1 b, gdzie b i c są wektorami kolumnowymi,
(b) rozwiązać równanie macierzowe AX = B,
(c) rozwiązać układ Ak x = b, gdzie k jest liczbą naturalną?
30. Niech A będzie macierzą nieosobliwą i niech B = A + uv T , gdzie u i v są wektorami
kolumnowymi.
5
(a) Niech A będzie macierzą nieosobliwą i niech u, v ∈ Rn . Kiedy macierz B =
A + uv T jest też nieosobliwa? Wskazówka. Zapisać macierz B w postaci
B = A(I + A−1 uv T ).
Jakie wartości własne ma macierz I + xy T , gdzie x, y ∈ Rn×n ?
(b) Udowodnić wzór Shermana-Morrisona
B −1 = A−1 − (A−1 uv T A−1 )/(1 + v T A−1 u).
Wskazówka. Zauważyć, że
uv T (A−1 uv T A−1 ) = (v T A−1 u)uv T A−1 .
31. Za pomocą obliczeń wykonanych na komputerze spróbować znaleźć dane, dla których
rozwiązanie układu dwóch równań liniowych Ax = b, obliczone za pomocą wzorów
Cramera
det = a11 a22 − a12 a21 ,
x1 = (a22 b1 − a12 b2 )/det,
x2 = (−a21 b1 + a11 b2 )/det
jest mniej dokładne niż za pomocą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu
głównego.
32. (Kahan, Higham) Przeprowadzić eksperymenty numeryczne rozwiązując układ Ax =
b dla


2 −1 1


A =  −1 ε ε  ,
1
ε ε
i b = [2(1 + ε), −ε, ε]T . Obliczenia powtórzyć dla innych prawych stron.
Krystyna Ziętak
6