Granica funkcji jednej zmiennej w punkcie. Granice właściwe i

Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 4)
Granica funkcji jednej zmiennej w punkcie. Granice właściwe i niewłaściwe funkcji. Granice
funkcji na krańcach przedziału określoności. Techniki obliczania granic funkcji.
Definicja 1. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Punktem skupienia tego
zbioru nazywamy liczbę x0 , która jest granicą pewnego ciągu o wyrazach ze zbioru A różnych od
x0 .
Definicja 2. Niech A ⊆ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A i f : A → R.
(Def. Heinego) Mówimy, że liczba g ∈ R jest granicą (właściwą) funkcji f w punkcie x0 , jeśli
dla dowolnego ciągu {xn }n∈N o wyrazach ze zbioru A − {x0 } zbieżnego do x0 ciąg {f (xn )}n∈N
odpowiadających mu wartości funkcji f jest zbieżny do g. Symbolicznie
def
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀{xn }⊂A−{x0 } lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = g
x→x0
n→∞
n→∞
(Def. Cauchy’ego) Mówimy, że liczba g ∈ R jest granicą (właściwą) funkcji f w punkcie x0 , jeśli
dla dowolnego ε > 0 istnieje δ, że dla dowolnego x ∈ A − {x0 } spełniającego warunek |x − x0 | < δ
zachodzi nierówność |f (x) − g| < ε.
def
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − g| < ε) .
x→x0
Definicja 3. Niech A ⊆ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A i f : A → R.
(Def. Heinego) Mówimy, że liczba g ∈ R jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f w
punkcie x0 , jeśli dla dowolnego ciągu {xn }n∈N o wyrazach ze zbioru A mniejszych (większych) od
x0 , zbieżnego do x0 , ciąg {f (xn )}n∈N odpowiadających mu wartości funkcji f jest zbieżny do g.
(Def. Cauchy’ego) Mówimy, że liczba g ∈ R jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji
f w punkcie x0 , jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ, że dla dowolnego x ∈ A, x < x0 , (x > x0 )
spełniającego warunek |x − x0 | < δ zachodzi nierówność |f (x) − g| < ε.
Twierdzenie 1. Niech A ⊆ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A i f : A → R. Wówczas
f (x) ma granicę w punkcie x0 , jeśli ma granicę lewostronną, ma granicę prawostronną i są one
równe.
Definicja 4. Niech A ⊆ R, niech x0 będzie punktem skupienia zbioru A i f : A → R.
(Def. Heinego) Mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą +∞ (−∞) w punkcie x0 , jeśli
dla dowolnego ciągu {xn }n∈N o wyrazach ze zbioru A − {x0 } zbieżnego do x0 ciąg {f (xn )}n∈N
odpowiadających mu wartości funkcji f jest rozbieżny do +∞ (−∞). Symbolicznie
def
lim f (x) = ±∞ ⇐⇒ ∀{xn }⊂A−{x0 } lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = ±∞
x→x0
n→∞
n→∞
(Def. Cauchy’ego) Mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą +∞ (−∞) w punkcie x0 , jeśli
dla dowolnego M > 0 (m < 0) istnieje δ, że dla dowolnego x ∈ A − {x0 } spełniającego warunek
|x − x0 | < δ zachodzi nierówność f (x) > M (f (x) < m).
def
lim f (x) = ∞ ⇐⇒ ∀M >0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M ) .
x→x0
def
lim f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀m<0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ f (x) < m) .
x→x0
1
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 4)
Definicja 5. (Def. Heinego) Mówimy, że funkcja f ma granicę równą g przy x dążącym do +∞
(−∞), jeśli dla dowolnego ciągu {xn }n∈N o wyrazach ze zbioru A rozbieżnego do +∞ (−∞), ciąg
{f (xn )}n∈N odpowiadających mu wartości funkcji f jest zbieżny do g. Symbolicznie
def
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀{xn }⊂A lim xn = +∞ ⇒ lim f (xn ) = g
n→∞
x→+∞
n→∞
Analogicznie dla −∞.
(Def. Cauchy’ego) Mówimy, że funkcja f ma granicę równą g przy x dążącym do +∞ (−∞),
jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ, że dla dowolnego x ∈ A spełniającego warunek x > δ (x < δ)
zachodzi nierówność |f (x) − g| < ε (f (x) < 0).
def
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A) (x > δ ⇒ |f (x) − g| < ε) .
x→+∞
def
lim f (x) = g ⇐⇒ ∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A) (x < δ ⇒ |f (x) − g| < ε) .
x→−∞
Twierdzenie 2. Niech f1 , f2 : A → R, x0 niech będzie punktem skupienia zbioru A, lim f1 (x) =
x→x0
g1 , lim f2 (x) = g2 , gdzie g1 , g2 ∈ R. Wówczas
x→x0
(1) lim |f1 (x)| = |g1 |;
(2) lim (f1 ± f2 )(x) = g1 + g2 ;
(3) lim (f1 · f2 )(x) = g1 · g2 ;
(4) lim
x→x0
x→x0
(5) lim f1 (x)f2 (x) =
x→x0
g1g2 .
x→x0
f1
(x)
x→x0 f2
=
g1
g2 ,
o ile g2 6= 0 i f2 (x) 6= 0 dla x ∈ A;
Definicja 6. (Def. Heinego) Niech A ⊆ R, f : A → R i x0 ∈ A. Mówimy, że funkcja f (x) jest
ciągła w punkcie x0 , jeśli dla dowolnego ciągu {xn }n∈N argumentów funkcji f zbieżnego do x0 , ciąg
odpowiadających mu wartości funkcji jest zbieżny do f (x0 ).
(Def. Cauchy’ego) Niech A ⊆ R, f : A → R i x0 ∈ A. Mówimy, że funkcja f (x) jest ciągła w
punkcie x0 , jeśli
∀ε>0 ∃δ ∀(x∈A−{x0 }) (|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε) .
Jeśli funkcja f (x) jest ciągła w każdym punkcie zbioru B ⊆ A, to mówimy, że f (x) jest ciągła w
zbiorze B. Mówimy, że f (x) jest ciągła, jeśli jest ciągła w zbiorze A, tzn. w każdym punkcie swojej
dziedziny.
Twierdzenie 3. Jeżeli A ⊆ R, x0 ∈ A oraz f1 , f2 : A → R są ciągłe w x0 . Wówczas funkcje |f1 |,
f1 ± f2 , f1 · f2 są ciągłe w punkcie x0 . Ponadto, jeśli f2 (x0 ) 6= 0, to w punkcie x0 ciągła jest również
funkcja ff21 .
Przykład 1. a) Niech p(x) = am xm +am−1xm−1 +· · ·+a1 x+a0 i q(x) = bn xn +bn−1xn−1 +· · ·+b1 x+b0
będą wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, przy czym am 6= 0 6= bn . Wówczas
p(x)
x→∞ q(x)
lim
=
=
am xm +am−1 xm−1 +···+a1 x+a0
n
n−1 +···+b x+b
1
0
x→∞ bn x +bn−1 x
lim



0,
jeśli m < n;
am
jeśli m = n; ;
an ,


(sgn am )∞, jeśli m > n.
an
2
= lim
x→∞
am−1
a1
a0
+···+ m−1
+ xm
)
x
x
bn−1
b1
b0
n
x (bn + x +···+ n−1 + xn )
x
xm (am +
=
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 4)
b) lim xα =
x→∞



+∞ dla α > 0,
1 dla α = 0,


0 dla α < 0.
Niech α będzie ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią i niech {xn }n∈N będzie dowolnym ciągiem
argumentów rozbieżnym do +∞. Jeśli M jest dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą i N taką liczbą
1
naturalną, że dla n > N jest xn > M α , to
1
xαn > (M α )α > M,
tzn. ciąg {yn }n∈N określony wzorem yn = xαn jest rozbieżny do nieskończoności. Zatem lim xα =
n→∞
∞. Jeżeli α = 1, to oczywiście funkcja y = xα jest tożsamościowo równa 1, więc granica w
nieskończoności jest też równa 1.
x
c) lim ax xα = 0 dla a ∈ (0, 1) i α > 0; lim xaα = ∞ dla a > 1 i α > 0;
d)
x→∞
lim sin x
x→0 x
x→∞
= 1;
x
lim arcsin
x
x→0
= 1;
1
e) lim (1 + x1 )x = e; lim (1 + x) x = e;
x→∞
x→0
1
f) lim (1 + x) x = 1;
x→∞
g) lim
ax −1
x
h) lim
loga (1+x)
x
i) lim
1+
x→0
x→0
x→±∞
= ln a, dla a > 0; lim
x→0
=
a x
x
(1+x)a −1
x
x→0
j) lim
1
ln a
ex −1
x
= 1;
dla a > 0, a 6= 1
= ea , a ∈ R,
= a.
Opracował: Czesław Bagiński
3