rachunek wektorowy i geometria analityczna

Zadania z geometrii analitycznej i rachunku wektorowego.
1. Znaleźć miare, kata
jaki tworza, wektory jednostkowe ~a i ~b, jeśli wektory
,
~
p~ = 2~a + b oraz ~q = −4~a + 5~b sa, prostopadÃle.
2. Krótsza, podstawa, trapezu jest odcinek AB, gdzie A(4, 0), B(6, 2).
Znaleźć wspóÃlrzedne
pozostaÃlych wierzchoÃlków trapezu, jeżeli wiadomo,
,
że dÃluższa podstawa ma dÃlugość |CD| = 2|AB| i punkt P (1, 2) jest
środkiem odcinka CD.
3. Dany jest punkt P (3, 2) i prosta l : 2x − 3y + 8 = 0. Napisać:
a) równanie prostej k przechodzacej
przez punkt P i równolegÃlej do
,
prostej l,
przez punkt P i prostopadÃlej do
b) równanie prostej m przechodzacej
,
prostej l.
4. Znaleźć punkt B symetryczny do punktu A(−1, −3) wzgledem
prostej
,
l : x + 2y − 2 = 0.
o promieniu r = 50 wiedzac,
że odcina on na
5. Napisać równanie okregu
,
,
osi OX cieciw
e, o dÃlugości 28 i przechodzi przez punkt A(0, 8).
,
6. Napisać równanie prostej l, do której należy punkt A(1, 1) i która
przecina elipse, 4x2 +9y 2 −36 = 0 w punktach symetrycznych wzgledem
,
punktu A.
7. Znaleźć równanie stycznej m do paraboli y 2 = 4x równolegÃlej do prostej
l : x − 2y + 1 = 0.
8. Wyznaczyć wspóÃlrzedne,
dÃlugość oraz cosinusy kierunkowe wektora
,
w
~ = ~a × ~b + [(~c × ~b) ◦ 2~a]~b,
jeśli ~a = [1, 0, −1], ~b = [0, −2, 1], ~c = [1, 1, −1].
9. Dane sa, wierzchoÃlki trójkata
A(−3, 1, −1), B(6, −2, −5), C(1, −2, −1).
,
Obliczyć dÃlugość wysokości opuszczonej z wierzchoÃlka B na bok AC.
10. Dane sa, cztery punkty A(3, 1, 1), B(1, 4, 1), C(1, 1, 7), D(3, 4, 9). Sprawdzić
−→ −→ −−→
czy wektory AB, AC, AD sa, liniowo niezależne. Jeśli tak, to obliczyć
objetość
czworościanu o wierzchoÃlkach w punktach A, B, C, D oraz wysokość
,
poprowadzona, z wierzchoÃlka D na pÃlaszczyzne, wyznaczona, przez punkty
A, B, C (napisać równanie ogólne tej pÃlaszczyzny).
11. Punkty A(2, 1, −1), B(4, 2, 1), C(2, 4, 3) sa, wierzchoÃlkami równolegÃloboku.
−−→
Znaleźć wektor CK tego rónolegÃloboku opuszczony na bok AB.
12. Znaleźć rzut wektora ~a = 5m
~ − 2~n na oś o kierunku wektora ~b =
−2m,
~ jeśli wiadomo że m,
~ ~n sa, wektorami jednostkowymi wzajemnie
prostopadÃlymi.
13. Na wektorach ~a = 3~p + 4~q i ~b = p~ − 2~q zbudowano trójkat.
Obliczyć
,
dÃlugość jednej z wysokości wiedzac,
~, ~q sa, wektorami jednostkowymi
, że p
wzajemnie prostopadÃlymi.
14. Dany jest punkt P (1, 0, −2) i prosta l o równaniu krawedziowym
,
½
x + y − 2z = 0
l:
x − y + 3 = 0.
Znaleźć P 0 rzut punktu P na prosta, l.
15. Dany jest punkt P (6, 2, 9) i prosta l o równaniu l : x+7
= y+3
= z+6
.
5
2
4
0
Znaleźć punkt P symetryczny do punktu P wzgledem
prostej l.
,

 x = 9 + 4t
x
z−2
y = −2 − 3t dla t ∈ R.
16. Dane sa, proste l1 : −2
= y+7
=
oraz
l
:
2
9
2

z=t
a) Zbadać wzajemne poÃlożenie prostych l1 , l2 .
b) Obliczyć odlegÃlość miedzy
tymi prostymi.
,
½
17. Dane sa, proste l1 :

 x = −6t
x+y+z =0
y = −8
oraz l2 :
, t ∈ R.
2x − y + 2z = 0

z = 2 + 6t
a) Wykazać, że proste l1 , l2 sa, równolegÃle.
b) Wyznaczyć równanie pÃlaszczyzny w której one leża.,
c) Obliczyć odlegÃlość miedzy
tymi prostymi.
,
18. Dany jest trójkat
, o wierzchoÃlkach A(4, 5, 7), B(5, 4, 3), C(6, −6, 5) oraz
pÃlaszczyzna π : x − 3y + z + 4 = 0.
a) Wyznaczyć równanie pÃlaszczyzny α w której zawarty jest trójkat.
,
b) Wyznaczyć pole rzutu danego trójkata
na pÃlaszczyzne, π.
,
c) Obliczyć cosinus kata
miedzy
pÃlaszczyznami α i π.
,
,
19. Zbadać wzajemne poÃlożenie pÃ
laszczyzn α i β, gdzie

 x=s+t
y = 1 − s + 2t
α : 2x + y + 4z − 12 = 0, β :

z = 3 + 3s − t.
20. Przez
½ punkt wspólny pÃlaszczyzny π : x + y + z − 1 = 0 i prostej
y−1=0
l:
poprowadzić prosta, m leżac
, a, w pÃlaszczyźnie π i prostopadÃla,
z+1=0
do danej prostej.
½
x+z =2
21. Obliczyć sinus kata
miedzy
prosta, l :
a pÃlaszczyzna,
,
,
y + 2z = 1
π : x − 2y + 3z − 1 = 0.