Kolokwium II z algebry 9 czerwca 2014 Imię i Nazwisko - E-SGH

Kolokwium II z algebry
9 czerwca 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
• PROSZĘ WYBRAĆ 5 ZADAŃ.
1. Niech f : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem


x + 2x2 + 2x3 
 1


.
f (x) = 
− x2 + 3x3 


x1 + x2 + 5x3
a) Wyznaczyć wartości własne przekształcenia f oraz ich krotności algebraiczne i geometryczne. b) Wyznaczyć wektor własny odpowiadający najmniejszej wartości własnej.
c) Czy istnieje taki niezerowy wektor x ∈ R3 , że f (x) = 3x? Odpowiedź uzasadnić.
2. Dany jest funkcjonał dwuliniowy i symetryczny g : R3 × R3 → R,
g(x, y) = 2x1 y1 + x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + 3x1 y3 + 3x3 y1 .
a) Wyznaczyć macierz g w bazie kanonicznej przestrzeni R3 .
b) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną i podać tę macierz.
3. Zbadać określoność formy f : R2 → R, f (x) = mx21 + (2 − m)x22 + 2mx1 x2 w zależności
od wartości parametru m ∈ R.
4. Dane są takie wektory x, y, że kxk = 4, kyk = 1 oraz kąt między nimi ma miarę 13 π.
Obliczyć cosinus kąta między wektorami a, b , jeśli a = 2x − y, b = x + y.
5. Wyznaczyć rzut wektora x na podprzestrzeń W oraz odległość x od W , jeśli
x = [0 1 1 1]T , W = {x ∈ R4 : x1 − x2 + x3 + x4 = 0 ∧ x1 + x4 = 0} .
6. Dany jest wielościenny zbiór wypukły W określony układem nierówności





x1 + 2x2 + 3x3 ¬ 6,
.
x1 + x2 ¬ 4,



 x ­ 0, x ­ 0, x ­ 0.
1
2
3
a) Podać ilustrację graficzną zbioru W . b) Wyznaczyć równanie odcinka przechodzącego
przez wierzchołki zbioru W , które nie leżą na osiach.
Kolokwium II z algebry
9 czerwca 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
• PROSZĘ WYBRAĆ 5 ZADAŃ.
1. Niech f : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem




f (x) = 
x1
+ x3
2x1 − x2 + x3
2x1 + 3x2 + 5x3



.

a) Wyznaczyć wartości własne przekształcenia f oraz ich krotności algebraiczne i geometryczne. b) Wyznaczyć wektor własny odpowiadający najmniejszej wartości własnej.
c) Czy istnieje taki niezerowy wektor x ∈ R3 , że f (x) = −2x? Odpowiedź uzasadnić.
2. Dany jest funkcjonał dwuliniowy i symetryczny g : R3 × R3 → R,
g(x, y) = 3x1 y1 + x2 y2 + 2x3 y3 − x1 y2 − x2 y1 + 2x1 y3 + 2x3 y1 .
a) Wyznaczyć macierz g w bazie kanonicznej przestrzeni R3 .
b) Wyznaczyć bazę R3 , w której g ma macierz diagonalną i podać tę macierz.
3. Zbadać określoność formy f : R2 → R, f (x) = mx21 + (4 − m)x22 + 2mx1 x2 w zależności
od wartości parametru m ∈ R.
√
4. Dane są takie wektory x, y, że kxk = 2 2, kyk = 1 oraz kąt między nimi ma miarę
1
π. Obliczyć cosinus kąta między wektorami a, b , jeśli a = x − y, b = x + 3y.
4
5. Wyznaczyć rzut wektora x na podprzestrzeń W oraz odległość x od W , jeśli
x = [1 1 1 0]T , W = {x ∈ R4 : x1 + x2 + x3 − x4 = 0 ∧ x1 + x3 = 0} .
6. Dany jest wielościenny zbiór wypukły W określony układem nierówności





3x1 + 2x2 + x3 ¬ 6,
.
x2 + x3 ¬ 4,



 x ­ 0, x ­ 0, x ­ 0.
1
2
3
a) Podać ilustrację graficzną zbioru W . b) Wyznaczyć równanie odcinka przechodzącego
przez wierzchołki zbioru W , które nie leżą na osiach.