Zestaw zadań z Równań różniczkowych I

dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zestaw zadań z Równań różniczkowych I
Metoda rozdzielania zmiennych
Zadanie 1. Rozwiąż równanie
2
2
1) 6xdx
p − 6ydy = 3x
√ ydy − 2xy dx
3) x 4 + y 2 dx + y 1 + x2 dy = 0
2) y(4 + ex )dy − ex dx = 0
2
2
4) 6xdx
q − ydy = yx dy − 3xy dx
1−x2
+1=0
1−y 2
cos y+sin y
0
8) y = (sin x+cos x)2
dy
dy
10) y − x dx
= 1 + x2 dx
.
5) (1 + ex )yy 0 = ex
6) y 0 y
7) xy 0 = y ln y
9) y(1 + ln y) + xy 0 = 0
Zadanie 2. Znajdź rozwiązanie ogólne danego równania różniczkowego, a następnie wyznacz
krzywą całkową przechodzącą przez wskazany punkt
2
2
2
, (1,1)
1) y 0 = xy 2+xy
y−x2
dy
x
3) (1 + e )y dx = ex , M (1, 1)
5) (xy 2 + x)dx + (x2 y − y)dy = 0,
√
7) y 0 = 2 y ln x, (e, 1)
1+y
2) y 0 = 1+x
(0,1)
2,
√
dy
4) 2 y = dx , M (0, 1)
6) y 0 sin x = y ln y, y( π2 ) = 1
8) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0,
y(0) = 1
( π4 , π4 )
Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych
Zadanie 3.. Rozwiąż równanie
1) y 0 = x + y + 3
dy
3) dx
= sin(x − y)
5) dy = (8x + 2y + 1)2 dx
7) y 0 = (x − y)2 + 1
2) y 0
4) y 0
6) y 0
8) y 0
= 3x − 2y + 1
= (x + y)2
1
= x+y
1
= 2x+y
+ 2x + y − 2.
Zadanie 4. Rozwiąż równanie jednorodne
√
2) ydx + (2 xy − x)dy = 0
dy
dx
4) 2x2 −2xy+2y
= y2 −4xy
p 2
6) xy 0 = x2 + y 2 + y
8) xy 0 = y cos ln xy
10) xy 0 − y = (x + y) ln x+y
x
12) 2x3 + x2 y + y 3 + (2y 3 + xy 2 + x3 )y 0 = 0
2
14) x3 (y 0 − x) = yp
16) 2xy 0 + y = y 2 x − x2 y 2 .
1) y 0 = − x+y
x
dy
dx
3) y+x
= y−x
2
2
5) y 0 = x 3x+3xy−y
2 −2xy
p
7) xy 0 = 3 2x2 + y 2 + y
y
9) xy 0 = y − xe x
3
11) 3xy 2 + 2x
+ y3y0 = 0
p
13) 32 xyy 0 = x6 − y 4 + y 2
15) 2xdy + (x2 y 4 + 1)ydx = 0
1
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 5.. Rozwiąż równanie jednorodne
x+8y+9
1) y 0 = 10x−y−9
3) y 0 = 1−3x−3y
1+x+y
5) (x − 2)dx + (y − 2x + 1)dy = 0
dy
7) 3x + 3y − 1 + (x + y + 1) dx
=0
9) (x + y + 1)dx + (2y + 2x − 1)dy = 0
2
y+2
0
11) y = 2 x+y−1
2) y 0 = 3x−y−4
3x+3
4) (2x − y + 4)dy + (x − 2y + 5)dx = 0
6) (x + 2y + 1)dx − (2x + 4y + 3)dy = 0
5y+5
8) y 0 = 4x+3y−1
dy
10) x − 3y + 2 + (3x − y − 2) dx
=0
12) (y 0 + 1) ln y+x
=
x+3
y+x
x+3
Równania liniowe niejednorodne pierwszego rzędu
Zadanie 6. Rozwiąż równanie
1) y 0 − y = 2ex
3) y 0 − y = 5 cos 2x
5) y 0 + 3y = cos 3x − (6x + 1) sin 3x + e−3x
7) (x2 + 4)y 0 + 3xy = x
dy
9) x ln x dx
+ y = 2 ln x
11) (2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy
13) (2ey − x)y 0 = 1
2) y 0 + y = 2x2 − 2x + 1
4) y 0 − y = (3x2 + 8x + 3e2x )
6) y 0 + y tan x = cos1 x
8) y 0 + y cos x = sin x cos x
10) (ln y + x)y 0 = 1
12) (x + y 2 )dy = ydx
14) (1 − 2xy)y 0 = y(y − 1).
Zadanie 7. Rozwiąż podane zagadnienia Cauchy’ego
1) y 0 = 2y + et − t, y(0) = 41
3) y 0 = − xy + x, y(−1) = 1
2
y = ex (x + 1)2 , y(0) = 1
5) y 0 − x+1
2
7) y 0 + 2xy = xe−x sin x, y(0) = 1
xy
x
9) y 0 + 2(1−x
y(0) = 23
2) = 2 ,
2) xy 0 + 2y = cos x, y( π2 ) = 0
4) y 0 + 3y
= x23 , y(1) = 1
x
0
6) y + 2xy = −2x3 , y(1) = 1e
8) y 0 + y tan x = cos2 x, y( π4 ) =
10) y 0 + x2 y = x3 , y(1) = − 65 .
Równania Bernoullie’go
Zadanie 8. Rozwiąż równanie
1) y 0 + y = y 2
√
3) y 0 − 2y = 2 y
5) dy = (y 2 ex − y)dx
7) (1 − x2 )y 0 − xy = axy 2
3
y
+ 2√y1−x2
9) y 0 − 2x
11) (2x2 y ln y − x)y 0 = y
2) 3y 0 − y = yx2
4) x3 y 0 − 2xy = y 3
6) xy 0 + y = y 2 ln x
3
y
8) y 0 + x+1
= − (x+1)
y3
2
√
10) xy 0 − 2x2 y = 4y
12) (x − 2yx − y 2 )dy + y 2 dx = 0.
2
1
2
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 9. Rozwiąż podane zagadnienia Cauchy’ego
2
1) y 0 − y = xy 2 , y(0) = 0
x
3) y 0 − 2(xxy
y(0) = 1
2 −1) = 2y ,
0
2
5) xy + y = 2y ln x, y(1) = 21
7) xy 2 y 0 + y 3 = 1, y(1) = 2
9) y 0 − y cos x = y 2 cos x, y(0) = 1
2) y 0 − 9x2 y = (x5 + x2 )y 3 , y(0) = 0
4) y 0 + xy = (1 + x)e−x y 2 , y(0) = 1
6) xy 0 − y 2 ln x + y = 0, y(e) = 1
8) 2y 0 + y cos x = cosy x (1 + sin x), y(0) = 1
√
10) 8xy 0 − 12y = −(5x2 + 3)y 3 , y(1) = 2.
Równania różniczkowe zupełne. Czynnik całkujący
Zadanie 10. Sprawdź, czy podane równania są zupełne i rozwiąż je
1) y1 sin xy − xy2 cos xy + 1 dx + x1 cos xy − yx2 sin xy + y12 dy = 0
2
2) [cos(x
+ y 2 ) + 3y]dx + [2y
cos(x + y ) + 3x]dy = 0 2
dx + 3y 2 + y12 + 2x2 y + x2y2 dy = 0
+ 2xy 2 − 2y
x3
2
2
y2
x
1
4) x1 − (x−y)
dx + (x−y)
dy = 0
5) 1 + xy 2 dx − 2 xy dy = 0
2
2 − y
x
x
6) 1 + e y dx + e y 1 − xy dy = 0
7) sin(x + y)dx + x cos(x + y)(dx + dy) = 0
2
8) (6xy + x2 + 3)y 0 + 3y 2 + 2xy + 2x = 0
9) (1 + y 2 sin 2x)dx − 2y
√cos xdy = 0
2
2
10) (x + y + x)dx + ydy = 0
11) xdx = (xdy + ydx) 1 + x2
2
0
12) xy (xy + y) = 1
13) y 2 dx − (xy + x3 )dy = 0
14) (x2 + 3 ln y)ydx = −3xdy
15) y(x + y)dx + (xy + 1)dy = 0
16) (x2 − y 2 + y)dx + x(2y − 1)dy = 0
17) (ln y + 2x − 1)y 0 = 2y
18) (x3 y + xy 3 + xy)dx + 2x2 y 2 dy = 0
3)
3x2 +
1
x2
Równania różniczkowe rzedu pierwszego nierozwiązywalne względem
pochodnych. Metoda wprowadzania parametru
Zadanie 11. Rozwiąż podane równania
1) xy 02 − 2yy 0 + 4x = 0
3) y = y 02 + 2y 03
5) x(y 02 − 1) = 2y 0
02
7) y = ln(1
p+ y )
9) x = y 0 y 02 + 1
p
11) y = xy 0 + 1 + y 02
13) y = xy 0 + y 0 − y 02
15) y = (1 + y 0 )x + y 02
2) xy 02 − 2xy 0 + 1 = 0
4) y 02 − 2xy 0 = x2 − 4y
6) y 0 (x − ln y 0 ) = 1
8) 2xy 0 − y = y 0 ln yy 0
10) y = xy 0 + 2y1 0
√
12) y + xy 0 = 4 y 0
14) 2xy 0 − y = ln y 0
16) y = xy 02 + y 03 .
Zadanie 12.
Znajdź równanie różniczkowe rodziny krzywych:
1) y = C cos x
3) y 2 = 2ax − 2x2 , a 6= 0
2)
3
x2
a2
+
y2
b2
=1
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 13.
Wyznaczyć równanie rodziny linii ortogonalnych do rodziny:
1) parabol y = ax2 + b
2) krzywych wykładniczych y = aex
2
2
2
3) 2x + y = 2a
4) xy = c.
Równania różniczkowe wyższych rzędów dające się sprowadzić do
równań rzędów niższych
Zadanie 14. Rozwiąż podane równania metodą obniżania rzędu
1) y 000 x ln x = y 00
0
3) y 00 = yx + x sin x
5) tan x · y 000 = 2y 00
7) y 00 = 2yy 0
9) y 00 + y 02 = 2e−y
11) (y 0 + 2y)y 00 = y 02
13) y 00 (1 + yy 0 ) = y 0 (1 + y 02 )
15) xyy 00 − xy 02 = yy 0
17) xyy 00 = y 0 (y + y 0 )
2
0
19) xy 2 + y 02 = 3xy 00 + 2yy
x
21) yy 0 + 2x2 y 00 = xy 02
2) x4 y 00 + x3 y 0 = 1
4) xy 00 − y 0 = ex x2
6) − xy 000 + 2y 00 = x22
8) yy 00 + 1 = y 02
10) y 002 = 2y 0 y 000 + 1 = 0
00
12) 2yp
(4 − y) = 1 + y 02
14) y 00 y 2 + y 02 − y 0 y 00 − yy 0 = 0
16) (x2 + 1)(y 02 − yy 00 ) = xyy 0
18) x2 (y 02 − 2yy 00 ) = y 2
20) x3 y 00 = (y − xy 0 )(y − xy 0 − x)
22) x(y 00 + y 02 ) = y 02 + y 0 .
Zadanie 15. Rozwiąż równania liniowe o stałych współczynnikach metodą przewidywań
1) y 00 + 4y 0 + 3y = 0
3) y V + 8y 000 + 16y 0 = 0
5) y V − 6y IV + 9y 000 = 0
7) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0
9) y 00 − 4y 0 + 4y = 4x
11) y 00 − 4y 0 + 4y = e2x
13) y 00 − 3y 0 + 2y = sin x
15) y 00 + 9y = 2 cos 3x + 5 sin 5x
17) y 000 − 2y 00 + y 0 = 4(sin x + cos x)
19) y 00 − 2y 0 = (x + 1)e2x
21) y 000 − 2y 00 + 4y 0 − 8y = e2x sin 2x + 2x2
23) y 000 − 4y 00 + 3y 0 = x2 + xe2x
2) y 00 + 2y 0 + 10y = 0
4) y V I + 64y = 0
6) y V − 10y 000 + 9y 0 = 0
8) y 00 − 2y 0 − 3y = e4x
10) y 00 − 3y 0 + 2y = x2
12) y 00 − 8y 0 + 16y = xe2x
14) y 00 + 4y = 2 cos x + sin x
16) y 00 + 4y = x sin 2x
18) y 00 − 5y 0 = 3x2 + sin 5x
20) y 000 − y = x4
22) y 00 + 3y 0 − 4y = e−4x + xe−x
24) y 000 + y 0 = sin x + x cos x.
Zadanie 16. Rozwiąż podane równania Eulera
1) x3 + xy 0 − y = 0
3) x3 y 000 − 3x2 y 00 + 6xy 0 − 6y = 0
5) x2 y 00 − xy 0 + y = 8x3
7) x2 y 00 − 3xy 0 + 5y = 3x2
9) (2x + 3)3 y 000 + 3(2x + 3)y 0 − 6y = 0
2) x2 y 000 − 2y 0 = 0
4) (x + 1)2 y 00 − 2(x + 1)y 0 + 2y = 0
6) x3 y 000 − 2xy = 6 ln x
8) (x − 2)2 y 00 − 3(x − 2)y 0 + 4y = x
10) x2 y 00 − xy 0 + y = x ln x
4
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 17. Rozwiąż podane równania niejednorodne metodą uzmienniania stałych
2
1) y 00 + y = tan x
x
3) y 00 − 2y 0 + y = ex
5) y 00 + 3y 0 + 2y = ex1+1
7) y 00 + 4y = cos12x
2) y 00 + y = x x+2
3
1
00
4) y + y = sin x
6) y 00 + y = cot x
8) y 00 − 2y 0 + y =
x2 +2x+2
x3
Zadanie 18. Rozwiąż podane równania z wykorzystanie m wzoru Liouville’a
1) xy 00 − (x + 1)y 0 + y = 0
x2 −3
2−2x
0
3) y 00 + 1+2x−x
2 y + 1+2x−x2 y = 0
3
00
0
5) (3x + x)y + 2y − 6xy = 4 − 12x2
7) (x + 1)xy 00 + (x + 2)y 0 − y = x + x1
2) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
4) y 00 − x+1
y 0 − 2x−2
y=0
x
x
1
x
0
00
6) y + 1−x y − 1−x y = x − 1
Zadanie 19. Znaleźć rozwiązanie ogólne podanych układów w postaci rzeczywisto-wartościowej
(
(
(
ẋ = 2x + y
ẋ + x − 8y = 0
ẋ = x − y
1)
2)
3)
ẏ = 3x + 4y
ẏ − x − y = 0
ẏ = y − 4x
(
ẋ = x − 3y
4)
ẏ = 3x + y
(
ẋ + x + 5y = 0
5)
ẏ − x − y = 0


ẋ = x + z − y
6) ẏ = x + y − z


ż = 2x − y


ẋ = x − 2y − z
7) ẏ = −x + y + z


ż = x − z


ẋ = 2x + y
8) ẏ = x + 3y − z


ż = −x + 2y + 3z


ẋ = 2x − y + 2z
9) ẏ = x + 2z


ż = −2x + y − z
(
ẋ = x − y + 8t
10)
ẏ = 5x − y
(
ẋ = 2x − y
11)
ẏ = −x + 2y − 5et sin t
(
ẋ = y + cos 2t − 2 sin 2t
12)
ẏ = −x + 2y + 2 sin 2t + 3 cos 2t
(
ẋ = −x − 5y
13)
ẏ = x + y + 4t
5
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 20. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe Cauchy’ego dla równań różniczkowych liniowych:
(...
(...
x(t) − 6ẍ(t) + 11ẋ(t) − 6x(t) = 1
x(t) + 6ẍ(t) + 11ẋ(t) + 6x(t) = 1 + t + t2
1)
2)
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
(...
x(t) + x(t) = 1
3)
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
(...
x(t) + x(t) = 12 t2 et
4)
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
( ..
x(t) + 5ẋ(t) + 4x(t) = 4t + 5
5)
x(0) = 2, ẋ(0) = 1,
( ..
x(t) − 6ẋ(t) + 9x(t) = 9t2 − 12t + 2
6)
x(0) = 1, ẋ(0) = 3,
( ..
x(t) − 5ẋ(t) + 6x(t) = (12t − 7)e−t
7)
x(0) = ẋ(0) = 0,
( ..
x(t) − ẋ(t) = t2
8)
x(0) = 0, ẋ(0) = 1,
(...
x(t) − ẍ(t) − 4ẋ(t) + 4x(t) = t2 − 8
9)
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
( ..
x(t) + ẋ(t) − 2x(t) = 1 − 2t − 2 sin t − 6 cos t
10)
x(0) = 2, ẋ(0) = 1,
( ..
x(t) − 4ẋ(t) + 8x(t) = et
11)
x(0) = 0, ẋ(0) = −1,
( ..
x(t) − x(t) = 12 et
12)
x(0) = ẋ(0) = 0,
(....
x (t) + 2ẍ(t) + x(t) = 0
13)
x(0) = ẋ(0) = ẍ(0) = 0,
( ..
x(t) + 6ẋ(t) + 9x(t) = 10 sin t
14)
x(0) = ẋ(0) = 0,
...
x(0) = 1,
Odpowiedzi do wybranych zadań
Zadanie 18.
1) y(x) = c1 ex + c2 (x + 1), c1 , c2 ∈ R
3) y(x) = c1 ex + c2 (x2 − 1), c1 , c2 ∈ R
5) y(x) = c1 (x2 + 1) + c2 x1 + 2x, c1 , c2 ∈ R
7) y(x) = c1 (x + 2) + cx2 − x4 + 12 (x + 2) ln x + 1,
Zadanie 20.
1) x(t) = − 61 + 12 et − 21 e2t + 61√e3t
1
3) x(t) = 1 − 13 e−t − 32 e 2 t cos 23 t
2) y(x) = c1 x + c2 x ln 1−x
+
2
, c1 , c2 ∈ R
x+1
4) y(x) = c1 e2x + c2 e−x (3x + 1), c1 , c2 ∈ R
6) y(x) = c1 ex + c2 x − x2 − 1, c1 , c2 ∈ R
c1 , c2 ∈ R.
2) x(t) =
35
54
− 49 t + 16 t2 − e−t + 12 e−2t −
4 −3t
e
27
√
√ 1
√
1 −t
4) x(t) = 41 (t2 − 3t + 23 )et − 24
e − 13 cos 23 t − 3 sin 23 t e 2 t
5) x(t) = t + e−t
6) x(t) = e3t + t2
2t
3t
−t
7) x(t) = e − e + te
8) x(t) = 3et − 13 t3 − t2 − 2t − 3
1
9) x(t) = 16
(5e−2t − 15e2t + 32et + 4t2 + 8t − 22) 10) x(t) = t + 2 cos t
11) x(t) = − 51 e2t cos 2t + 35 e2t sin 2t + 51 et
12) x(t) = − 18 et + 14 tet + 81 e−t
1
13) x(t) = 2 (sin t − t cos t)
14) x(t) = 35 + t e−3t + 45 sin t − 35 cos t.
6
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Uwaga: W każdym z poniższych zadań należy opisać wyprowadzenie odpowiednich równań
różniczkowych.
Zadanie 21.
Znajdź równanie krzywej leżącej w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, której styczne w dowolnym jej punkcie tworzą z osiami współrzędnych trójkąt o stałym polu wynoszącym 4.
Zadanie 22.
Ciało o temperaturze początkowej 100o C zostało w chwili t = 0 umieszczone w otoczeniu o temperaturze stałej równej 10o C i w ciągu 5 minut ostygło o 20o C. Przyjmując, że prędkość stygnięcia
ciała jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otoczenia, obliczyć po ilu minutach
ciało ostygnie o następne 20o C.
Zadanie 23.
W zbiorniku znajduje się 100 litrów roztworu zawierającego 10kg soli. Do zbiornika dopływa ciągle
woda z prędkością 5 l/min. Równocześnie odpływa roztwór z taką samą prędkością. Ile soli będzie
w naczyniu po 1 godzinie, jeżeli założymy jednakowe stężenie roztworu w każdej chwili?
Zadanie 24.
Fabryka papieru znajduje się obok rzeki, która jest jedynym wlotem do jeziora o całkowitej i stałej
objętości 109 m3 . Rzeka dostarcza do jeziora wodę z prędkością 1000m3 /sec i z taką samą prędkością
woda odpływa z jeziora. W czasie t0 = 0 fabryka zaczyna pompowanie zanieczyszczeń do rzeki z
szybkością 1m3 /sec. Przy założeniu, że stężenie zanieczyszczenia w jeziorze jest zawsze jednolite
znajdź całkowitą objętość zanieczyszczeń w jeziorze po 24 godzinach.
Jeśli fabryka przestanie zanieczyszczania rzeki po 24 godzinach, oblicz objętość zanieczyszczeń w
jeziorze po kolejnych 24 godzinach.
Zadanie 25.
Wartość firmy ’Krzak’ rośnie w tempie proporcjonalnym do pierwiastka kwadratowego z jej bieżącej
wartości. Jeśli firma była warta 1 milion złotych dwa lat temu i jest warta 3 miliony złotych dziś
określić, kiedy będzie ona warta 5 milionów złotych. Określ także, kiedy była ona warta tylko
100tys. złotych.
Zadanie 26.
Pani Pochodna została posądzona o zabójstwo swojej kuzynki Pani Granicy. W trakcie prowadzonych czynności wyjaśniających okazało się, że Pani Granica została znaleziona martwa o godz.
16.00. O godzinie 16.45 przybyły na miejsce zbrodni koroner zbadał temperaturę dentaki i wynosiła
ona 32, 6o C, a temperatuta otoczenia 20, 6o C. Czynność mierzenia temperatury została powtórzona
o godzinie i wówczas wyszło 30, 6o C. Okazało się również, że Pani Pochodna do godziny 14.45 była
w szkole, co zarejestrowały szkolne kamery. Ponadto szkołę od miejsca zbrodni dzieli co najmniej
30 minut drogi. Czy, przy założeniu, że Pani Granica na nic nie chorowała (jej temperatura w
chwili śmierci wynosiła 36, 6o C), alibi Pani Pochodnej jest wystarczające?
7
dr Krzysztof Żyjewski
Równania różniczkowe I, 2014/2015;
21 lutego 2015
Zadanie 27.
Dzisiaj jest niedziela 29 marca 2015 r. Plotka treści ”czwartek 2 kwietnia 2015 roku będzie dniem
rektorskim” rozprzestrzenia się w populacji studentów UWM liczącej 30tyś osób z prędkością proporcjonalną do iloczynu liczby osób, które już słyszały plotkę oraz liczby osób, które jej nie słyszały.
Załóżmy, że plotkę rozprzestrzeniają pewni studenci z RRI (13 osób) i po jednym dniu wie o niej 70
osób. Ile osób (po zaokrągleniu do jednej) przyjdzie na zajęcia dnia 17 kwietnia 2014. Zakładając,
że na zajęcia przyjdą te osoby, które nie słyszały plotki.
Zadanie 28.
Felix Baumgartner postanowił skoczyć z ’dachu’ najwyższego budynku świata (Burdż Chalifa w
Dubaju) o wysokości 828m. Zakładając, że jego waga wynosi 85kg oblicz z jaką prędkością Pan
Felix uderzy o podłoże o ile opór powietrza proporcjonalny jest do kwadratu prędkości spadającego
obiektu. Jeżeli wysokość była by dowolnie duża to jaka była by prędkość graniczna Pana Felixa?
Podpowiedź. Skorzystaj z podstawowego równania mechaniki klasycznej opisującego drugą zasadę
dynamiki Newtona: ma(t) = F (t, x(t), x0 (t)).
Zadanie 29.
Odnaleźć krzywe dla których odcinek odcięty przez normalną na osi Ox (między punktem przecię2
cia normalnej z osią Ox a początkiem układu współrzędnych) jest równy yx .
Zadanie 30.
Punkt materialny o masie 1grama porusza się prostoliniowo pod wpływem działania siły F wprost
proporcjonalnej do czasu t i odwrotnie proporcjonalnej do prędkości punktu. W momencie t = 10
prędkość wynosiła v = 20cm/s, a siła F = 10N. Wyznacz prędkość po upływie 30s. Oblicz czas w
którym punkt osiągnie prędkość 300cm/s.
Zadanie 31.
Czas połowicznego rozpadu pewnej substancji radioaktywnej wynosi 1620 lat. Jeżeli masa tej substancji w chwil obecnej wynosi 4g oblicz: a) jaką masę będzie miało po 810 latach; b) czas kiedy
waga będzie równa 1,5g.
Zadanie 32.
Chcemy zgromadzić 10.000zł w ciągu 10 lat poprzez pojedynczy depozyt na koncie oszczędnościowym o oprocentowaniu ciągłym wynoszącym w ciągu roku 5,5%. Ile musimy wpłacić na konto.
Zadanie 33.
Na sprężynie zawieszono ciało o masie 0,4kg. Spowodowało to rozciągnięcie sprężyny o 0,4m. W
chwili t = 0 ciało zostało podniesione 10cm i nadano mu prędkość 0,1 m/s w dół. Znaleźć równanie
ruchu ciała.
Zadanie 34.
Kulkę o pewnej masie zawieszono na długiej i nierozciągliwej nici o długości 25cm. W chwili t0 = 0
ciało zostało wychylone z położenia równowagi o kąt π6 , a następnie puszone(bez prędkości nadanej).
Zakładając, że wartość przyśpieszenia g = 10m/s2 napisz równanie ruchu tego ciała.
8