ĆWICZENIE Wykresy sił przekrojowych dla łuków na łuku nie

ĆWICZENIE
Wykresy sił przekrojowych dla łuków
na łuku nie obowiązują związki różniczkowe
φ kąt skierowany
PRZYKŁAD 1
ϕ ∈ ( 0,900 )
N ( r ,ϕ ) = − P ⋅ sin ϕ
ϕ
0
15
30
45
60
75
90
sin ϕ
0.0
0.259
0.500
0.707
0.866
0.966
1.0
Q ( r ,ϕ ) = + P ⋅ cos ϕ
cos ϕ
1.0
0.966
0.866
0.707
0.500
0.259
0.0
r=4
M ( r ,ϕ ) = − P ⋅ r ⋅ sin ϕ
N (0) = 0
N (15 ) = −2.59
N ( 30 ) = −5.0
N ( 45 ) = −7.07
N ( 60 ) = −8.66
N ( 75 ) = −9.66
N ( 90 ) = −10.0
Q ( 0 ) = 10.0
Q (15 ) = 9.66
Q ( 30 ) = 8.66
Q ( 45 ) = 7.07
Q ( 60 ) = 5.0
Q ( 75 ) = 2.59
Q ( 90 ) = 0
M (0) = 0
M (15 ) = −10.36
M ( 30 ) = −20.0
M ( 30 ) = −28.28
M ( 60 ) = −34.64
M ( 30 ) = −38.64
M ( 90 ) = −40.0
Krzywa gładka- dokładność wykresu zależy od tego ile punktów
wewnątrz przedziału użyto do obliczeń.
PRZYKŁAD 2
PRZYKŁAD 3
RAMA Z ELEMENTEM ŁUKOWYM
SIŁY PRZEKROJOWE W ŁUKACH
Łukiem nazywamy konstrukcję złożoną z jednego lub więcej prętów krzywoliniowych.
podstawowe typy łuków:
• łuk wolno podparty,
• łuk trójprzegubowy
• łuk trójprzegubowy ze ściągiem
Odległość wierzchołka łuku od prostej łączącej podpory - strzałka łuku f.
Odległość między podporami - rozpiętością łuku lub przęsło l.
Krzywą łuku odnosimy do globalnego układu współrzędnych i zapisujemy w postaci
parametrycznej:
X = X (t ),
Z = Z (t ).
Najczęściej spotykanym kształtem łuku jest łuk paraboliczny. Jeśli podpory leżą na
tym samym poziomie, w układzie współrzędnych jak na rysunku, równanie łuku
parabolicznego ma postać:
Z(X ) =
4f
X (l − X )
2
l
W dowolnym punkcie łuku styczna do krzywej
ma kąt nachylenia β względem osi X
tg β ( X ) =
dZ ( X )
dX
=
4f
(l − 2 X )
2
l
Korzystając z zależności trygonometrycznych:
sin 2 β + cos 2 β = 1
≡ tg 2 β + 1 =
Otrzymujemy: cos β ( X ) = ±
1
cos 2 β
1
tg β ( X ) + 1
2
sin β ( X ) = ±
tg β ( X )
tg 2 β ( X ) + 1
Budowa funkcji sił przekrojowych w łukach opiera się na identycznych ogólnych
zasadach, jakie wynikają z definicji tych sił i z których korzystaliśmy przy znajdywaniu
sił przekrojowych w ramach.
ZADANIE
Znaleźć równania momentów, sił poprzecznych i podłużnych oraz sporządzić wykresy
tych funkcji dla łuku parabolicznego pokazanego na rysunku
Dane:
P = 4 kN; q = 2 kN/m; l = 12 m; f = 4 m.
Obliczenie reakcji:
Reakcje obliczamy z równań równowagi:
S X = 0;
H A + H B = 0;
S Z = 0;
VA + VB − 2,0 ⋅ 6,0 − 4,0 = 0;
M B = 0; VA ⋅12 − 2,0 ⋅ 6,0 ⋅ 9,0 − 4,0 ⋅ 3,0 = 0,
oraz z warunku równości zeru momentu względem przegubu układu sił po jednej stronie
przegubu :
M C = 0; − H B ⋅ 4,0 − VB ⋅ 6,0 + 4,0 ⋅ 3,0 = 0
Z równań tych otrzymujemy:
Va = 10,0 kN
Vb = 6,0 kN;
H A = H B = H = 6,0 kN.
Podstawiając do (2.10): l =12m i f = 4 m, równanie paraboli przyjmuje postać
1
4
Z =− X2 + X.
9
3
Wektor styczny do paraboli ma współrzędne
2
4

n = 1, − X +  ;
9
3

2
4
 2
n = 1+  − X +  .
3
 9
Współrzędne wersora en , w naszym przypadku, przyjmą postać:
enI =
nI
nI

2
4

− X+
1

9
3
⇒ enI 
,
2
2
2
4
2
4




 1+ − X +
1+  − X + 



3
3
 9
 9

wersor osi stycznej τ ma postać:


2
4


− X+
1


9
3
eτ 
,
.
2
2 
4 
 2
 1+  − 2 X + 4 
1
+
−
X
+





3
3  
 9
 9




.



Funkcje sił przekrojowych:
Funkcje sił przekrojowych wyznaczymy w dwóch krokach. Najpierw w
poszczególnych przedziałach charakterystycznych wyznaczymy wektory sumy ( S ( Z II ) i
momentu ( M ( Z II ) ) układu sił zewnętrznych przyłożonych do łuku po dodatniej stronie
osi x, a następnie rzutując wektor sumy na wersory układu lokalnego otrzymamy
odpowiednio siły podłużne i poprzeczne. W układach płaskich, jak wcześniej
zaznaczyliśmy, wektor momentu ma tylko jedną y-ową współrzędną niezerową i
identyczną w obu układach. ( M y ( x) = M Y ( x)) .
S X ( X ) = [ H ,]
S Z ( X ) = [VA − qX (t )]
M Y ( X ) = M y ( X ) = [VA X (t ) − HZ (t ) + 12 qX 2 (t )]
Siły przekrojowe; podłużną i poprzeczną otrzymamy mnożąc wektor sumy przez
odpowiednie wersory układu lokalnego:
Fx ( X ) = − S x cos β ( X ) − S z sin β ( X ) = − H
Fz ( X ) = − S x sin β ( X ) + S z cos β ( X ) = − H
1
1 + ( − 92 X + 34 )
2
− [VA − qX ]
2
+ [VA − qX ]
− 92 X + 34
1 + ( − 92 X + 43 )
− 92 X + 34
1 + ( − 92 X + 43 )
2
1
1 + ( − 92 X + 34 )
2
,
.
Program Mathcad, w rozważanym przedziale, przedstawia tabelę z następującymi
wartościami sił przekrojowych w punktach X = 1,2,......6 m:
M y (t )
Fz (t )
0
−1, 2
1,667 −0,892
2,667 −0, 498
3
0
2,667 0,609
1,667 1,302
0
2
Fx (t )
−11,6
−9,96
−8.471
−7, 211
−6, 295
−5,857
−6
Wykresy sił przekrojowych, w tym przypadku, sporządzamy bądź odkładając wartości
zmiennych zależnych funkcji przekrojowych zgodnie ze zwrotami osi lokalnych z, lub
zgodnie ze zwrotem globalnej osi Z. Na rysunku przyjęto, wygodniejszy w łukach, drugi
sposób.
My
3,0 kNm
X
3,0 m
Fz
Fx
1,2 kN
11,6 kN
3,0 m
X
X