a) f(x)
Transkrypt
a) f(x)
Elementarne wiadomości o funkcjach liczbowych zad.1. Wyznaczyć miejsca zerowe i narysować wykresy funkcji: a) f (x) = 2x − 4, b) f (x) = 4x + 1, e) f (x) = x2 − 5x + 4, c) f (x) = −3x + 6, f ) f (x) = 2x2 + 4x + 2, d) f (x) = −2x − 1, g) f (x) = x2 − 2x + 4, i) f (x) = −x2 − 4x + 4, j) f (x) = −2x2 + 4x − 3, µ ¶x 1 Ãl) f (x) = 3 x , m) f (x) = , 4 k) f (x) = h) f (x) = −2x2 − x + 1, 2 , x l) f (x) = −3 , x o) f (x) = log 1 x. n) f (x) = log 3 x, 2 zad.2. Wyznaczyć dziedzinȩ funkcji: 2x + 5 , 3x − 4 a) f (x) = √ e) f (x) = b) f (x) = 4 − 5x, f ) f (x) = 3x2 √ 3 , − 5x + 2 c) f (x) = 2x2 − 7x − 4, 7x + 1 , + 4x + 3 g) f (x) = √ 4 4x − 6 , j) f (x) = √ , i) f (x) = √ x2 + 2x − 8 x2 + 2x − 3 d) f (x) = 2x2 √ 2 + x − 6x2 , √ 8x − 16, 2x − 5 h) f (x) = √ , 12 − 3x k) f (x) = log3 (2x − 4), l) f (x) = log4 (x2 − 8x). Granica funkcji zad.1. Obliczyć granice funkcji: a) lim (7x3 + 3x2 − 8x + 2) , x→+∞ 5x4 + 6x3 − 4x2 + x − 3 , x→+∞ 4x4 + 3x2 + 2x + 5 b) lim (−3x4 + 5x2 + 3x − 1), c) lim x→+∞ −2(x − 3)(x + 2)(1 − x) (2x − 3)2 − (x + 2)2 5x2 + 7x − 4 , e) lim , f ) lim , x→+∞ (2x − 5)(x + 7)(3 − 7x) x→+∞ x→+∞ 3x3 − 8x + 9 4x − 1 − x2 d) lim µ 2 ¶3 x4 + 5x3 + 2x2 − 8x + 2 4x5 − 3x3 + 4x − 7 3x − 4x − 6 g) lim , , h) lim , i) lim x→+∞ x→+∞ −9x4 + 6x3 + 2x2 − 8x − 5 x→+∞ 6x2 + 3x − 1 2x2 + 7x − 1 s √ 3x − 4 (3x + 2)(2x − 1) 2x2 + 3x − 5 j) lim , k) lim √ , l) lim √ , x→+∞ x→+∞ x→+∞ 3 8x3 + 2x − x + 6 (x + 4)(x + 5) 2x2 + x − 1 Ãl) lim √ x→+∞ o) lim ( x→+∞ x2 + x − √ √ x2 − x, 9x2 + 4x − 7 − √ m) lim x→+∞ 9x2 + 2x − 4 ), √ 4x2 + 7x − 1 − 2x, p) lim ( x→+∞ √ n) lim 3x − x→+∞ 16x2 − 3x + 2 − √ √ 9x2 + 6x − 15, 16x2 + 4x − 5 ). zad.2. Obliczyć granice funkcji: x2 − 6x + 8 , x→2 x2 + x − 6 3 e) lim+ , x→2 x − 2 a) lim x2 − 3x − 10 x2 + 3x − 28 x3 − 27 , c) lim , d) lim , x→−2 x2 + 3x + 2 x→4 x2 − 7x + 12 x→3 x2 + 2x − 15 x+3 3−x −2 x+3 f ) lim− , g) lim− , h) lim 2 , i) lim . x→−2 x − 4 x→5 x − 5 x→4 x − 4 x→1 x − 1 b) lim SkÃladanie funkcji zad.1. Utworzyć zÃlożenia g ◦ f oraz f ◦ g dla nastȩpuja̧cych par funkcji: a) f (x) = 4x2 −5x+3, g(x) = 7x−2, b) f (x) = cos x, g(x) = 6x+1, c) f (x) = 3x2 +2x−4, g(x) = 4x . zad.2. RozÃlożyć na funkcje elementarne nastȩpuja̧ce funkcje zÃlożone: a) y = (2x2 + 3x − 4)7 , b) y = √ 1 , c) y = tg(5x − 4), d) y = 8x2 + 6x − 9, e) y = ctg3 x. sin x Pochodne funkcji zad.1. Obliczyć pochodne funkcji: a) f (x) = 6x, f ) f (x) = √ x, b) f (x) = 3x2 , g) f (x) = √ 4 c) f (x) = −4x3 , √ h) f (x) = x 3 x, x, j) f (x) = −5x4 +2x3 −4x+1, r) f (x) = x , sin x s) f (x) = 1 , x e) f (x) = 3 , x2 i) f (x) = 7x2 − 3x + 2, k) f (x) = (2x−3)(3x−4), l) f (x) = (4x5 −3x3 +2x−8)(2x2 +5x+4), 7x + 4 , 4x − 6 o) f (x) = x2 − 4x cos x , p) f (x) = 5 , 3 x + 2x x ex , tg x u) f (x) = 2x2 − 3x + 8 . x3 − 5x2 − 2x + 3 Ãl) f (x) = x4 ln x, m) f (x) = ex tgx, n) f (x) = √ d) f (x) = ctg x , ln x t) f (x) = zad.2. Obliczyć pochodne funkcji zÃlożonych: √ a) f (x) = ln x, b) f (x) = (3x2 + 5x − 2)6 , c) f (x) = sin 4x, e) f (x) = cos2 x, g) f (x) = e x , f ) f (x) = ln(2x3 − 5x + 7), 1 d) f (x) = e2x , √ h) f (x) = 4x2 − 3x + 6. zad.3. Zbadać monotoniczność i ekstrema lokalne fukcji: a) f (x) = x3 + 3x2 − 9x − 2, b) f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 8, d) f (x) = x3 − 9x2 − 24x − 12, 1 e) f (x) = x3 + 12x2 + 36x − 50, f ) f (x) = x3 + x2 − 3x, 3 g) f (x) = 2x − 3 , x+1 h) f (x) = j) f (x) = 3x + 5 , x−2 k) f (x) = x2 , x2 − 4 2x , +1 x2 c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 72x + 4, i) f (x) = x + 4 , x−5 3 l) f (x) = x + . x zad.1. Obliczyć zad.2. Obliczyć zad.3. Obliczyć zad.4. Obliczyć Macierze, ukÃlady równań · ¸ · ¸ 1 −2 4 1 1 −1 2 T A · 3B, gdzie A = , B= . 2 0 3 −1 −2 0 1 · ¸ 1 −2 4 1 T T A · A oraz A · A, gdzie A = . 2 0 3 −1 ¯ ¯ ¯ 2 1 −1 −2 ¯¯ ¯ ¯ 3 2 0 1 ¯¯ wyznacznik ¯¯ . 1 3 ¯¯ ¯ 4 −1 ¯ 1 0 2 −3 ¯ −1 1 0 1 0 −1 1 . 1 0 , B= 2 3 A−1 · B dla A = 2 1 −1 3 0 1 −1 zad.5. Rozwia̧zać równania macierzowe: 1 0 −2 0 −1 −2 5 −4 , 3 = −1 a) X · 2 −1 −6 1 2 4 −1 3 ¸ · ¸ · ¸ · 1 3 5 3 2 1 ·X · = . c) −1 1 2 2 1 1 1 −1 2 1 3 0 4 1 · X = −1 2 4 , b) 3 4 7 1 2 −2 0 x x zad.6. Wyznaczyć w oparciu o wzory Cramera niewiadoma̧ y z ukÃladu 2x 2x − 2y + z + y − z − y + z − 4y + 3z + + − − zad.7. Rozwia̧zać metoda̧ eliminacji Gaussa ukÃlady równań: 2 2 2x − 2y − z = 4x − y − 3z = x + y + 4z = −2 , x + y + 2z = −1 , a) b) 3x + 3y + 2z = 4 3x − 2y − 5z = −3 2x + y − 3z + 4t = −2 2x + y − z = 2 3x − 5y + z − t = 1 3x + 2y + 3z = 4 , c) d) , 5x − 4y − 2z + 3t = −1 5x + 3y + 2z = 6 x − 6y + 4z − 5t = 3 2x + 3y + 11z + 5t = 2 −4x + 3y − 2z + 3t = 5 x + y + 5z + 2t = 1 3x − 2y + z + 2t = 4 e) , f) . 2x + y + 3z + 2t = −3 2x − y + + 7t = 13 x + y + 3z + 4t = −3 −x + y − z + 5t = 9 t t t t = = = = 1 1 . 2 2