Kombinatoryka i grafy

Matematyka dyskretna — ćwiczenia 15
Kombinatoryka i grafy
Stefan Sokołowski
Elbląg, 14 VI 2013
Ile jest
• najkrótszych dróg w kracie n × k?
• naturalnoliczbowych rozwiązań równania
x0 + x1 + x2 + . . . + xk = n ?
• rozkładów n kul w k + 1 pudełkach?
!
n+k
.
Za każdym razem odpowiedź brzmi
k
Zadanie 0:
Na ile sposobów można włożyć
(a) 20 identycznych kul do 4 urn?
(b) 20 identycznych listów do 10 skrzynek tak, żeby w każdej znalazł się przynajmniej
jeden list?
(c) 20 identycznych kul do 4 urn tak, żeby w każdej znalazły się co najmniej 3 kule?
Zadanie 1:
Na ile sposobów można rozsadzić k osób na n krzesłach, żeby żadne dwie osoby nie
zajmowały sąsiednich krzeseł?
1
Zadanie 2:
W ilu liczbach ze zbioru {1, 2, . . . , 999} suma cyfr jest równa 20?
Zadanie 3:
Na ile sposobów można wypłacić 50 zł, mając do dyspozycji banknoty 20-złotowe, 10złotowe oraz monety 5-złotowe, 2-złotowe i 1-złotowe?
Zadanie 4:
Przedstawić reprezentację
• przez macierz sąsiedztwa, oraz
• przez listy sąsiedztw
następujących grafów:
(a)
10
B
✔❚
6✔ ❚
✔
A✔
(b)
C
❚
13 ❚ 16
D
❚
✔
❚
✔
❚ ✔6
❚✔
E
❚
❚
5❚
❚F
8
(c)
B
C
✧
✔
✔❚
7 ✔ ✧✧✧✔ ❚6
✔✧✧
❚
10 ✔✔
✔
❚D
✧
8
A
✔
✔
❚
✔13
✔
❚
7❚ ✔
✔4
✔
❚F✔
11 E
B
C
✔
✔
✔
✔
✔
✔
A✔
✔
✔11
✔
✔
F
E
5✔
D
4
Zadanie 5:
Grafy skierowane o poniższej reprezentacji przedstawić przy pomocy tej drugiej reprezentacji:
A
B
C
D
E
A B C D E
5
10
6
4
7
A
✲ B 3
B
✲ A 2
C ❅❅
❅
D
1
3
E
✲ C 1 ❅
❅
✲ A 2 ❅
❅
2
✲ D 12 ❅
❅
✲ C 3
✲ D 7
✲ E 8 ❅
❅
Zadanie 6:
n
o
Narysować graf nieskierowany G = (V, E), gdzie V = {1, 2, . . . , 10} i E = ab a | b lub b | a .
Zadanie 7:
Narysować graf skierowany G = (V, E), gdzie
V = {1, 2, . . . , 10}
E=
ab a | b
n
i
i b/a jest liczbą pierwszą
o
Zadanie 8:
Które z grafów z zadania 4 są
• spójne?
• dwudzielne?
• eulerowskie?
• semieulerowskie?
Zadanie 9:
Wyznaczyć wszystkie grafy na 2, 3, 4 wierzchołkach.
Zadanie 10:
Czy istnieje graf na 6 wierzchołkach o stopniach 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Zadanie 11:
Ile krawędzi ma graf pełny Kn ?
Zadanie 12:
Skonstruować graf o 5 wierzchołkach i 6 krawędziach, nie zawierający trójkąta.
Zadanie 13:
Odbywa się przyjęcie u państwa Szaradków, w którym oprócz Pana Szaradka i Pani
Szaradkowej biorą udział cztery inne pary. Ludzie wymieniają uściski dłoni między sobą,
3
przy czym żadne dwie osoby nie robią tego dwa razy i nikt nie wita sie ze swoim partnerem/partnerką. Zarówno Pan jak i Pani domu wymienili z kimś z gości co najmniej po
jednym uścisku. Pod koniec przyjęcia Pan Szaradek zapytał każdego (wyłączając siebie) o
liczbę dokonanych uścisków. W odpowiedzi każda z osób podała inną liczbę. Ile uścisków
dokonała Pani Szaradkowa?
Zadanie 14:
Znaleźć jakieś drzewa rozpinające poniższe grafy:
10
B
8
✧C
✔
✧ ✔❚
✧ ✔ ❚
✔
✧
7✔
✧
❚6
✔
✧
❚
✔ ✧✧
✔
❚
✔✧✧ 10
✔
❚D
✔
✧
✔
8
A
✔
✔
❚
✔
✔
❚
✔ 13
✔
❚
✔
✔4
❚
7
✔
❚ ✔
❚F✔
E✔
C
B
✔❚
❚
✔
6✔
❚
✔
❚
✔
❚
✔
13 ❚ 16
A
D
❚
✔
❚
❚
✔
❚
❚
✔
❚
❚
✔6
5❚
❚ ✔
❚
❚✔
❚F
E
11
Zadanie 15:
Dla grafów z Zad. 14 sporządzić tabelę najkrótszych odległości między wierzchołkami
(metodą Dijkstry).
Zadanie 16:
Dla jakich n graf kostki Qn jest
• eulerowski?
• hamiltonowski?
• dwudzielny?
Zadanie 17:
Dla jakich wartości parametrów n i k poniższe grafy są eulerowskie, a dla jakich hamiltonowskie?
• graf pełny Kn ?
• graf pełny dwudzielny Kn,k ?
4
• graf sześcianu?
• graf ośmiościanu?
• graf kostki Qn ?
Zadanie 18:
Grafy z Zad. 14 przeszukać w głąb, wykorzystując ich reprezentację przez listy sąsiedztw
i zaczynając od wierzchołka A.
Zadanie 19:
Załóżmy, że trzej chłopcy znają cztery dziewczęta jak w tabelce:
chłopiec
A
B
C
dziewczęta, które on zna
W
Y
Z
X
Z
X
Y
Utworzyć trzy rozłączne pary chłopiec-dziewczyna, w których oboje się znają.
5